Lei dos cossenos

Considerando a figura, podemos observar 3 triângulos:

${\displaystyle ABC,BCD,BAD\,\!}$.

Destes, pode-se extrair as seguintes relações:

${\displaystyle b=n+m\,\!}$

e

${\displaystyle m=c\cdot cos{\widehat {A}}\,\!}$.

Usando o Teorema de Pitágoras para obter uma relação entre os lados dos triângulos, temos para BCD:

${\displaystyle a^{2}=n^{2}+h^{2}\,\!}$

e para BAD:

${\displaystyle c^{2}=m^{2}+h^{2}\,\!}$

Substituindo:

${\displaystyle n=b-m\,\!}$

e

${\displaystyle h^{2}=c^{2}-m^{2}\,\!}$

em

${\displaystyle a^{2}=n^{2}+h^{2}\,\!}$

teremos:

${\displaystyle a^{2}=(b-m)^{2}+c^{2}-m^{2}\,\!}$

${\displaystyle a^{2}=b^{2}-2b\cdot m+m^{2}+c^{2}-m^{2}\,\!}$

${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2b\cdot m\,\!}$

Entretanto, pode-se substituir a relação ${\displaystyle m=c\cdot cos{\widehat {A}}\,\!}$, do triângulo ${\displaystyle BAD\,\!}$, na equação acima. Dessa maneira, encontra-se uma expressão geral da Lei dos cossenos:

${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2b\cdot c\cdot cos{\widehat {A}}\,\!}$

Da mesma forma, pode-se demonstrar as demais relações:

${\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2a\cdot c\cdot cos{\widehat {B}}\,\!}$

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2a\cdot b\cdot cos{\widehat {C}}\,\!}$

Outro modo de demonstrar é usando geometria analítica com vetores: definimos um vetor ${\displaystyle {\vec {a}}}$ como sendo igual a ${\displaystyle {\vec {b}}-{\vec {c}}}$ temos um triângulo formado pela soma ${\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {c}}}$ e o resultante ${\displaystyle {\vec {b}}}$. Sabendo que ${\displaystyle u^{2}=\|{\vec {u}}\|^{2}}$ e ${\displaystyle {\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=\|{\vec {u}}\|\cdot \|{\vec {v}}\|\cdot cos(\theta )}$ sendo ${\displaystyle \theta }$ o ângulo entre os vetores ${\displaystyle {\vec {u}}}$ e ${\displaystyle {\vec {v}}}$ temos o seguinte desenvolvimento:

${\displaystyle {\vec {a}}={\vec {b}}-{\vec {c}}}$

${\displaystyle {\vec {a}}^{2}=\|{\vec {a}}\|^{2}=\|({\vec {b}}-{\vec {c}})\|^{2}}$

${\displaystyle \|{\vec {a}}\|^{2}=({\vec {b}}-{\vec {c}})\cdot ({\vec {b}}-{\vec {c}})}$

${\displaystyle \|{\vec {a}}\|^{2}=\|{\vec {b}}\|^{2}+\|{\vec {c}}\|^{2}-2{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}}$

A lei dos cossenos, formulada nesta notação, pode ser escrita como:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Vert {\vec {a}}\Vert ^{2}&=\Vert {\vec {b}}\Vert ^{2}+\Vert {\vec {c}}\Vert ^{2}-2\Vert {\vec {b}}\Vert \Vert {\vec {c}}\Vert \cos \theta \\\Vert {\vec {b}}-{\vec {c}}\Vert ^{2}&=\Vert {\vec {b}}\Vert ^{2}+\Vert {\vec {c}}\Vert ^{2}-2\Vert {\vec {b}}\Vert \Vert {\vec {c}}\Vert \cos \theta \\2\Vert {\vec {b}}\Vert \Vert {\vec {c}}\Vert \cos \theta &=\Vert {\vec {b}}\Vert ^{2}+\Vert {\vec {c}}\Vert ^{2}-\Vert {\vec {b}}-{\vec {c}}\Vert ^{2}\\\Vert {\vec {b}}\Vert \Vert {\vec {c}}\Vert \cos \theta &={\frac {\Vert {\vec {b}}\Vert ^{2}+\Vert {\vec {c}}\Vert ^{2}-(\Vert {\vec {b}}\Vert ^{2}-2{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}+\Vert {\vec {c}}\Vert ^{2})}{2}}\\\Vert {\vec {b}}\Vert \Vert {\vec {c}}\Vert \cos \theta &={\vec {b}}\cdot {\vec {c}}\\\end{aligned}}}$

Que é claramente equivalente à fórmula acima derivada da teoria dos vetores.

Já que ${\displaystyle \theta }$ é o ângulo formado entre os vetores ${\displaystyle {\vec {b}}}$ e ${\displaystyle {\vec {c}}}$ e considerando que o ponto da origem de ${\displaystyle {\vec {b}}}$ é o mesmo da origem de ${\displaystyle {\vec {c}}}$, dizemos que esse ponto é A, pois é oposto ao vetor ${\displaystyle {\vec {a}}}$, logo formando um ângulo ${\displaystyle {\widehat {A}}}$.

Da figura, podemos deduzir, a partir da definição de cosseno, as seguintes relações:

${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {m}{b}}\to m=b\cos \alpha }$

${\displaystyle \cos \beta ={\frac {n}{a}}\to n=a\cos \beta }$

Somando as duas equações, como ${\displaystyle m+n=c}$, obtém-se a relação:

${\displaystyle c=b\cos \alpha +a\cos \beta }$.

Se fossem traçadas as alturas respectivas a cada lado do triângulo, seriam obtidas também:

${\displaystyle a=b\cos \gamma +c\cos \beta }$

${\displaystyle b=a\cos \gamma +c\cos \alpha }$

Que consistem em um sistema linear, cuja solução pode ser dada pela Regra de Cramer, para tanto, temos:

Matriz dos coeficientes (M):

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}0&c&b\\c&0&a\\b&a&0\end{bmatrix}}}$

Matriz não alterada na coluna da variável ${\displaystyle \cos \alpha }$ (X):

${\displaystyle X={\begin{bmatrix}a&c&b\\b&0&a\\c&a&0\end{bmatrix}}}$

Assim, é válida a igualdade ${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {det[X]}{det[M]}}}$ e, portanto:

${\displaystyle \cos \alpha }$ = ${\displaystyle {a(-a^{2}+b^{2}+c^{2}) \over 2abc}\to a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha }$

e, analogamente:

${\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot \cos \beta }$

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma }$