Tangente hiperbólica

A tangente hiperbólica é uma função hiperbólica. É obtida a partir da razão entre o seno hiperbólico e o cosseno hiperbólico, de forma similar à relação trigonométrica da tangente. É representado por ${\displaystyle {\text{tgh}}(x)}$ ou ${\displaystyle \tanh(x)}$ e expresso matematicamente por:^[1][2]

${\displaystyle \tanh(x)={\operatorname {senh} (x) \over \cosh(x)}={{e^{x}-e^{-x} \over 2} \over {e^{x}+e^{-x} \over 2}}}$

Que, por fim, resulta em:

${\displaystyle \tanh(x)={e^{x}-e^{-x} \over {e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}}$

O domínio da função está definido para ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$ e seu contradomínio fica definido para o intervalo ${\displaystyle (-1,1)}$. A função apresenta uma assíntota horizontal em ${\displaystyle y=-1}$ e em ${\displaystyle y=1}$.

A derivada da função é:^[2]

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\tanh x=1-\,\mathrm {tanh} ^{2}x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}=\operatorname {sech} ^{2}x}$

A função tangente hiperbólica, como demonstra o teorema de adição, pode-se ser sintetizada como:^[2]

${\displaystyle \tanh(\alpha +\beta )={\frac {\tanh \alpha +\tanh \beta }{1+\tanh \alpha \,\tanh \beta }}}$

De modo que quando ${\displaystyle \alpha =\beta }$, temos

${\displaystyle \tanh(2\alpha )={\frac {2\tanh \alpha }{1+\tanh ^{2}\alpha }}}$

De modo similar, podemos encontrar

${\displaystyle \tanh(\alpha -\beta )={\frac {\tanh \alpha -\tanh \beta }{1-\tanh \alpha \,\tanh \beta }}}$

Referências