Primitiva

Em matemática, se ${\displaystyle A}$ é um conjunto de números reais e ${\displaystyle f}$ é uma função de ${\displaystyle A}$ em ${\displaystyle R}$, diz-se que uma função ${\displaystyle F}$ de ${\displaystyle A}$ em ${\displaystyle R}$ é uma primitiva ou antiderivada de ${\displaystyle f}$ se a derivada de ${\displaystyle F}$ for igual a ${\displaystyle f}$. Se f tiver uma primitiva, diz-se que ${\displaystyle f}$ é primitivável. Pode-se provar que, se ${\displaystyle A}$ for um intervalo com mais do que um ponto:^[1][2]

• quaisquer duas primitivas diferem por uma constante, ou seja, se F₁ e F₂ forem primitivas de ${\displaystyle f}$, então F₁ − F₂ é constante;
• se ${\displaystyle f}$ for contínua então f é primitivável, o que resulta do teorema fundamental do cálculo.

Quando se primitiva uma função num intervalo (aberto, fechado ou semiaberto) obtém-se uma família de primitivas na forma:^[3]

${\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+C,C\in \mathbb {R} }$

Para fazer primitivas básicas de uma função é preciso ter o domínio de derivadas, pois este fato é preponderante, tendo uma função ${\displaystyle F(x)}$ na qual sua primitiva básica será uma função ${\displaystyle f(x)+C}$, em que ${\displaystyle C}$ é uma constante, a derivada de ${\displaystyle f(x)+C}$ terá como resultado a função ${\displaystyle F(x)}$, pode-se concluir que ${\displaystyle {df \over dx}+{dC \over dx}=F(x)}$

O uso de primitivas básicas é muito importante porque seus conceitos são de extrema relevância para o teorema fundamental do cálculo.

Existem várias primitivas básicas, dentre as quais:

1- a função ${\displaystyle F(x)=x^{n}}$ em que n ≠ -1, sua primitiva geral é ${\displaystyle f(x)={x^{n+1} \over n+1}+C}$

2- ${\displaystyle f(x)=x^{-1}}$ ou ${\displaystyle f(x)={1 \over x}}$, então ${\displaystyle F(x)=\ln(x)+C}$ é a primitiva geral de f(x),pois ${\displaystyle f'(x)={1 \over x}=F(x)}$

3 -seja ${\displaystyle F(x)=e^{x}}$, então ${\displaystyle f(x)=e^{x}+C}$ é a primitiva geral, pois ${\displaystyle f'(x)=e^{x}=F(x)}$

4 -se ${\displaystyle F(x)=b^{x}}$, sua primitiva geral será ${\displaystyle f(x)={b^{x} \over \ln(x)}+C}$+, pois ${\displaystyle f'(x)=b^{x}=F(x)}$

5- a função ${\displaystyle F(x)=\cos(x)}$ , sua primitiva geral é ${\displaystyle f(x)=\sin(x)+C}$

6- se ${\displaystyle F(x)=\sin(x)}$, sua primitiva geral ${\displaystyle f(x)=-\cos(x)+C}$

7 - ${\displaystyle F(x)=\sec ^{2}(x)}$, primitiva geral é ${\displaystyle f(x)=\tan(x)+C}$

8 - se ${\displaystyle F(x)=-\csc ^{2}(x)}$, sua primitiva geral é ${\displaystyle f(x)=\cot(x)+C}$

9- ${\displaystyle F(x)=\sec(x)\cdot \tan(x)}$, sua primitiva geral é ${\displaystyle f(x)=\sec(x)+C}$

10 - a função ${\displaystyle F(x)=\csc(x)\cdot \cot(x)}$, sua primitiva geral é ${\displaystyle f(x)=\csc(x)+C}$

11-seja ${\displaystyle F(x)+G(x)}$, ${\displaystyle Z(x)-H(x)}$ ou ${\displaystyle V(x)+J(x)-W(x)}$, suas primitivas são ${\displaystyle f(x)+g(x)+C}$,

${\displaystyle z(x)-h(x)+c}$ e ${\displaystyle v(x)+j(x)-w(x)+C}$

1) ${\displaystyle F(x)=x^{2}}$

${\displaystyle f(x)={x^{(2+1)} \over {(2+1)}}+C={X^{3} \over 3}+C}$

2) ${\displaystyle G(x)=\sec ^{2}}$

${\displaystyle g(x)=\tan(x)+C}$

3) ${\displaystyle H(x)-K(x)=e^{x}-\cos(x)}$

${\displaystyle h(x)-k(x)=e^{x}-\sin(x)+C}$

4) ${\displaystyle F(x)+G(x)={1 \over x}+x^{n}}$, sua primitiva geral é ${\displaystyle f(x)+g(x)=\ln(x)+{x^{n+1} \over n+1}+C}$

${\displaystyle Z(x)-H(x)=\cos {\dot {(}}x)-e^{x}}$, sua primitiva geral é ${\displaystyle z(x)-h(x)=\sin(x)-e^{x}+C}$

${\displaystyle V(x)+J(x)-W(x)=\sin(x)+b^{x}-e^{x}}$, sua primitiva geral é ${\displaystyle v(x)+j(x)-w(x)=-\cos(x)+{b^{x} \over \ln(x)}-e^{x}+C}$^[4]

4) ${\displaystyle Psen{\sqrt {x}}}$

Usaremos os métodos da primitivação por substituição e da primitivação por partes.

Façamos a seguinte substituição: ${\displaystyle {\sqrt {x}}=t}$

Temos então que:

${\displaystyle x=t^{2}\ \ {\frac {dx}{dt}}=2t}$

Substituindo ficamos então com:

${\displaystyle Psen{\sqrt {x}}=Psen{(t)}2t}$

Aplicamos agora a primitivação por partes

${\displaystyle u'=sen{t}\ \ u=-cos{t}}$

${\displaystyle v=2t\ \ v'=2}$

${\displaystyle Psen{(t)}2t=-cos(t)2t-P2(-cos(t))=-cos(t)2t+2Pcos(t)=}$

${\displaystyle =-cos(t)2t+2.sen(t)+C=2(-t.cos(t)+sen(t))+C}$

fazendo agora a substituição inicial ${\displaystyle t={\sqrt {x}}}$ temos o resultado final:

${\displaystyle Psen{\sqrt {x}}=2(-{\sqrt {x}}.cos{\sqrt {x}}+sen{\sqrt {x}})+C}$

• Integral

Referências

• «Cálculo de primitivas online (The Wolfram Integrator)»