Série harmónica (matemática)

Uma maneira de provar a divergência é comparar a série harmônica com outra série divergente, onde cada denominador é substituído pela próxima maior potência de dois: $${\displaystyle {\begin{alignedat}{8}1&+{\frac {1}{2}}&&+{\frac {1}{3}}&&+{\frac {1}{4}}&&+{\frac {1}{5}}&&+{\frac {1}{6}}&&+{\frac {1}{7}}&&+{\frac {1}{8}}&&+{\frac {1}{9}}&&+\cdots \\[5pt]{}\geq 1&+{\frac {1}{2}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {4} }}}&&+{\frac {1}{4}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8} }}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8} }}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8} }}}&&+{\frac {1}{8}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {16} }}}&&+\cdots \\[5pt]\end{alignedat}}}$$ O agrupamento de termos iguais mostra que a segunda série diverge (porque todo agrupamento de uma série convergente também é convergente): $${\displaystyle {\begin{aligned}&1+\left({\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}\right)+\left({\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{16}}\right)+\cdots \\[5pt]{}={}&1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+\cdots .\end{aligned}}}$$ Como cada termo da série harmônica é maior ou igual ao termo correspondente da segunda série (e todos os termos são positivos), e como a segunda série diverge, segue-se (pelo Teste da comparação) que a série harmônica também diverge. O mesmo argumento prova de forma mais forte que, para todo inteiro positivo ${\displaystyle k}$, $${\displaystyle \sum _{n=1}^{2^{k}}{\frac {1}{n}}\geq 1+{\frac {k}{2}}}$$

Esta é a prova original dada por Nicole Oresme por volta de 1350.

O Teste de condensação de Cauchy é uma generalização desse argumento.

É possível provar que a série harmônica diverge comparando sua soma com uma integral imprópria. Especificamente, considere o arranjo de retângulos mostrado na figura à direita. Cada retângulo tem 1 unidade de largura e ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}$ unidades de altura, de modo que, se a série harmônica convergisse, a área total dos retângulos seria a soma da série harmônica. A curva ${\displaystyle y={\tfrac {1}{x}}}$ permanece inteiramente abaixo do limite superior dos retângulos, de modo que a área sob a curva (no intervalo de ${\displaystyle x}$ de um ao infinito que é coberto pelos retângulos) seria menor que a área da união dos retângulos. No entanto, a área sob a curva é dada por uma integral imprópria divergente, $${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}\,dx=\infty .}$$

Como essa integral não converge, a soma também não pode convergir.

Na figura à direita, deslocar cada retângulo para a esquerda em 1 unidade produziria uma sequência de retângulos cujo limite se encontra abaixo da curva em vez de acima dela. Isso mostra que as somas parciais da série harmônica diferem da integral por uma quantia que é limitada superior e inferiormente pela área unitária do primeiro retângulo: $${\displaystyle \int _{1}^{N+1}{\frac {1}{x}}\,dx<\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{i}}<\int _{1}^{N}{\frac {1}{x}}\,dx+1.}$$

Generalizando esse argumento, qualquer soma infinita de valores de uma função positiva monotonicamente decrescente de ${\displaystyle n}$ (como a série harmônica) tem somas parciais que estão dentro de uma distância limitada dos valores das integrais correspondentes. Portanto, a soma converge se, e somente se, a integral sobre o mesmo intervalo da mesma função convergir. Quando essa equivalência é usada para verificar a convergência de uma soma substituindo-a por uma integral mais fácil, ela é conhecida como o teste da integral para convergência.

Esses números crescem muito lentamente, com um crescimento logarítmico, como pode ser visto pelo teste da integral. Mais precisamente, pela fórmula de Euler-Maclaurin, $${\displaystyle H_{n}=\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\varepsilon _{n}}$$ onde ${\displaystyle \gamma \approx 0,5772}$ é a constante de Euler-Mascheroni e ${\displaystyle 0\leq \varepsilon _{n}\leq 1/(8n^{2})}$, que se aproxima de 0 à medida que ${\displaystyle n}$ tende ao infinito.

Nenhum número harmônico é um número inteiro, exceto {{nowrap|${\displaystyle H_{1}=1}$. Uma maneira de provar que ${\displaystyle H_{n}}$ não é um número inteiro é considerar a maior potência de dois ${\displaystyle 2^{k}}$ no intervalo de 1 a ${\displaystyle n}$. Se ${\displaystyle M}$ for o mínimo múltiplo comum dos números de 1 a ${\displaystyle n}$, então ${\displaystyle H_{k}}$ pode ser reescrito como uma soma de frações com denominadores iguais $${\displaystyle H_{n}=\sum _{i=1}^{n}{\tfrac {M/i}{M}}}$$ na qual apenas um dos numeradores, ${\displaystyle M/2^{k}}$, é ímpar e o restante é par, e (quando ${\displaystyle n>1}$) o próprio ${\displaystyle M}$ é par. Portanto, o resultado é uma fração com um numerador ímpar e um denominador par, o que não pode ser um número inteiro. De forma mais geral, qualquer sequência de inteiros consecutivos possui um único membro divisível por uma potência de dois maior do que todos os outros membros da sequência, do qual se conclui, pelo mesmo argumento, que não existem dois números harmônicos que difiram por um número inteiro.

Outra prova de que os números harmônicos não são inteiros observa que o denominador de ${\displaystyle H_{n}}$ deve ser divisível por todos os números primos maiores que ${\displaystyle n/2}$ e menores ou iguais a ${\displaystyle n}$, e usa o postulado de Bertrand para provar que este conjunto de números primos não é vazio. O mesmo argumento implica de forma mais forte que, com exceção de ${\displaystyle H_{1}=1}$, ${\displaystyle H_{2}=1,5}$ e ${\displaystyle H_{6}=2,45}$, nenhum número harmônico pode ter uma representação decimal exata (dízima finita).Conjecturou-se que todo número primo divide os numeradores de apenas um subconjunto finito dos números harmônicos, mas isso permanece não provado.

A função digama é definida como a derivada logarítmica da função gama $${\displaystyle \psi (x)={\frac {d}{dx}}\ln {\big (}\Gamma (x){\big )}={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}.}$$ Assim como a função gama fornece uma interpolação contínua dos fatoriais, a função digama fornece uma interpolação contínua dos números harmônicos, no sentido de que {{nowrap|${\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma }$. Esta equação pode ser usada para estender a definição para números harmônicos com índices racionais.^[1]

O problema do jipe ou problema de travessia do deserto está incluído em uma coleção de problemas do século IX de Alcuíno, Propositiones ad Acuendos Juvenes (formulado em termos de camelos em vez de jipes), mas com uma solução incorreta. O problema pergunta quão longe no deserto um jipe pode viajar e retornar, partindo de uma base com ${\displaystyle n}$ cargas de combustível, transportando parte do combustível para o deserto e deixando-o em depósitos. A solução ideal envolve colocar depósitos espaçados a distâncias de ${\displaystyle {\tfrac {r}{2n}},{\tfrac {r}{2(n-1)}},{\tfrac {r}{2(n-2)}},\dots }$ do ponto de partida e entre si, onde ${\displaystyle r}$ é o alcance da distância que o jipe pode percorrer com uma única carga de combustível. Em cada viagem de ida e volta da base, o jipe coloca mais um depósito, reabastecendo nos outros depósitos ao longo do caminho, e deixando o máximo de combustível possível no depósito recém-colocado, mantendo o suficiente para retornar aos depósitos anteriores e à base. Portanto, a distância total alcançada na ${\displaystyle n}$-ésima viagem é $${\displaystyle {\frac {r}{2n}}+{\frac {r}{2(n-1)}}+{\frac {r}{2(n-2)}}+\cdots ={\frac {r}{2}}H_{n},}$$ onde ${\displaystyle H_{n}}$ é o ${\displaystyle n}$-ésimo número harmônico. A divergência da série harmônica implica que travessias de qualquer distância são possíveis com combustível suficiente.

Por exemplo, para a versão do problema de Alcuíno, ${\displaystyle r=30}$: um camelo pode carregar 30 medidas de grãos e pode viajar uma leuca enquanto come uma única medida, onde uma leuca é uma unidade de distância aproximadamente igual a 2,3 quilômetros (1,4 mi). O problema tem ${\displaystyle n=3}$: há 90 medidas de grãos, o suficiente para abastecer três viagens. Para a formulação padrão do problema de travessia do deserto, seria possível para o camelo viajar ${\displaystyle {\tfrac {30}{2}}{\bigl (}{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{1}}{\bigr )}=27,5}$ leucas e retornar, colocando um depósito de armazenamento de grãos a 5 leucas da base na primeira viagem e a 12,5 leucas da base na segunda viagem. No entanto, Alcuíno faz uma pergunta um pouco diferente: quanta quantidade de grãos pode ser transportada a uma distância de 30 leucas sem uma viagem de volta final, e acaba ou deixando alguns camelos presos no deserto ou falhando em contabilizar a quantidade de grãos consumida por um camelo em suas viagens de volta.

No problema de empilhamento de blocos, deve-se colocar uma pilha de ${\displaystyle n}$ blocos retangulares idênticos, um por camada, de forma que eles se projetem o máximo possível sobre a borda de uma mesa sem cair. O bloco superior pode ser posicionado com ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ de seu comprimento estendendo-se além do bloco imediatamente inferior. Se for posicionado dessa forma, o próximo bloco abaixo precisa ser posicionado com no máximo ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}}$ do seu comprimento se estendendo além do próximo bloco inferior, de modo que o centro de massa dos dois blocos superiores seja suportado e eles não tombem. O terceiro bloco precisa ser posicionado com no máximo ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{3}}}$ de seu comprimento se estendendo além do bloco inferior, para que o centro de massa dos três blocos superiores seja suportado e eles não tombem, e assim por diante. Desta forma, é possível posicionar os ${\displaystyle n}$ blocos de modo que se estendam ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}H_{n}}$ comprimentos além da mesa, onde ${\displaystyle H_{n}}$ é o ${\displaystyle n}$-ésimo número harmônico. A divergência da série harmônica implica que não há limite de quão longe além da mesa a pilha de blocos pode se estender. Para pilhas com um bloco por camada, nenhuma solução melhor é possível, mas um balanço significativamente maior pode ser alcançado usando pilhas com mais de um bloco por camada.

Em 1737, Leonhard Euler observou que, como uma soma formal, a série harmônica é igual a um produto de Euler no qual cada termo vem de um número primo: $${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i}}=\prod _{p\in \mathbb {P} }\left(1+{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p^{2}}}+\cdots \right)=\prod _{p\in \mathbb {P} }{\frac {1}{1-1/p}},}$$ onde ${\displaystyle \mathbb {P} }$ denota o conjunto de números primos. A igualdade da esquerda vem da aplicação da lei distributiva ao produto e do reconhecimento dos termos resultantes como as fatorações em números primos dos termos da série harmônica, e a igualdade da direita usa a fórmula padrão para uma série geométrica. O produto é divergente, assim como a soma, mas se convergisse, poder-se-ia aplicar logaritmos e obter $${\displaystyle \ln \prod _{p\in \mathbb {P} }{\frac {1}{1-1/p}}=\sum _{p\in \mathbb {P} }\ln {\frac {1}{1-1/p}}=\sum _{p\in \mathbb {P} }\left({\frac {1}{p}}+{\frac {1}{2p^{2}}}+{\frac {1}{3p^{3}}}+\cdots \right)=\sum _{p\in \mathbb {P} }{\frac {1}{p}}+K.}$$ Aqui, cada logaritmo é substituído por sua série de Taylor, e a constante ${\displaystyle K}$ à direita é a avaliação da série convergente de termos com expoente maior que um. Segue-se destas manipulações que a soma dos inversos dos números primos, no lado direito desta igualdade, deve divergir, pois se convergisse esses passos poderiam ser revertidos para mostrar que a série harmônica também converge, o que não acontece. Um corolário imediato é que existem infinitos números primos, porque uma soma finita não pode divergir. Embora o trabalho de Euler não seja considerado adequadamente rigoroso pelos padrões da matemática moderna, ele pode se tornar rigoroso tomando-se mais cuidado com limites e margens de erro. A conclusão de Euler de que as somas parciais dos inversos dos números primos crescem como um duplo logaritmo do número de termos foi confirmada por matemáticos posteriores como um dos teoremas de Mertens, e pode ser vista como precursora do teorema do número primo.

Outro problema na teoria dos números intimamente relacionado com a série harmônica diz respeito ao número médio de divisores dos números em um intervalo de 1 a ${\displaystyle n}$, formalizado como a ordem média da função divisor, $${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left\lfloor {\frac {n}{i}}\right\rfloor \leq {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {n}{i}}=H_{n}.}$$ A operação de arredondar cada termo na série harmônica para o próximo múltiplo inteiro menor de ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}$ faz com que essa média difira dos números harmônicos por uma pequena constante, e Peter Gustav Lejeune Dirichlet mostrou mais precisamente que o número médio de divisores é ${\displaystyle \ln n+2\gamma -1+O(1/{\sqrt {n}})}$ (expresso na notação Big O). Limitar o termo de erro final com mais precisão permanece um problema em aberto, conhecido como Problema do divisor de Dirichlet.

Vários jogos ou recreações comuns envolvem repetir uma seleção aleatória de um conjunto de itens até que todas as escolhas possíveis tenham sido selecionadas; isso inclui a coleção de cartões colecionáveis e a conclusão do bingo de parkrun, no qual o objetivo é obter todos os 60 números de segundos possíveis nos tempos de uma sequência de eventos de corrida. Aplicações mais sérias deste problema incluem a amostragem de todas as variações de um produto fabricado para seu controle de qualidade e a conectividade de grafos aleatórios. Em situações dessa forma, uma vez que restam ${\displaystyle k}$ itens a serem coletados de um total de ${\displaystyle n}$ itens equiprováveis, a probabilidade de coletar um novo item em uma única escolha aleatória é ${\displaystyle k/n}$ e o número esperado de escolhas aleatórias necessárias até que um novo item seja coletado é ${\displaystyle n/k}$. A soma de todos os valores de ${\displaystyle k}$, de ${\displaystyle n}$ até 1, mostra que o número total esperado de escolhas aleatórias necessárias para coletar todos os itens é ${\displaystyle nH_{n}}$, onde ${\displaystyle H_{n}}$ é o ${\displaystyle n}$-ésimo número harmônico.

Ver artigo principal: Quicksort

O algoritmo quicksort para ordenação de um conjunto de itens pode ser analisado usando os números harmônicos. O algoritmo opera escolhendo um item como um "pivô", comparando-o com todos os outros, e ordenando recursivamente os dois subconjuntos de itens cuja comparação os coloca antes do pivô e depois do pivô. Tanto na sua complexidade de caso médio (com a suposição de que todas as permutações de entrada são igualmente prováveis) ou na sua análise de tempo esperado de entradas de pior caso com uma escolha aleatória de pivô, todos os itens têm a mesma probabilidade de serem escolhidos como o pivô. Para tais casos, pode-se calcular a probabilidade de que dois itens sejam comparados um com o outro, ao longo de toda a recursão, em função do número de outros itens que os separam na ordem de ordenação final. Se os itens ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ são separados por ${\displaystyle k}$ outros itens, então o algoritmo fará uma comparação entre ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ apenas quando, à medida que a recursão progride, ele escolhe ${\displaystyle x}$ ou ${\displaystyle y}$ como um pivô antes de escolher qualquer um dos outros ${\displaystyle k}$ itens entre eles. Como cada um desses ${\displaystyle k+2}$ itens tem a mesma probabilidade de ser escolhido primeiro, isso acontece com probabilidade ${\displaystyle {\tfrac {2}{k+2}}}$. O número total esperado de comparações, que controla o tempo de execução total do algoritmo, pode então ser calculado somando essas probabilidades sobre todos os pares, resultando em $${\displaystyle \sum _{i=2}^{n}\sum _{k=0}^{i-2}{\frac {2}{k+2}}=\sum _{i=1}^{n-1}2H_{i}=O(n\log n).}$$ A divergência da série harmônica corresponde, nesta aplicação, ao fato de que, no modelo de ordenação por comparação usado para o quicksort, não é possível ordenar em tempo linear.

A série $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots }$$ é conhecida como a série harmônica alternada. Ela é condicionalmente convergente pelo teste da série alternada, mas não é absolutamente convergente. Sua soma é o logaritmo natural de 2.

Mais precisamente, a expansão assintótica da série começa como $${\displaystyle {\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}+\cdots +{\frac {1}{2n-1}}-{\frac {1}{2n}}=H_{2n}-H_{n}=\ln 2-{\frac {1}{4n}}+O(n^{-2}).}$$ Isso resulta da igualdade ${\textstyle H_{n}=2\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{2k}}}$ e da fórmula de Euler-Maclaurin.

O uso de sinais alternados apenas com frações unitárias ímpares produz uma série relacionada, a fórmula de Leibniz para π: $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots ={\frac {\pi }{4}}.}$$

Ver artigo principal: Função zeta de Riemann

A função zeta de Riemann é definida para ${\displaystyle x>1}$ real pela série convergente $${\displaystyle \zeta (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{x}}}={\frac {1}{1^{x}}}+{\frac {1}{2^{x}}}+{\frac {1}{3^{x}}}+\cdots ,}$$ que, para ${\displaystyle x=1}$, seria a série harmônica. Ela pode ser estendida por continuação analítica para uma função holomorfa em todos os números complexos, exceto em ${\displaystyle x=1}$, onde a função estendida possui um polo simples. Outros valores importantes da função zeta incluem ${\displaystyle \zeta (2)=\pi ^{2}/6}$, a solução para o problema de Basileia, a constante de Apéry ${\displaystyle \zeta (3)}$, provada por Roger Apéry como sendo um número irracional, e a "linha crítica" de números complexos com parte real ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$, conjecturada pela hipótese de Riemann como sendo os únicos valores, além dos inteiros negativos, onde a função pode ser zero.

A série harmônica aleatória é $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {s_{n}}{n}},}$$ onde os valores ${\displaystyle s_{n}}$ são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas que assumem os dois valores ${\displaystyle +1}$ e ${\displaystyle -1}$ com igual probabilidade de ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$. Ela converge com probabilidade 1, como pode ser visto utilizando o teorema das três séries de Kolmogorov ou a intimamente relacionada desigualdade máxima de Kolmogorov. A soma da série, que pode ser rearranjada como uma soma infinita de variáveis uniformes em ${\displaystyle [-{\tfrac {1}{2n+1}},{\tfrac {1}{2n+1}}]}$ com probabilidade 1, é uma variável aleatória cuja função densidade de probabilidade é

${\displaystyle {\begin{aligned}g(x)&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\cos(xt)\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {\sin(2t/(2n+1))}{2t/(2n+1)}}dt\\&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\cos(xt)\prod _{n=1}^{\infty }\cos(t/n)dt.\end{aligned}}}$

Esta função é próxima de ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$ para valores entre ${\displaystyle -1}$ e ${\displaystyle 1}$, com ${\displaystyle g(0)\approx 0,2499943958}$ até a décima casa decimal. Ela decresce assintoticamente como uma distribuição normal para valores maiores que ${\displaystyle 3}$ ou menores que ${\displaystyle -3}$. Intermediário a essas faixas, nos valores ${\displaystyle \pm 2}$, a densidade de probabilidade é ${\displaystyle {\tfrac {1}{8}}-\varepsilon }$ para um valor não nulo, mas muito pequeno ${\displaystyle \varepsilon <10^{-42}}$.

A série harmônica esgotada, onde todos os termos nos quais o dígito 9 aparece em qualquer lugar no denominador são removidos, converge para o valor 22,92067661926415034816.... De fato, quando todos os termos que contêm qualquer sequência específica de dígitos (em qualquer base numérica) são removidos, a série converge.