Séries de Ramanujan–Sato

Em 2002, Takeshi Sato^[7] estabeleceu os primeiros resultados para níveis acima de 4. Envolvia números de Apéry que foram usados primeiramente para estabelecer a irracionalidade de ${\displaystyle \zeta (3)}$. Primeiro, defina,

${\displaystyle j_{6A}(\tau )=\left({\sqrt {j_{6B}(\tau )}}-{\frac {1}{\sqrt {j_{6B}(\tau )}}}\right)^{2}=\left({\sqrt {j_{6C}(\tau )}}+{\frac {8}{\sqrt {j_{6C}(\tau )}}}\right)^{2}=\left({\sqrt {j_{6D}(\tau )}}+{\frac {9}{\sqrt {j_{6D}(\tau )}}}\right)^{2}-4={\frac {1}{q}}+10+79q+352q^{2}+\cdots }$

${\displaystyle j_{6B}(\tau )=\left({\frac {\eta (2\tau )\eta (3\tau )}{\eta (\tau )\eta (6\tau )}}\right)^{12}={\frac {1}{q}}+12+78q+364q^{2}+1365q^{3}+\cdots }$

${\displaystyle j_{6C}(\tau )=\left({\frac {\eta (\tau )\eta (3\tau )}{\eta (2\tau )\eta (6\tau )}}\right)^{6}={\frac {1}{q}}-6+15q-32q^{2}+87q^{3}-192q^{4}+\cdots }$

${\displaystyle j_{6D}(\tau )=\left({\frac {\eta (\tau )\eta (2\tau )}{\eta (3\tau )\eta (6\tau )}}\right)^{4}={\frac {1}{q}}-4-2q+28q^{2}-27q^{3}-52q^{4}+\cdots }$

${\displaystyle j_{6E}(\tau )=\left({\frac {\eta (2\tau )\eta ^{3}(3\tau )}{\eta (\tau )\eta ^{3}(6\tau )}}\right)^{3}={\frac {1}{q}}+3+6q+4q^{2}-3q^{3}-12q^{4}+\cdots }$

O fenômeno de ${\displaystyle j_{6A}}$ ser quadrados ou quase quadrados das outras funções também será manifestado por ${\displaystyle j_{10A}}$. Outra semelhança entre os níveis 6 e 10 é que J. Conway e S. Norton mostraram que existem relações lineares entre as séries de McKay–Thompson T_n,^[14] uma das quais era,

${\displaystyle T_{6A}-T_{6B}-T_{6C}-T_{6D}+2T_{6E}=0}$

ou usando os quocientes eta j_n acima,

${\displaystyle j_{6A}-j_{6B}-j_{6C}-j_{6D}+2j_{6E}=22}$

Uma relação semelhante existe para o nível 10.

Para a função modular j_6A, pode-se associá-la a três sequências diferentes. (Uma situação similar ocorre para a função de nível 10 j_10A.) Seja,

${\displaystyle \alpha _{1}(k)={\binom {2k}{k}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}^{3}=1,4,60,1120,24220,\ldots }$ (OEIS: A181418, rotulada como s₆ no artigo de Cooper)

${\displaystyle \alpha _{2}(k)={\binom {2k}{k}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}\sum _{m=0}^{j}{\binom {j}{m}}^{3}={\binom {2k}{k}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}^{2}{\binom {2j}{j}}=1,6,90,1860,44730,\ldots }$ (OEIS: A002896)

${\displaystyle \alpha _{3}(k)={\binom {2k}{k}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}(-8)^{k-j}\sum _{m=0}^{j}{\binom {j}{m}}^{3}=1,-12,252,-6240,167580,-4726512,\ldots }$

As três sequências envolvem o produto dos coeficientes binomiais centrais ${\displaystyle c(k)={\tbinom {2k}{k}}}$ com: primeiro, os números de Franel ${\displaystyle \textstyle \sum _{j=0}^{k}{\tbinom {k}{j}}^{3}}$; segundo, OEIS: A002893, e terceiro, ${\displaystyle (-1)^{k}}$ OEIS: A093388. Note que a segunda sequência, α₂(k) é também o número de polígonos de passos 2n em um reticulado cúbico. Seus complementos,

${\displaystyle \alpha '_{2}(k)={\binom {2k}{k}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}(-1)^{k-j}\sum _{m=0}^{j}{\binom {j}{m}}^{3}=1,2,42,620,12250,\ldots }$

${\displaystyle \alpha '_{3}(k)={\binom {2k}{k}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}(8)^{k-j}\sum _{m=0}^{j}{\binom {j}{m}}^{3}=1,20,636,23840,991900,\ldots }$

Existem também sequências associadas, nomeadamente os números de Apéry,

${\displaystyle s_{6B}(k)=\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}^{2}{\binom {k+j}{j}}^{2}=1,5,73,1445,33001,\ldots }$ (OEIS: A005259)

os números de Domb (não sinalizados) ou o número de polígonos de passos 2n num reticulado de diamante,

${\displaystyle s_{6C}(k)=(-1)^{k}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}^{2}{\binom {2(k-j)}{k-j}}{\binom {2j}{j}}=1,-4,28,-256,2716,\ldots }$ (OEIS: A002895)

e os números de Almkvist-Zudilin,

${\displaystyle s_{6D}(k)=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}\,3^{k-3j}\,{\frac {(3j)!}{j!^{3}}}{\binom {k}{3j}}{\binom {k+j}{j}}=1,-3,9,-3,-279,2997,\ldots }$ (OEIS: A125143)

onde

${\displaystyle {\frac {(3j)!}{j!^{3}}}={\binom {2j}{j}}{\binom {3j}{j}}}$

As funções modulares podem ser relacionadas como,

${\displaystyle P=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{1}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{6A}(\tau )\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{2}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{6A}(\tau )+4\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{3}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{6A}(\tau )-32\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}}$

${\displaystyle Q=\sum _{k=0}^{\infty }s_{6B}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{6B}(\tau )\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}=\sum _{k=0}^{\infty }s_{6C}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{6C}(\tau )\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}=\sum _{k=0}^{\infty }s_{6D}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{6D}(\tau )\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}}$

se a série convergir e o sinal for escolhido apropriadamente. Também pode ser observado que,

${\displaystyle P=Q=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha '_{2}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{6A}(\tau )-4\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha '_{3}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{6A}(\tau )+32\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}}$

o que implica,

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{2}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{6A}(\tau )+4\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha '_{2}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{6A}(\tau )-4\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}}$

e de forma análoga usando α₃ e α'₃.

Pode-se usar um valor para j_6A de três formas. Por exemplo, começando com,

${\displaystyle \Delta =j_{6A}\left({\sqrt {\frac {-17}{6}}}\right)=198^{2}-4=\left(140{\sqrt {2}}\right)^{2}=39200}$

e notando que ${\displaystyle 3\cdot 17=51}$ então,

${\displaystyle {\begin{array}{rl}{\frac {1}{\pi }}&={\frac {24{\sqrt {3}}}{35}}\,\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{1}(k)\,{\frac {51\cdot 11k+53}{(\Delta )^{k+{\frac {1}{2}}}}}\\{\frac {1}{\pi }}&={\frac {4{\sqrt {3}}}{99}}\,\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{2}(k)\,{\frac {17\cdot 560k+899}{(\Delta +4)^{k+{\frac {1}{2}}}}}\\{\frac {1}{\pi }}&={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{3}(k)\,{\frac {770k+73}{(\Delta -32)^{k+{\frac {1}{2}}}}}\end{array}}}$

bem como,

${\displaystyle {\begin{array}{rl}{\frac {1}{\pi }}&={\frac {12{\sqrt {3}}}{9799}}\,\sum _{k=0}^{\infty }\alpha '_{2}(k)\,{\frac {11\cdot 51\cdot 560k+29693}{(\Delta -4)^{k+{\frac {1}{2}}}}}\\{\frac {1}{\pi }}&={\frac {6{\sqrt {3}}}{613}}\,\sum _{k=0}^{\infty }\alpha '_{3}(k)\,{\frac {51\cdot 770k+3697}{(\Delta +32)^{k+{\frac {1}{2}}}}}\end{array}}}$

embora as fórmulas usando os complementos aparentemente ainda não tenham uma prova rigorosa. Para as outras funções modulares,

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=8{\sqrt {15}}\,\sum _{k=0}^{\infty }s_{6B}(k)\,\left({\frac {1}{2}}-{\frac {3{\sqrt {5}}}{20}}+k\right)\left({\frac {1}{\phi ^{12}}}\right)^{k+{\frac {1}{2}}},\quad j_{6B}\left({\sqrt {\frac {-5}{6}}}\right)=\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{12}=\phi ^{12}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {1}{2}}\,\sum _{k=0}^{\infty }s_{6C}(k)\,{\frac {3k+1}{32^{k}}},\quad j_{6C}\left({\sqrt {\frac {-1}{3}}}\right)=32}$

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=2{\sqrt {3}}\,\sum _{k=0}^{\infty }s_{6D}(k)\,{\frac {4k+1}{81^{k+{\frac {1}{2}}}}},\quad j_{6D}\left({\sqrt {\frac {-1}{2}}}\right)=81}$

Os níveis ${\displaystyle 2,4,8}$ estão relacionados, pois são apenas potências do mesmo número primo. Defina,

${\displaystyle {\begin{array}{rl}j_{4B}(\tau )&={\sqrt {j_{2A}(2\tau )}}=\left({\sqrt {j_{4D}(\tau )}}+{\frac {8}{\sqrt {j_{4D}(\tau )}}}\right)^{2}-16=\left({\sqrt {j_{8A}(\tau )}}-{\frac {4}{\sqrt {j_{8A}(\tau )}}}\right)^{2}=\left({\sqrt {j_{8A'}(\tau )}}+{\frac {4}{\sqrt {j_{8A'}(\tau )}}}\right)^{2}\\&=\left({\frac {\eta (2\tau )}{\eta (4\tau )}}\right)^{12}+2^{6}\left({\frac {\eta (4\tau )}{\eta (2\tau )}}\right)^{12}={\frac {1}{q}}+52q+834q^{3}+4760q^{5}+24703q^{7}+\cdots \\j_{4D}(\tau )&=\left({\frac {\eta (2\tau )}{\eta (4\tau )}}\right)^{12}={\frac {1}{q}}-12q+66q^{3}-232q^{5}+639q^{7}-1596q^{9}+\cdots \\j_{8A}(\tau )&=\left({\frac {\eta (2\tau )\,\eta (4\tau )}{\eta (\tau )\,\eta (8\tau )}}\right)^{8}={\frac {1}{q}}+8+36q+128q^{2}+386q^{3}+1024q^{4}+\cdots \\j_{8A'}(\tau )&=\left({\frac {\eta (\tau )\,\eta ^{2}(4\tau )}{\eta ^{2}(2\tau )\,\eta (8\tau )}}\right)^{8}={\frac {1}{q}}-8+36q-128q^{2}+386q^{3}-1024q^{4}+\cdots \\j_{8B}(\tau )&=\left({\frac {\eta ^{2}(4\tau )}{\eta (2\tau )\,\eta (8\tau )}}\right)^{12}={\sqrt {j_{4A}(2\tau )}}={\frac {1}{q}}+12q+66q^{3}+232q^{5}+639q^{7}+\cdots \\j_{8E}(\tau )&=\left({\frac {\eta ^{3}(4\tau )}{\eta (2\tau )\,\eta ^{2}(8\tau )}}\right)^{4}={\frac {1}{q}}+4q+2q^{3}-8q^{5}-q^{7}+20q^{9}-2q^{11}-40q^{13}+\cdots \end{array}}}$

Assim como no nível 6, cinco dessas funções possuem uma relação linear,

${\displaystyle j_{4B}-j_{4D}-j_{8A}-j_{8A'}+2j_{8E}=0}$

Mas esta não é uma das nove dependências lineares de Conway-Norton-Atkin, pois ${\displaystyle j_{8A'}}$ não é uma função moonshine. No entanto, está relacionada a uma como,

${\displaystyle j_{8A'}(\tau )=-j_{8A}{\Big (}\tau +{\tfrac {1}{2}}{\Big )}}$

${\displaystyle s_{4B}(k)={\binom {2k}{k}}\sum _{j=0}^{k}4^{k-2j}{\binom {k}{2j}}{\binom {2j}{j}}^{2}={\binom {2k}{k}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}{\binom {2k-2j}{k-j}}{\binom {2j}{j}}=1,8,120,2240,47320,\ldots }$

${\displaystyle s_{4D}(k)={\binom {2k}{k}}^{3}=1,8,216,8000,343000,\ldots }$

${\displaystyle s_{8A}(k)=\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}^{2}{\binom {2j}{k}}^{2}=1,4,40,544,8536,\ldots }$ (OEIS: A290575)

${\displaystyle s_{8B}(k)=\sum _{j=0}^{k}{\binom {2j}{j}}^{3}{\binom {2k-4j}{k-2j}}=1,2,14,36,334,\ldots }$

onde a primeira é o produto^[2] do coeficiente binomial central e uma sequência relacionada a uma média aritmético-geométrica (OEIS: A081085).

As funções modulares podem ser relacionadas como,

${\displaystyle \pm \sum _{k=0}^{\infty }s_{4B}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{4B}(\tau )+16\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}=\sum _{k=0}^{\infty }s_{4D}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{4D}(\tau )\right)^{2k+{\frac {1}{2}}}}}=\sum _{k=0}^{\infty }s_{8A}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{8A}(\tau )\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}s_{8A}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{8A'}(\tau )\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}}$

se a série convergir e os sinais forem escolhidos apropriadamente. Note também o expoente diferente de ${\displaystyle \left(j_{4D}(\tau )\right)^{2k+{\frac {1}{2}}}}$ em relação aos outros.

Lembre-se que ${\displaystyle j_{2A}\left({\tfrac {\sqrt {-58}}{2}}\right)=396^{4},}$ enquanto ${\displaystyle j_{4B}\left({\tfrac {\sqrt {-58}}{4}}\right)=396^{2}}$. Logo,

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{13}}\,\sum _{k=0}^{\infty }s_{4B}(k)\,{\frac {70\cdot 99\,k+579}{\left(396^{2}+16\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}},\qquad j_{4B}\left({\frac {\sqrt {-58}}{4}}\right)=396^{2}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=2{\sqrt {2}}\,\sum _{k=0}^{\infty }s_{8A}(k)\,{\frac {-222+70{\sqrt {58}}\,\left(k+{\frac {1}{2}}\right)}{\left(4\left(99+13{\sqrt {58}}\right)^{2}\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}},\qquad j_{8A}\left({\frac {\sqrt {-58}}{4}}\right)=4\left(99+13{\sqrt {58}}\right)^{2}=4U_{58}^{2}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=2\,\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}s_{8A}(k)\,{\frac {-222{\sqrt {2}}+13\times 58\,\left(k+{\frac {1}{2}}\right)}{\left(4\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{12}\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}},\qquad j_{8A'}\left({\frac {\sqrt {-58}}{4}}\right)=4\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{12}=4U_{2}^{12},}$

Para outro exemplo de nível 8,

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {1}{16}}{\sqrt {\frac {3}{5}}}\,\sum _{k=0}^{\infty }s_{8B}(k)\,{\frac {210k+43}{(64)^{k+{\frac {1}{2}}}}},\qquad j_{8B}\left({\frac {\sqrt {-7}}{4}}\right)=2^{6}=64}$