Teorema do quadrilátero de Euler

O teorema do quadrilátero de Euler, ou lei de Euler para quadriláteros, nomeado em homenagem a Leonhard Euler (1707–1783), descreve uma relação entre os lados de um quadrilátero convexo e suas diagonais. Trata-se de uma generalização da lei do paralelogramo, que por sua vez pode ser vista como uma generalização do teorema de Pitágoras. Por conta disso, a reformulação do teorema de Pitágoras em termos de quadriláteros é ocasionalmente chamada de teorema de Euler–Pitágoras.

Para um quadrilátero convexo com lados ${\displaystyle a,b,c,d}$, diagonais ${\displaystyle e}$ e ${\displaystyle f}$, e ${\displaystyle g}$ sendo o segmento de reta que liga os pontos médios das duas diagonais, a seguinte equação se aplica:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=e^{2}+f^{2}+4g^{2}}$

Se o quadrilátero for um paralelogramo, então os pontos médios das diagonais coincidem, de modo que o segmento de reta ${\displaystyle g}$ tem comprimento 0. Além disso, os lados opostos são de comprimento igual, e o teorema de Euler se reduz a:

${\displaystyle 2a^{2}+2b^{2}=e^{2}+f^{2}}$

que é a lei do paralelogramo.

Se o quadrilátero for um retângulo, a equação se simplifica ainda mais, pois as duas diagonais são de igual comprimento:

${\displaystyle 2a^{2}+2b^{2}=2e^{2}}$

Dividindo ambos os lados por 2, obtém-se o teorema de Euler–Pitágoras:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=e^{2}}$

Em outras palavras, no caso de um retângulo, a relação entre os lados do quadrilátero e suas diagonais é descrita pelo teorema de Pitágoras.^[1]

Euler originalmente derivou o teorema acima como corolário de um teorema ligeiramente diferente que requer a introdução de um ponto adicional, mas fornece mais clareza estrutural.

Para um dado quadrilátero convexo ${\displaystyle ABCD}$, Euler introduziu um ponto adicional ${\displaystyle E}$ tal que ${\displaystyle ABED}$ forma um paralelogramo, e então a seguinte igualdade se aplica:

${\displaystyle |AB|^{2}+|BC|^{2}+|CD|^{2}+|AD|^{2}=|AC|^{2}+|BD|^{2}+|CE|^{2}}$

A distância ${\displaystyle |CE|}$ entre o ponto adicional ${\displaystyle E}$ e o ponto ${\displaystyle C}$ do quadrilátero (não pertencente ao paralelogramo) pode ser vista como uma medida de quanto o quadrilátero se desvia de um paralelogramo, e ${\displaystyle |CE|^{2}}$ é o termo de correção que precisa ser adicionado à equação original da lei do paralelogramo.^[2]

Sendo ${\displaystyle M}$ o ponto médio de ${\displaystyle AC}$, temos ${\displaystyle {\tfrac {|AC|}{|AM|}}=2}$. Como ${\displaystyle N}$ é o ponto médio de ${\displaystyle BD}$, ele também é o ponto médio de ${\displaystyle AE}$, já que ${\displaystyle AE}$ e ${\displaystyle BD}$ são ambas diagonais do paralelogramo ${\displaystyle ABED}$. Isso nos dá ${\displaystyle {\tfrac {|AE|}{|AN|}}=2}$ e, portanto, ${\displaystyle {\tfrac {|AC|}{|AM|}}={\tfrac {|AE|}{|AN|}}}$. Assim, segue-se do teorema das bissetrizes (e seu recíproco) que ${\displaystyle CE}$ e ${\displaystyle NM}$ são paralelos e ${\displaystyle |CE|^{2}=(2|NM|)^{2}=4|NM|^{2}}$, o que leva ao teorema de Euler.^[2]

O teorema de Euler pode ser estendido para um conjunto mais amplo de quadriláteros, incluindo os cruzados e os não planares. Ele é válido para os chamados quadriláteros generalizados, que consistem simplesmente de quatro pontos arbitrários em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ conectados por arestas de forma a formar um grafo ciclo.^[3]

• Deanna Haunsperger, Stephen Kennedy: The Edge of the Universe: Celebrating Ten Years of Math Horizons. MAA, 2006, ISBN 9780883855553, pp. 137–139
• Lokenath Debnath: The Legacy of Leonhard Euler: A Tricentennial Tribute. World Scientific, 2010, ISBN 9781848165267, pp. 105–107
• C. Edward Sandifer: How Euler Did It. MAA, 2007, ISBN 9780883855638, pp. 33–36
• Geoffrey A. Kandall: Euler's Theorem for Generalized Quadrilaterals. The College Mathematics Journal, Vol. 33, No. 5 (nov., 2002), pp. 403–404 (JSTOR)
• Dietmar Herrmann: Die antike Mathematik: Eine Geschichte der griechischen Mathematik, ihrer Probleme und Lösungen. Springer, 2013, ISBN 9783642376122, p. 418

• Weisstein, Eric W. «Quadrilateral». MathWorld (em inglês)