Lei do paralelogramo

 Nota: Não confundir com Regra do paralelogramo.

Em matemática, a forma mais simples da lei do paralelogramo (também chamada de identidade do paralelogramo) pertence à geometria elementar. Ela afirma que a soma dos quadrados dos comprimentos dos quatro lados de um paralelogramo é igual à soma dos quadrados dos comprimentos das duas diagonais. Usamos estas notações para os lados: AB, BC, CD, DA. Mas como na geometria euclidiana um paralelogramo necessariamente tem lados opostos iguais, ou seja, AB = CD e BC = DA, a lei pode ser enunciada como $${\displaystyle 2AB^{2}+2BC^{2}=AC^{2}+BD^{2}\,}$$

Se o paralelogramo for um retângulo, as duas diagonais têm comprimentos iguais AC = BD, então$${\displaystyle 2AB^{2}+2BC^{2}=2AC^{2}}$$ e a afirmação se reduz ao teorema de Pitágoras. Para o quadrilátero geral (com quatro lados não necessariamente iguais), o teorema do quadrilátero de Euler afirma $${\displaystyle AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}=AC^{2}+BD^{2}+4x^{2},}$$ onde ${\displaystyle x}$ é o comprimento do segmento de reta que une os pontos médios das diagonais. Pode-se ver no diagrama que ${\displaystyle x=0}$ para um paralelogramo, e assim a fórmula geral se simplifica para a lei do paralelogramo.

No paralelogramo à direita, seja AD = BC = a, AB = DC = b, ${\displaystyle \angle BAD=\alpha .}$ Usando a lei dos cossenos no triângulo ${\displaystyle \triangle BAD,}$ obtemos: $${\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\alpha )=BD^{2}.}$$

Em um paralelogramo, ângulos adjacentes são suplementares, portanto ${\displaystyle \angle ADC=180^{\circ }-\alpha .}$ Usando a lei dos cossenos no triângulo ${\displaystyle \triangle ADC,}$ produz: $${\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos(180^{\circ }-\alpha )=AC^{2}.}$$

Aplicando a identidade trigonométrica ${\displaystyle \cos(180^{\circ }-x)=-\cos x}$ ao resultado anterior, demonstra-se: $${\displaystyle a^{2}+b^{2}+2ab\cos(\alpha )=AC^{2}.}$$

Agora a soma dos quadrados ${\displaystyle BD^{2}+AC^{2}}$ pode ser expressa como: $${\displaystyle BD^{2}+AC^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\alpha )+a^{2}+b^{2}+2ab\cos(\alpha ).}$$

Simplificando esta expressão, obtém-se: $${\displaystyle BD^{2}+AC^{2}=2a^{2}+2b^{2}.}$$

Em um espaço normado, o enunciado da lei do paralelogramo é uma equação relacionando normas: $${\displaystyle 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}\quad {\text{ para todos }}x,y.}$$

A lei do paralelogramo é equivalente à afirmação aparentemente mais fraca: $${\displaystyle 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}\leq \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}\quad {\text{ para todos }}x,y}$$ porque a desigualdade inversa pode ser obtida dela substituindo ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(x+y\right)}$ por ${\displaystyle x,}$ e ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(x-y\right)}$ por ${\displaystyle y,}$ e então simplificando. Com a mesma demonstração, a lei do paralelogramo também é equivalente a: $${\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}\leq 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}\quad {\text{ para todos }}x,y.}$$

Em um espaço com produto interno, a norma é determinada usando o produto interno: $${\displaystyle \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle .}$$

Como consequência desta definição, em um espaço com produto interno, a lei do paralelogramo é uma identidade algébrica, facilmente estabelecida usando as propriedades do produto interno: $${\displaystyle \|x+y\|^{2}=\langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle ,}$$ $${\displaystyle \|x-y\|^{2}=\langle x-y,x-y\rangle =\langle x,x\rangle -\langle x,y\rangle -\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle .}$$

Somando estas duas expressões: $${\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\langle x,x\rangle +2\langle y,y\rangle =2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2},}$$ como requerido.

Se ${\displaystyle x}$ é ortogonal a ${\displaystyle y,}$ significando ${\displaystyle \langle x,\ y\rangle =0,}$ a equação acima para a norma de uma soma torna-se: $${\displaystyle \|x+y\|^{2}=\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle =\|x\|^{2}+\|y\|^{2},}$$ que é o teorema de Pitágoras.

A maioria dos espaços vetoriais normados reais e complexos não possui produtos internos, mas todos os espaços vetoriais normados têm normas (por definição). Por exemplo, uma norma comumente usada para um vetor ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ no espaço de coordenadas reais ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ é a ${\displaystyle p}$-norma: $${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}.}$$

Dada uma norma, pode-se avaliar ambos os lados da lei do paralelogramo acima. Um fato notável é que se a lei do paralelogramo se mantém, então a norma deve surgir da maneira usual a partir de algum produto interno. Em particular, ela se mantém para a ${\displaystyle p}$-norma se e somente se ${\displaystyle p=2,}$ a chamada norma Euclidiana ou norma padrão.^[1][2]

Para qualquer norma que satisfaça a lei do paralelogramo (que necessariamente é uma norma de produto interno), o produto interno que gera a norma é único como consequência da identidade de polarização. No caso real, a identidade de polarização é dada por: $${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\frac {\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}}{4}},}$$ ou equivalentemente por $${\displaystyle {\frac {\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}}{2}}\qquad {\text{ ou }}\qquad {\frac {\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2}}{2}}.}$$

No caso complexo, é dada por: $${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\frac {\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}}{4}}+i{\frac {\|ix-y\|^{2}-\|ix+y\|^{2}}{4}}.}$$

Por exemplo, usando a ${\displaystyle p}$-norma com ${\displaystyle p=2}$ e vetores reais ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y,}$ a avaliação do produto interno procede como segue: $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle x,y\rangle &={\frac {\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}}{4}}\\[4mu]&={\tfrac {1}{4}}\left(\sum _{i}|x_{i}+y_{i}|^{2}-\sum _{i}|x_{i}-y_{i}|^{2}\right)\\[2mu]&={\tfrac {1}{4}}\left(4\sum _{i}x_{i}y_{i}\right)\\&=x\cdot y,\\\end{aligned}}}$$ que é o produto escalar padrão de dois vetores.

Outra condição necessária e suficiente para que exista um produto interno que induza a norma dada ${\displaystyle \|\cdot \|}$ é que a norma satisfaça a desigualdade de Ptolomeu:^[3] $${\displaystyle \|x-y\|\,\|z\|~+~\|y-z\|\,\|x\|~\geq ~\|x-z\|\,\|y\|\qquad {\text{ para todos os vetores }}x,y,z.}$$

• Propriedade comutativa
• François Daviet de Foncenex
• Espaço com produto interno
• Distância de Minkowski
• Espaço vetorial normado
• Identidade de polarização
• Desigualdade de Ptolomeu

• Weisstein, Eric W. «Parallelogram Law». MathWorld (em inglês) 
• A Lei do Paralelogramo Provada Simplesmente no blog Dreamshire
• A Lei do Paralelogramo: Uma Prova Sem Palavras em cut-the-knot