Triângulo isósceles

Triângulo isósceles
Triângulo isósceles
	Triângulo isósceles
Tipo	Triângulo
Arestas e Vértices	3
Símbolo de Schläfli	( ) ∨ { }
Propriedades	convexo

Em geometria, um triângulo isósceles é um triângulo que possui dois lados de mesma medida, isso é, congruentes. Algumas definições declaram que triângulos isósceles são aqueles que contém exatamente dois lados com a mesma medida, enquanto outras estabelecem que são aqueles com pelo menos dois lados congruentes. Esta última definição, portanto, abrange o triângulo equilátero como um caso especial de isósceles.

Definição

Euclides define um triângulo isósceles como aquele que possui dois lados congruentes^[1], mas atualmente se define triângulo isósceles como aquele que contém pelo menos dois lados iguais. Na visão moderna, então, faz dos triângulos equiláteros, com três lados iguais, um caso especial de triângulo.^[2] Um triângulo que não é isósceles, ou seja, possui três lados diferentes, é considerado um escaleno.^[3]

Com notação matemática, isso pode ser expresso da seguinte forma:

$\triangle {ABC}\quad {\text{é isósceles}}\quad \Longleftrightarrow \quad {\overline {AB}}\equiv {\overline {AC}}$ ^[4]

O termo "isósceles" vem da união dos radicais gregos "isos", igual ou equivalente, e "skelos", pernas. O mesmo termo é utilizado para, por exemplo, trapézios isósceles, denotando trapézios com dois lados iguais.^[5]

O lado que não é igual a nenhum dos outros no triângulo isósceles é a base. No caso de triângulos equiláteros, qualquer lado pode ser chamado de base.^[6]^:46 O vértice oposto à base é chamado de ápice.^[7]

Classificações

Esse triângulo pode ser agudo, reto ou obtuso, a depender do ângulo oposto à base. Na geometria euclidiana, os ângulos da base não podem ser obtusas (maiores do que 90°), nem retas (iguais a 90°), uma vez que a soma de apenas esses dois ângulos já resultaria em 180° ou mais, que seria a soma total dos ângulos internos de um triângulo euclidiano.^[6]^:46 Como o triângulo é obtuso ou reto se, e somente se, um de seus ângulos é obtuso ou reto, respectivamente, o triângulo é agudo, reto ou obtuso se o ângulo oposto à base for agudo, reto ou obtuso, na mesma ordem.^[7]

No livro de Edwin Abbott Abbott Flatland - A Romance of Many Dimensions, essa classificação foi utilizado como sátira da hierarquia social: os triângulos isósceles representaria a classe trabalhadora, com os agudos acima dos triângulos isósceles retos e obtusos.^[8]

Exemplos

Assim como o triângulo isósceles retângulo, diversos outros tipos específicos de isósceles têm sido estudados. À título de exemplo, o triângulo de Eugenio Calabi, que possui três quadrados inscritos congruentes^[9]^:206, o triângulo de ouro, o triângulo com dois ângulos de 80° e um de 20º estudado por Edward Mann Langley^[10] e o com dois ângulos de 30º e um de 120 do mosaico triangular triakis.

Há também cinco sólidos de Catalan, tetraedro triakis, octaedro triakis, hexaedro tetrakis, dodecaedro pentakis e icosaedro triakis, que apresentam faces com triângulos isósceles, assim como certas pirâmides e bipirâmides.^[6]^:46^[11]

Propriedades

Congruência dos ângulos da base

Todo triângulo isósceles é também um triângulo isoângulo, isto é, possui dois ângulos congruentes, que são os dois ângulos opostos aos lados congruentes. Chamamos esses ângulos de ângulos da base. Vamos demonstrar que para um triângulo ser isósceles basta ele possuir dois ângulo congruentes ou dois lados congruentes.

Demonstração

Esse teorema pode ser enunciado de três formas diferentes:

"Se um triângulo tem dois lados congruentes, então os ângulos opostos a esses lados são congruentes."
"Se um triângulo é isósceles, os ângulos da base são congruentes."
"Todo triângulo isósceles é isoângulo."

Com notação matemática, podemos expressá-lo da seguinte forma:

$\triangle {ABC}\quad {\text{é isósceles}}\quad \longleftrightarrow \quad \triangle {ABC}\quad {\text{é isoângulo}}$

Imagem suporte para demonstração de que todo triângulo isoângulo é também um triângulo isósceles

ou

$\triangle {ABC},\quad {{\overline {AB}}\equiv {\overline {AC}}}\qquad \longleftrightarrow \qquad {{\hat {B}}\equiv {\hat {C}}}$

Para fazer essa demonstração precisamos mostrar primeiro que ser isósceles implica ser isoângulo.

Assim, partiremos de um triângulos isósceles qualquer e buscaremos provar que este triângulo é congruente a si mesmo, porém havendo uma correspondência nos vértices.

Para isso tomaremos duas vezes $\triangle {ABC}$ , tendo o cuidado de, em cada vez, alternar a ordem dos vértices da base.

Assim, podemos abstrair e pensar em dois triângulos "distintos": $\triangle {ABC}$ e $\triangle {ACB}$ .

Tendo isso em mente, percebe-se que $\triangle {ABC}\equiv \triangle {ACB}$ , pelo caso de congruência $LAL$ :

${\overline {AB}}\equiv {\overline {AC}}\quad {\text{e}}\quad {B{\hat {A}}C}\equiv {C{\hat {A}}B}\quad {\text{e}}\quad {\overline {AC}}\equiv {\overline {AB}}\qquad \Longrightarrow \qquad \triangle {ABC}\equiv \triangle {ACB}$

Visto que temos, a congruência dos dois triângulos, com isso obtemos que todos seus ângulo correspondentes são congruentes.

Logo: ${\hat {B}}\equiv {\hat {C}}$

Agora precisamos mostrar que ser isoângulo implica ser isósceles.

Para isso partiremos de um triângulo $ABC$ qualquer que seja isoângulo, isto é, que tenha dois ângulos congruentes.

Para facilitar na demonstração, utilizaremos notação matemática com base em um triângulo $ABC$ .

${\hat {B}}\equiv {\hat {C}}\qquad \longrightarrow \qquad {\overline {AB}}\equiv {\overline {AC}}$

Então traçaremos no triângulo $ABC$ a sua bissetriz relativa ao vértice $A$ . À intersecção da bissetriz com o segmento ${\overline {BC}}$ chamaremos de ponto $M$ .

Assim teremos dois triângulos: $\triangle {AMB}$ e $\triangle {AMC}$ , ficando fácil de verificar a congruência entre esses dois triângulos, pelo caso de congruência, lado, ângulo e ângulo oposto ao lado.

${\overline {AM}}\equiv {\overline {AM}}\quad {\text{e}}\quad {B{\hat {A}}M}\equiv {M{\hat {A}}C}\quad {\text{e}}\quad {\hat {B}}\equiv {\hat {C}}\quad \left(LAA_{o}\right)\qquad \longrightarrow \qquad \triangle {AMB}\equiv \triangle {AMC}$ .

Com essa congruência, temos a seguinte congruência: ${\overline {AB}}\equiv {\overline {AC}}$ .

Assim demonstramos que ser triângulo isósceles implica ser triângulo isoângulo e que ser triângulo isoângulo implica ser triângulo isósceles.

Logo, temos que ser triângulo isósceles é condição necessária e suficiente para ser triângulo isoângulo.^[4]

Bissetriz, mediatriz, mediana e altura

Em um triângulo isósceles a mediatriz relativa à base, a bissetriz relativa ao ângulo oposto ao da base, a mediana e a altura relativas a base coincidem.

Esta propriedade pode ser expressa com notação matemática da seguinte forma:

$\triangle {ABC},\quad {{\overline {AB}}\equiv {\overline {AC}}}\quad {\text{e}}\quad {\text{M é ponto médio de}}\quad {\overline {BC}}\qquad \longrightarrow \qquad {\overline {AM}}\qquad {\begin{cases}{\text{é bissetriz de }}{\hat {A}}\\{\text{está contido na mediatriz de }}{\overline {BC}}\\{\text{é mediana de }}{\overline {BC}}\\{\text{é altura relativa à }}{\overline {BC}}\end{cases}}$

Demonstração

Ao dividir o triângulo original, temos dois triângulos congruentes

Como já vimos acima, temos o triângulo isósceles $ABC$ , onde ${\overline {AB}}\equiv {\overline {AC}}$ , ${\hat {B}}\equiv {\hat {C}}$ e $M$ é ponto médio de ${\overline {BC}}$ .

Assim, pela definição de mediana temos que ${\overline {AM}}$ é mediana relativa ao lado ${\overline {BC}}$ e ao vértice $A$ .

Esse segmento ${\overline {AM}}$ divide $\triangle {ABC}$ em dois triângulos congruentes: $\triangle {AMC}$ e $\triangle {AMB}$ .

${\overline {AB}}\equiv {\overline {AC}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {BM}}\equiv {\overline {MC}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {AM}}\equiv {\overline {AM}}\quad \left(LLL\right)\qquad \Longrightarrow \qquad \triangle {AMB}\equiv \triangle {AMC}$ .

Essa congruência dos triângulos implica a congruência $B{\hat {A}}M\equiv {M{\hat {A}}C}$ . Assim, temos que ${\overline {AM}}$ é também bissetriz de $B{\hat {A}}C$ .

A partir disso temos também a congruência $B{\hat {M}}A\equiv {C{\hat {M}}A}$ . Porém, temos também que esses ângulos são suplementares.

Assim temos: $med\left(B{\hat {M}}A\right)+med\left(C{\hat {M}}A\right)=180^{\circ }=2.med\left(B{\hat {M}}A\right)\qquad \Longrightarrow \qquad {med\left(B{\hat {M}}A\right)=90^{\circ }}$ .

Como os ângulos $B{\hat {M}}A$ e $A{\hat {M}}C$ são ângulos retos, temos que ${\overline {AM}}$ é perpendicular à ${\overline {BC}}$ . Isso nos garante que ${\overline {AM}}$ é a altura relativa à base ${\overline {BC}}$ e é mediatriz, por $M$ ser ponto médio.

Assim temos que ${\overline {AM}}$ é bissetriz, mediatriz, mediana e altura relativa à base.

Baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro

Como implicação da propriedade anterior, temos que em um triângulo isósceles o baricentro, o incentro, o circuncentro e o ortocentro são colineares. Assim, temos que isso é uma condição necessária e suficiente para que um triângulo seja isósceles.

$\triangle {ABC}\quad {\text{é isósceles}},\quad \longleftrightarrow \quad {\text{o baricentro, o incentro, o circuncentro e o ortocentro são colineares}}$

Demonstração

$\triangle {ABC}\quad {\text{é isósceles}}\quad \longrightarrow \quad {\text{o baricentro, o incentro, o circuncentro e o ortocentro são colineares}}$

Primeiramente vamos provar que, se um triângulo é isósceles, então o baricentro, o incentro, o circuncentro e o ortocentro são colineares. Para demonstrar esse teorema partiremos do que foi demonstrado acima.

Assim temos que, se tomarmos a mediana de um triângulo isósceles, temos que essa mediana é também bissetriz, altura relativa e está contida na mediatriz do triângulo.

Isso implica qualquer ponto que pertence à mediana pertence também à bissetriz, à altura relativa e à mediatriz.

Após demonstrar isso precisamos demonstrar a recíproca.

Assim, precisamos demonstrar que:

$\triangle {ABC},{\text{baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro são colineares}}\qquad \longrightarrow \qquad {\triangle {ABC}\quad {\text{é isósceles}}}$

Como temos que os quatro pontos notáveis são colineares, daremos nomes a esses pontos como forma de simplificar a notação.

Desse modo temos que $G{\text{ é baricentro}}$ , $I{\text{ é incentro}}$ , $D{\text{ é o circuncentro}}$ e $O{\text{ é o ortocentro}}$ .

Para fazer essa demonstração tomaremos uma reta $r$ que contém todos esses pontos, ou seja:

$\exists {r}/G,I,D,O\in {r}$

Com relação a essa reta podemos analisar duas situações em relação ao vértice $A$ (sem perda de generalidade):

Ou $A\in {r}$ ou $A\notin {r}$ .

Analisaremos essas duas situações separadamente

Primeira possibilidade: $A\in {r}$

Primeiramente, tomaremos um ponto $M$ , tal que esse ponto seja a intersecção de $r$ com ${\overline {BC}}$ . Assim teremos:

$M/{r\cap {\overline {BC}}=M}\qquad \Longrightarrow \qquad {\overleftrightarrow {AM}}=r\qquad \Longrightarrow \qquad {G,I,D,O}\in {\overleftrightarrow {AM}}\Longrightarrow {\begin{cases}{\overline {AM}}{\text{ é bissetriz de }}{\hat {A}}\\{\overline {AM}}{\text{ é mediana de }}{\overline {BC}}\\{\overleftrightarrow {AM}}{\text{define altura relatica à }}{\overline {BC}}\\{\overleftrightarrow {AM}}{\text{ é mediatriz de }}{\overline {BC}}\end{cases}}$

A partir dessas relações, podemos chegar a nossa conclusão de várias maneiras.

Sabendo que ${\overleftrightarrow {AM}}$ é mediatriz de ${\overline {BC}}$ , temos:

${\overleftrightarrow {AM}}{\text{ é mediatriz de }}{\overline {BC}}\qquad \Longrightarrow \qquad {{\overline {BM}}\equiv {\overline {MC}}}\quad {\text{e}}\quad {B{\hat {M}}}A\equiv {A{\hat {M}}C}$ .

Dessas relações, temos a congruência entre os triângulos $\triangle {ABM}$ e $\triangle {ACM}$ :

${{\overline {BM}}\equiv {\overline {MC}}}\quad {\text{e}}\quad {B{\hat {M}}}A\equiv {A{\hat {M}}C}\quad {\text{e}}\quad {\overline {AM}}\equiv {\overline {AM}}\quad \left(LAL\right)\qquad \Longrightarrow \qquad {\triangle {ABM}\equiv \triangle {ACM}}$

A partir da congruência dos triângulos temos a congruência de dois lados de $\triangle {ABC}$ , provando que ele é isósceles.

$\triangle {ABM}\equiv \triangle {ACM}\qquad \Longrightarrow \qquad {{\overline {AB}}\equiv {\overline {AC}}}\qquad \Longrightarrow {\triangle {ABC}{\text{ é isósceles}}}$ .

Segunda possibilidade: $A\notin {r}$

Primeiramente tomaremos duas retas, a reta ${\overleftrightarrow {AG}}$ (reta que passa pelo vértice $A$ e pelo baricentro) e a reta ${\overleftrightarrow {AD}}$ (reta que passa pelo vértice $A$ e pelo circuncentro).

Então tomaremos dois pontos, que serão a intersecção dessas retas com o segmento ${\overline {BC}}$ .

Com esses dois pontos teremos as seguintes implicações:

$H/{\quad {\overleftrightarrow {AG}}\cap {\overline {BC}}=H}\qquad \Longrightarrow \qquad {{\overline {AG}}{\text{ é mediana relativa ao lado }}{\overline {BC}}}\qquad \Longrightarrow \qquad {H{\text{ é ponto médio de }}{\overline {BC}}}\qquad ({\text{I}})$

e

$J/{\quad {\overleftrightarrow {AD}}\cap {\overline {BC}}=J}\qquad \Longrightarrow \qquad {{\overleftrightarrow {AJ}}{\text{ é mediatriz de }}{\overline {BC}}}\qquad \Longrightarrow \qquad {J{\text{ é ponto médio de }}{\overline {BC}}}\qquad ({\text{II}})$

De $\left({\text{I}}\right)$ e $\left({\text{II}}\right)$ , e pela propriedade de unicidade do ponto médio temos:

$J=H\qquad \Longrightarrow \qquad {\overline {AH}}={\overline {AJ}}\qquad \Longrightarrow \qquad {\overleftrightarrow {AG}}={\overleftrightarrow {AD}}={\overleftrightarrow {GD}}=r\qquad \Longrightarrow \qquad {A\in {r}}$

Assim chegamos a uma contradição, pois, nesse segundo caso tinhamos por hipótese que $A\notin {r}$ . Com isso temos que apenas a primeira possibilidade é possível.

Logo, em todo triângulo isósceles, o baricentro, o incentro, o circuncentro e o ortocentro são colineares.

Fórmulas

Cálculo da altura

A altura e, por conseguinte, a mediatriz relativa à base, a bissetriz relativa ao ângulo oposto ao da base e a mediana, pode ser calculada através de seus lados iguais $a$ e da base $b$ . Ao analisar que a altura divide a base em duas partes iguais e dá origem a dois triângulos retos congruentes, através do Teorema de Pitágoras obtemos a fórmula para a altura $h$ :

$h={\sqrt {a^{2}-{\frac {b^{2}}{4}}}}$ .^[12]

Área

A área $T$ de um triângulo isósceles pode ser obtida através da fórmula geral de áreas para triângulos: base vezes altura, dividido por dois. Podemos substituir a altura pela fórmula acima, assim temos:

$T={\frac {b}{4}}{\sqrt {4a^{2}-b^{2}}}$ .^[12]

A mesma fórmula pode ser obtida ao trabalhar com o Teorema de Herão.^[13]

Perímetro

O perímetro $p$ de um triângulo isósceles pode ser obtido simplesmente através da soma de seus lados iguais $a$ e da base $b$ :

$p=2a+b$ .^[12]

Assim como para todos triângulos, a área $T$ e o perímetro $p$ se relacionam por meio da desigualdade isoperimétrica:

$p^{2}>12{\sqrt {3}}T$ .^[14]

A relação é estritamente uma desigualdade, com exceção de triângulos equiláteros.^[14] A área e o perímetro também se relacionam através da equação:

$2pb^{3}-p^{2}b^{2}+16T^{2}=0$ .^[15]

Raio da circunferência inscrita

A fórmula para o raio da círcunferência inscrita, bem como para a circunscrita, é derivada de suas fórmulas para triângulos arbitrários.^[12] O raio do círculo inscrito de um triângulo isósceles de lados iguais $a$ , base $b$ e altura $h$ é:

${\frac {2ab-b^{2}}{4h}}$ .^[12]

Raio da circunferência circunscrita

O raio da circunferência circunscrita de um triângulo isósceles de lados iguais $a$ , base $b$ e altura $h$ é:

${\frac {a^{2}}{2h}}$ .^[12]

Quadrado inscrito

Para qualquer triângulo isósceles, há apenas um único quadrado com um lado coincidente com a base do triângulo e dois vértices nos segmentos de reta dos outros lados. Um antigo teorema, preservado nos trabalhos de Heron de Alexandria, aponta que, para um triângulo isósceles de base $b$ e altura $h$ , o comprimento dos lados do quadrado inscrito, com um lado coincidente com a base, é:

${\frac {bh}{b+h}}$ .^[16]

O triângulo de Calabi é um tipo especial de triângulo isósceles, com a propriedade de que os dois quadrados inscritos que possuem um lado coincidente com um dos lados do triângulo são do mesmo tamanho do quadrado inscrito que possui lado coincidente com a base.^[9]^:206

Aplicações

Arquitetura

Isósceles obtusos no edifício Panteão, Roma

Isósceles agudos em Notre-Dame de Paris

Triângulos isósceles aparecem comumente na arquitetura em empenas e frontões. Na Arquitetura da Grécia Antiga e de civilizações influências por ela, triângulos isósceles obtusos eram utilizados. Mais tarde, a arquitetura gótica os substituiu por triângulos isósceles agudos.^[6]^:46

Na arquitetura da Idade Média, o triângulo isósceles egípcio se tornou popular. Esse triângulo é agudo e apresenta sua altura em uma proporção de 5/8 em relação à base.^[17]^:44 Sua reimplementação na arquitetura moderna foi trazido pelo arquiteto neerlandês Hendrik Petrus Berlage.^[18]^:128

Em treliças Warren e em pontes, triângulos isósceles são comumente utilizados, apesar da esporádica inclusão de suportes verticais para fornecer uma estabilidade maior.^[19]^:106-107

Design

Bandeira da Guiana

Bandeira de Santa Lúcia

Nas artes decorativas e no design gráfico, triângulos isósceles são comumente utilizados em culturas ao redor do mundo pelo menos a partir do início do período neolítico^[20] e persiste na modernidade.^[21]^:48 Há usos em bandeiras e heráldicas utilizando uma base vertical, como a bandeira da Guiana, ou uma base horizontal, tal qual a bandeira de Santa Lúcia, que forma uma imagem estilizada de uma ilha montanhosa.^[22]

Os triângulos isósceles também são utilizados em designs de cunho religioso ou místico, como no Sri Yantra das práticas de meditação hindus.^[23]

Na matemática

Se uma equação cúbica com coeficientes reais possuir três raízes que não são números reais, quando essas raízes são dispostas em um plano complexo no plano de Argand-Gauss, elas formam os vértices de um triângulo isósceles, cujo eixo de simetria coincide com o eixo horizontal, isto é, o eixo real. Isso ocorre porque as raízes complexas são conjugadas, logo são simétricas em relação ao eixo real.^[24]

História

Antes que os triângulos isósceles fossem estudados pelos antigos matemáticos gregos, os matemáticos egípcios e matemáticos babilônicos já sabiam calcular sua área. Problemas desse tipo estão incluídos no Papiro de Moscou e no Papiro de Rhind.^[25]

O teorema que declara que os ângulos nas bases do triângulo isósceles são congruentes aparece na preposição I.5 em Os Elementos de Euclides.^[26] Esse resultado foi chamado de Pons asinorum ("ponte de burros") ou teorema do triângulo isósceles. Há discordâncias quanto ao surgimento do nome, alguns defendem que para a demonstração do teorema Euclides utiliza um diagrama com o formato de uma ponte, outros alegam que esse é o primeiro resultado difícil no tratado de Euclides, o que separa aqueles que conseguem compreender a geometria euclidiana daqueles que não.^[27]

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Definição

Classificações

Exemplos

Propriedades

Congruência dos ângulos da base

Demonstração

Bissetriz, mediatriz, mediana e altura

Demonstração

Baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro

Demonstração

Primeira possibilidade: A ∈ r {\displaystyle A\in {r}}

Segunda possibilidade: A ∉ r {\displaystyle A\notin {r}}

Fórmulas

Cálculo da altura

Área

Perímetro

Raio da circunferência inscrita

Raio da circunferência circunscrita

Quadrado inscrito

Aplicações

Arquitetura

Design

Na matemática

História

Referências

Bibliografia

Primeira possibilidade: $A\in {r}$

Segunda possibilidade: $A\notin {r}$