Norma (matemática)

Em matemática, uma norma consiste em uma função que a cada vetor de um espaço vetorial associa um número real não-negativo. O conceito de norma está intuitivamente relacionado à noção geométrica de comprimento.

Dado um espaço vetorial ${\displaystyle X}$ sobre o corpo ${\displaystyle \mathbb {K} }$ dos números reais ou complexos, uma função ${\displaystyle \|\cdot \|:X\to \mathbb {R} ^{+}}$ é chamada de norma se, para quaisquer ${\displaystyle x,y\in X}$ e todo ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {K} :}$ ^[1]

• ${\displaystyle \|x\|=0\Leftrightarrow x=0_{_{X}}.}$ Se esta condição não for atendida, a função será no máximo uma seminorma.
• ${\displaystyle \|\alpha x\|=|\alpha |\|x\|}$
• ${\displaystyle \|x+y\|\leqslant \|x\|+\|y\|}$ (desigualdade triangular)

Se o espaço vetorial ${\displaystyle X}$ tem uma norma, ele passa a ser chamado de espaço normado, e denotado por ${\displaystyle \left(X,\|\cdot \|\right).}$

Toda norma induz de forma natural uma métrica ${\displaystyle d}$ em ${\displaystyle X}$ cujos valores são dados por:^[2] $${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|\,.}$$

Também induz uma topologia localmente convexa que é gerada por todas as bolas:

$${\displaystyle B(x_{0},r)=\{x\in X:d(x,x_{0})<r\},~~\forall \,x\in X,\forall \,r\in \mathbb {R_{+}} }$$

Duas normas ${\displaystyle \|\cdot \|_{1}}$ e ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$ sobre o mesmo espaço vetorial ${\displaystyle X}$ são ditas equivalentes se existirem constantes reais positivas ${\displaystyle C_{1}}$ e ${\displaystyle C_{2}\,(C_{1}\leqslant C_{2})}$ tais que: $${\displaystyle C_{1}\|x\|_{1}\leqslant \|x\|_{2}\leqslant C_{2}\|x\|_{1}~~\forall \,x\in X}$$

Quando duas normas são equivalentes, elas induzem a mesma topologia.

Seja ${\displaystyle x=\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i}}$ a representação de um vetor em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ou ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$

As normas canônicas definidas nestes espaços são as chamadas normas ${\displaystyle \ell ^{p}}$:

• ${\displaystyle \|x\|_{p}={\Big (}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}{\Big )}^{\frac {1}{p}}~~,1\leqslant p<\infty }$
• ${\displaystyle \|x\|_{\infty }=\max _{i\in \{1,\ldots ,n\}}|x_{i}|}$

O caso particular em que ${\displaystyle p=2}$ corresponde à norma euclidiana: $${\displaystyle \|x\|_{2}={\Big (}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}{\Big )}^{\frac {1}{2}}}$$

Outras normas podem ainda ser definidas, no entanto, pode-se demonstrar que todas elas serão equivalentes.

Ver artigo principal: Norma matricial

Se o espaço vetorial considerado é aquele formado pelas matrizes reais ou complexas de ordem ${\displaystyle n\times m,}$ denotado por ${\displaystyle M^{n\times m},}$ uma norma sobre esse espaço é chamada de norma matricial. Um exemplo de norma matricial é a norma 1, denotada ${\displaystyle \|.\|_{1}}$ definida como o máximo da soma módulo das entradas de cada linha, ou seja se ${\displaystyle A=\left[a_{ij}\right]_{r\times s}}$ então a norma 1 da matriz ${\displaystyle A}$ é o número não negativo dado por^[3] $${\displaystyle \|A\|_{1}=\max _{i\leqslant r}\sum _{j=1}^{s}|a_{ij}|.}$$

A norma 1 da matriz ${\displaystyle A={\begin{vmatrix}1&3\\2&-1\end{vmatrix}},}$ por exemplo, é^[4] $${\displaystyle \|A\|_{1}=\max \left\{|1|+|3|,|2|+|-1|\right\}=\max \left\{4,3\right\}=4.}$$

Ver artigo principal: Espaço Lp

As normas ${\displaystyle \ell ^{p}}$ têm análogos em alguns espaços de dimensão infinita.

Ver artigo principal: Produto interno

Se um espaço vetorial possui um produto interno, este pode definir uma norma, dada pelo produto interno do vetor com ele mesmo.^[5] $${\displaystyle \left\|v\right\|:={\sqrt {\langle v,v\rangle }}}$$

Se uma norma provém de um produto interno, ela satisfaz a identidade do paralelogramo.^[6]

Referências

• SANTOS, José Carlos. Introdução à Topologia. Departamento de Matemática - Faculdade de Ciências da Universidade do Porto. Junho de 2010, 171 páginas. Disponível em: <http://www.fc.up.pt/mp/jcsantos/PDF/Topologia.pdf>. Acesso em: 12 jan. 2010. Página 60.
• Boldrini, José Luiz et. al. Álgebra Linear 3ª ed. [S.l.]: Harbra. p. 342 
• Lima, Elon Lages (1981). Curso de análise, Volume 2. Instituto de Matemática Pura e Aplicada. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada 

• Produto interno
• Espaço de Banach
• Espaço euclidiano
• Espaço métrico
• Espaço vetorial topológico
• Funcional de Minkowski