Problema de Monty Hall

O problema de Monty Hall, também conhecido por paradoxo de Monty Hall, é um problema matemático e paradoxo que surgiu a partir de um concurso televisivo dos Estados Unidos chamado Let’s Make a Deal, exibido na década de 1970. O problema foi originalmente publicado por Steve Selvin para a revista American Statistician em 1975.^[1][2] Tornou-se famoso com uma pergunta do leitor Craig F. Whitaker para Marilyn vos Savant em sua coluna na revista Parade em 1990.^[3]

O jogo consistia no seguinte: Monty Hall, o apresentador, apresentava três portas aos concorrentes. Atrás de uma delas estava um prêmio (um carro) e, atrás das outras duas, dois bodes.

1. O concorrente escolhe uma das três portas (que ainda não é aberta);
2. Monty abre uma das outras duas portas que o concorrente não escolheu, revelando que o carro não se encontra nessa porta e revelando um dos bodes;
3. Monty pergunta ao concorrente se quer decidir permanecer com a porta que escolheu no início do jogo ou se ele pretende mudar para a outra porta que ainda está fechada para então a abrir. Agora, com duas portas apenas para escolher — pois uma delas já se viu, na 2.ª etapa, que não tinha o prêmio — e sabendo que o carro está atrás de uma das restantes duas, o concorrente tem que tomar a decisão.

Steve Selvin escreveu um artigo para a revista American Statistician em 1975, descrevendo um problema baseado no programa Let's Make a Deal, apresentado por Monty Hall.^[1][2] O problema é semelhante ao problema dos três prisioneiros proposto por Martin Gardner em 1959.^[4]

Selvin^[1] e Savant^[3] explicitamente definem o papel do apresentador:

1. O apresentador sempre deve abrir uma porta que não foi escolhida pelo apresentador;^[5]
2. O apresentador sempre deve abrir uma porta para revelar o bode, nunca o carro.
3. O apresentador sempre deve oferecer a possibilidade de trocar a porta que foi originalmente escolhida pela porta que continua fechada.

Os matemáticos também assumem tipicamente que o carro é escondido inicialmente de forma aleatória e que, se o jogador escolhe a porta que contém o carro inicialmente, a escolha do apresentador para definir qual porta abrir também é aleatória.^[6] Além disso, alguns autores supõem que a escolha inicial do jogador também é aleatória.^[1]

A resposta intuitiva ao problema é a que quando o apresentador revelou uma das portas não premiadas, o concorrente passaria a ter à frente um novo dilema, com apenas duas portas e um prêmio, portanto as chances do prêmio estar em qualquer uma das duas portas passaria a ser de 50%.^[7] O apresentador teria ajudado o concorrente, já que as chances para acertar subiram de 33,33% para 50%, no entanto não faria diferença trocar ou não de porta, uma vez que ambas teriam as mesmas chances em 50% de possuírem o prêmio. No entanto, esta análise intuitiva é errada, pois a porta que o apresentador abre depende da porta que o concorrente escolheu inicialmente. O apresentador sabe desde o começo onde está o prêmio e assim ele nunca abrirá uma porta premiada. Ao abrir uma porta não premiada, ele não está criando um jogo novo, mas está dando informações valiosas ao concorrente sobre a localização do prêmio definida no jogo inicial. É por isso que a resposta pode ser contra intuitiva: o apresentador não escolhe a porta que vai abrir aleatoriamente.

As chances de um jogador escolher a porta premiada na primeira tentativa é mais baixa do que a de escolher um bode.^[8] Contudo, se o jogador escolher a porta com o carro na primeira rodada, o apresentador não tem liberdade de escolha e só pode abrir a porta não premiada que lhe resta, obrigando-o a continuar mantendo fechada a única porta premiada.

Em um estudo acerca desse problema, de 228 pessoas que foram submetidas ao teste, apenas 13% escolheram trocar de porta.^[9]

A solução apresentada por Savant em Parade apresenta três possibilidades da disposição dos dois bodes e do carro atrás das três portas e suas respectivas probabilidades de ficar ou trocar após escolher, no primeiro momento, a porta A:^[3]

Assim, a resposta correta, e talvez contra intuitiva: é mais vantajoso trocar. Isso porque é mais provável estatisticamente ganhar o prêmio se trocar de porta do que se não o fizer, pois a probabilidade em acertar na premiada passa para o dobro: de 33,33% para 66,66%.

Existem três portas - A, B e C. Quando o concorrente escolheu uma delas, digamos a A, a chance de que ela seja a premiada é de 1/3. Como consequência, a probabilidade de que tenha errado, ou em outras palavras, de que o prêmio esteja nas outras duas portas B ou C é de 2/3. Pode-se comprovar isso somando a probabilidade de cada uma das outras portas ou simplesmente sabendo que a probabilidade de que haja um prêmio é sempre 1. O importante é ter em mente que a chance de o prêmio estar nas outras portas que você não escolheu é de 2/3.^[8]

Entendendo isso, basta ver que o apresentador abrirá sem erro uma dessas outras duas portas que contém um prémio mau, digamos que seja a B. Ao fazer isso, ele está lhe dando uma informação valiosa: se o prêmio estava nas outras portas que não escolheu (B ou C), então agora ele só pode estar na porta que você não escolheu e não foi aberta, ou seja, a porta C. Ou seja, se o concorrente errou ao escolher uma porta - e as chances disto são de 2/3 - então ao abrir uma das outras portas não premiadas o apresentador está lhe dizendo onde está o prêmio. Toda vez que o concorrente tiver escolhido inicialmente uma porta errada, ao trocar de porta irá com mais probabilidade ganhar.^[8]

Como as chances de que tenha errado em sua escolha inicial são de 2/3, se trocar suas chances de ganhar serão de 2/3 - e por conseguinte a chance de que ganhe se não trocar de porta é de apenas 1/3. É assim mais vantajoso trocar sempre de porta.^[8]

A análise pode ser ilustrada em termos da chances de probabilidades iguais que o jogador inicialmente escolheu o carro, bode A, ou bode B:

1. Apresentador revela um dos bodes Jogador escolhe carro (probabilidade 1/3) Trocar perde. 2. Apresentador tem que revelar Bode B Jogador escolhe Bode A (probabilidade 1/3) Trocar ganha. 3. Apresentador tem que revelar Bode A Jogador escolhe Bode B (probabilidade 1/3) Trocar ganha.

O jogador tem uma chance igual de inicialmente selecionar o carro, Bode A, ou Bode B. A troca resulta em uma vitória 2/3 das vezes.

O problema de Monty Hall é exposto em muitos cursos de probabilidades e de estatística, e um exercício com ele seria dado em Harvard e Princeton. Ele demonstra muito bem como nosso cérebro não foi feito para lidar intuitivamente com tais tipos específicos de problemas. Felizmente pode-se resolver o problema de Monty Hall no papel de forma simples e sem erro usando o teorema de Bayes relativo às probabilidades condicionadas.

• Marilyn vos Savant
• Paradoxo da Bela Adormecida
• Paradoxo de São Petersburgo