Função limitada

Em matemática, uma função é dita limitada se sua imagem é um conjunto limitado. Analogamente, dizemos que uma função é ilimitada quando ela não é limitada.

Uma função real ${\displaystyle f:D\to \mathbb {R} }$ é limitada se existe uma constante ${\displaystyle M\geq 0}$ tal que:^[1][2]

${\displaystyle |f(x)|\leq M,~~\forall x\in D}$

Além disso, dizemos que ${\displaystyle f}$ é uma função limitada superiormente quando existe ${\displaystyle M\in \mathbb {R} }$ tal que:^[1][2]

${\displaystyle f(x)\leq M,\quad \forall x\in D}$.

Analogamente, dizemos que ${\displaystyle f}$ é limitada inferiormente quando existe ${\displaystyle m\in \mathbb {R} }$ tal que:^[1][2]

${\displaystyle m\leq f(x),\quad \forall x\in D}$.

Desta forma, podemos observar que uma função real é limitada quando for simultaneamente limitada superiormente e inferiormente. Analogamente, uma função real é ilimitada quando for ilimitada superiormente ou inferiormente.

Sejam duas funções ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ de contra-domínio real. Se ${\displaystyle f}$ é limitada, e se ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow a}g(x)=0}$, então ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow a}f(x)g(x)=0}$.^[1]

Demonstração

Suponhamos que ${\displaystyle g}$ é uma função não-negativa. Se ${\displaystyle g\equiv 0}$ não há nada mais a fazer. Se ${\displaystyle g}$ é positiva, temos que como ${\displaystyle f}$ é limitada, então existe ${\displaystyle M\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle M\geq 0}$ tal que ${\displaystyle |f(x)|\leq M}$. Segue que:

${\displaystyle -M\leq f(x)\leq M}$ e assim ${\displaystyle -Mg(x)\leq f(x)g(x)\leq Mg(x)}$.

Logo:

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow a}-Mg(x)\leq \lim _{x\rightarrow a}f(x)g(x)\leq \lim _{x\rightarrow a}Mg(x)}$

${\displaystyle -M\lim _{x\rightarrow a}g(x)\leq \lim _{x\rightarrow a}f(x)g(x)\leq M\lim _{x\rightarrow a}g(x)}$

${\displaystyle 0\leq \lim _{x\rightarrow a}f(x)g(x)\leq 0}$

Assim, pelo teorema do confronto, ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow a}f(x)g(x)=0}$. O caso de ${\displaystyle g}$ negativa segue raciocínio análogo.

• Note que um funcional linear nunca é limitado neste sentido. O termo funcional linear limitado é um funcional que leva conjuntos limitados em conjuntos limitados.

Referências