Energia potencial elétrica

A energia potencial elétrica, ou energia potencial eletrostática, é a energia potencial que resulta da interação conservativa de Coulomb e está associada à configuração de um conjunto particular de cargas pontuais dentro de um sistema definido. Um objeto pode ter energia potencial elétrica em virtude de dois elementos principais: sua própria carga elétrica e sua posição relativa a outros objetos eletricamente carregados.

O termo "energia potencial elétrica" é usado para descrever a energia potencial em sistemas com campos elétricos variantes no tempo, enquanto o termo "energia potencial eletrostática" é usado para descrever a energia potencial em sistemas com campos elétricos invariantes no tempo.

Definição

A energia potencial elétrica de um sistema de cargas pontuais é definida como o trabalho necessário para montar esse sistema de cargas aproximando-as, como no sistema de uma distância infinita a uma distância r, finita.

A energia potencial eletrostática, U_E^, de uma carga pontual q na posição r na presença de um campo elétrico E é definida como o negativo do trabalho W feito pela força eletrostática para trazê-la da posição de referência r_ref^{[nota 1]} para essa posição r.^[1]^[2]^:§25-1^{[nota 2]} $U_{\mathrm {E} }(\mathbf {r} )=-W_{r_{\rm {ref}}\rightarrow r}=-\int _{{\mathbf {r} }_{\rm {ref}}}^{\mathbf {r} }q\mathbf {E} (\mathbf {r'} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r'}$ Nessa expressão E é o campo eletrostático e dr é o vetor deslocamento em uma curva da posição de referência r_ref para a posição final r

A energia potencial eletrostática também pode ser definida a partir do potencial elétrico da seguinte forma:

A energia potencial eletrostática, U_E, de uma carga pontual q na posição r na presença de um potencial elétrico é definida como o produto da carga e do potencial elétrico. $U_{\mathrm {E} }(\mathbf {r} )=q\Phi (\mathbf {r} )$ Nessa expressão $\scriptstyle \Phi$ é o potencial elétrico gerado pelas cargas, que é uma função da posição r.

Unidades

A unidade do SI para a energia potencial elétrica é o joule (em homenagem ao físico inglês James Prescott Joule).^[3] No sistema CGS, o erg é a unidade de energia, sendo igual a 10⁻⁷ J. Além disso, elétron-volts podem ser usados, sendo que 1 eV = 1,602 × 10⁻¹⁹ J.

Energia potencial eletrostática de uma carga pontual

Uma carga pontual q na presença de outra carga pontual Q

Uma carga pontual q no campo elétrico de outra carga Q.

A energia potencial eletrostática, U_E, de um ponto de carga q na posição r na presença da carga pontual Q, tomando uma separação infinita entre as cargas como a posição de referência, é:

U_{E}(r)=k_{e}{\frac {qQ}{r}}

onde

k_{e}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}

refere-se a constante de Coulomb, r é a distância entre as cargas pontuais q e Q_i são as cargas (não os valores absolutos das cargas — ou seja, um elétron teria um valor negativo de carga quando colocado na fórmula).^[4] O seguinte esboço de prova afirma a derivação da definição de energia potencial elétrica e da Lei de Coulomb para esta fórmula.

Esboço da prova

A força eletrostática F agindo sobre uma carga q pode ser escrita em termos de campo elétrico E como

\mathbf {F} =q\mathbf {E}

,

Por definição, a variação da energia potencial eletrostática, UE, de uma carga pontual q que se moveu da posição de referência r_ref para a posição r em a presença de um campo elétrico E é o negativo do trabalho realizado pela força eletrostática para trazê-lo da posição de referência r_ref para aquela posição r.^[5]

U_{E}(r)-U_{E}(r_{\rm {ref}})=-W_{r_{\rm {ref}}\rightarrow r}=-\int _{{r}_{\rm {ref}}}^{r}q\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s}

.

onde::

r = posição no espaço 3D da carga q, usando as coordenadas cartesianas r = (x, y, z), tomando a posição da carga Q em r = (0,0,0), o escalar r = | r | é a norma do vetor posição,
ds = diferencial vetor de deslocamento ao longo de um caminho C indo de r ref para r,
$\scriptstyle W_{r_{\rm {ref}}\rightarrow r}$ é o trabalho realizado pela força eletrostática para trazer a carga da posição de referência r_ref para r,

Geralmente, U_E é zero quando r_ref é infinito:

U_{E}(r_{\rm {ref}}=\infty )=0

so

U_{E}(r)=-\int _{\infty }^{r}q\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s}

Quando a ondulação ∇ × E é zero, a integral de linha acima não depende do caminho específico C escolhido, mas apenas em seus terminais. Isso acontece em campos elétricos invariantes no tempo. Quando falamos sobre energia potencial eletrostática, campos elétricos invariantes no tempo são sempre assumidos, então, neste caso, o campo elétrico é conservativo e a lei de Coulomb pode ser usada. Usando a lei de Coulomb, sabe-se que a força eletrostática F e o campo elétrico E criado por uma carga pontual discreta Q são radialmente dirigidos de Q. Pela definição do vetor posição r e do vetor deslocamento s, segue-se que r e s também são radialmente dirigidos de Q. Portanto, E e d s devem ser paralelos:

\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =|\mathbf {E} |\cdot |\mathrm {d} \mathbf {s} |\cos(0)=E\mathrm {d} s

Usando a lei de Coulomb, o campo elétrico é dado por

|\mathbf {E} |=E={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{s^{2}}}

e a integral pode ser facilmente avaliado:

U_{E}(r)=-\int _{\infty }^{r}q\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =-\int _{\infty }^{r}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ}{s^{2}}}{\rm {d}}s={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ}{r}}=k_{e}{\frac {qQ}{r}}

Carga pontual q na presença de n cargas pontuais Qi

Energia potencial eletrostática de q devido a Q1 e Q2 sistema de carga: $U_{E}=q{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {Q_{1}}{r_{1}}}+{\frac {Q_{2}}{r_{2}}}\right)$

A energia potencial eletrostática, U_E, de uma carga pontual q na presença de n cargas pontuais Qi , tomando uma separação infinita entre as cargas como a posição de referência, é:

U_{E}(r)=k_{e}q\sum _{i=1}^{n}{\frac {Q_{i}}{r_{i}}}

onde

k_{e}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}

é constante de Coulomb, r_i é a distância entre as cargas pontuais q e Qi são os valores sinalizados das cargas.^[6]

Energia potencial eletrostática armazenada em um sistema de cargas pontuais

A energia potencial eletrostática U_E armazenada em um sistema de N cargas q₁, q₂, ..., q_N nas posições r₁, r₂, ..., r_N respectivamente, é:

U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}q_{i}\Phi (\mathbf {r} _{i})={\frac {1}{2}}k_{e}\sum _{i=1}^{N}q_{i}\sum _{j=1}^{N(j\neq i)}{\frac {q_{j}}{r_{ij}}}

onde, para cada i valor, Φ(r_i) é o potencial eletrostático devido a todas as cargas pontuais exceto uma em r_i,^{[nota 3]} e é igual a:^[7]

\Phi (\mathbf {r} _{i})=k_{e}\sum _{j=1}^{N(j\neq i)}{\frac {q_{i}q_{j}}{\mathbf {r} _{ij}}}

,

onde r_ij é a distância entre q_j e q_i.^[8]

Esboço da prova

A energia potencial eletrostática U_E armazenada em um sistema de duas cargas é igual à energia potencial eletrostática de uma carga no potencial eletrostático gerado pela outra. Ou seja, se a carga q₁ gerar um potencial eletrostático Φ1, que é uma função da posição r, então

U_{\mathrm {E} }=q_{2}\Phi _{1}(\mathbf {r} _{2}).

Fazendo o mesmo cálculo em relação à outra carga, obtemos

U_{\mathrm {E} }=q_{1}\Phi _{2}(\mathbf {r} _{1}).

A energia potencial eletrostática é mutuamente compartilhada por

q_{1}

e

q_{2}

, então a energia total armazenada é

U_{E}={\frac {1}{2}}\left[q_{2}\Phi _{1}(\mathbf {r} _{2})+q_{1}\Phi _{2}(\mathbf {r} _{1})\right]

Isso pode ser generalizado para dizer que a energia potencial eletrostática U_E armazenado em um sistema de N cargas q₁, q₂, ..., q_N nas posições r₁, r₂, ..., r_N respectivamente, é:

U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}q_{i}\Phi (\mathbf {r} _{i})

.

Energia armazenada em um sistema de uma carga pontual

A energia potencial eletrostática de um sistema contendo apenas uma carga pontual é zero, pois não há outras fontes de força eletrostática contra a qual um agente externo deva trabalhar para mover a carga pontual do infinito até sua localização final. Dessa forma, pode-se também dizer que a energia potencial eletrostática é zero quando uma carga está infinitamente distante da outra.^[9]

Uma questão comum surge com relação à interação de uma carga pontual com seu próprio potencial eletrostático. Uma vez que essa interação não age para mover a carga pontual em si, ela não contribui para a energia armazenada do sistema.

Energia armazenada em um sistema de duas cargas pontuais

Considere trazer uma carga pontual, q, em sua posição final perto de uma carga pontual, Q₁. O potencial eletrostático Φ(r) devido a Q₁ é

\Phi (r)=k_{e}{\frac {Q_{1}}{r}}

^[10]

Portanto, obtemos, a energia potencial elétrica de q no potencial de Q₁ como

U_{E}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ_{1}}{r_{1}}}

onde r₁ é a separação entre as duas cargas pontuais.

Energia armazenada em um sistema de três cargas pontuais

A energia potencial eletrostática de um sistema de três cargas não deve ser confundida com a energia potencial eletrostática de Q₁ devido às duas cargas Q₂ e Q₃, pois esta última não inclui a energia potencial eletrostática do sistema das duas cargas Q₂ e Q₃.

A energia potencial eletrostática armazenada no sistema de três cargas é:

U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {Q_{1}Q_{3}}{r_{13}}}+{\frac {Q_{2}Q_{3}}{r_{23}}}\right]

Esboço da prova

Usando a fórmula dada em (1), a energia potencial eletrostática do sistema das três cargas será então:

U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}\left[Q_{1}\Phi (\mathbf {r} _{1})+Q_{2}\Phi (\mathbf {r} _{2})+Q_{3}\Phi (\mathbf {r} _{3})\right]

Onde

\Phi (\mathbf {r} _{1})

é o potencial elétrico em r₁ criado pelas cargas Q₂ e Q₃,

\Phi (\mathbf {r} _{2})

é o potencial elétrico em r₂ criados pelas cargas Q₁ e Q₃, e

\Phi (\mathbf {r} _{3})

é o potencial elétrico em r₃ criado pelas cargas Q₁ e Q₂. Os potenciais são:

\Phi (\mathbf {r} _{1})=\Phi _{2}(\mathbf {r} _{1})+\Phi _{3}(\mathbf {r} _{1})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{3}}{r_{13}}}

\Phi (\mathbf {r} _{2})=\Phi _{1}(\mathbf {r} _{2})+\Phi _{3}(\mathbf {r} _{2})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{1}}{r_{21}}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{3}}{r_{23}}}

\Phi (\mathbf {r} _{3})=\Phi _{1}(\mathbf {r} _{3})+\Phi _{2}(\mathbf {r} _{3})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{1}}{r_{31}}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{2}}{r_{32}}}

Onder_ab é a distância entre a carga Q_a e Q_b. Se adicionarmos tudo:

U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {Q_{1}Q_{3}}{r_{13}}}+{\frac {Q_{2}Q_{1}}{r_{21}}}+{\frac {Q_{2}Q_{3}}{r_{23}}}+{\frac {Q_{3}Q_{1}}{r_{31}}}+{\frac {Q_{3}Q_{2}}{r_{32}}}\right]

Finalmente, temos que a energia potencial eletrostática armazenada no sistema de três cargas:

U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {Q_{1}Q_{3}}{r_{13}}}+{\frac {Q_{2}Q_{3}}{r_{23}}}\right]

Energia armazenada em uma distribuição de campo eletrostático

A densidade de energia, ou energia por unidade de volume, ${\frac {dU}{dV}}$ , do campo eletrostático de uma distribuição de carga contínua é:

u_{e}={\frac {dU}{dV}}={\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\left|{\mathbf {E} }\right|^{2}.

Esboço da prova

Pode-se pegar a equação para a energia potencial eletrostática de uma distribuição de carga contínua e colocá-la em termos de campo eletrostático. Desde a lei de Gauss para o campo eletrostático em estados de forma diferencial

\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}

ONDE

$\mathbf {E} \$ é o vetor do campo elétrico
$\rho \$ é a densidade de carga total incluindo as dipolo carrega ligada em um material
$\varepsilon _{0}$ é a permissividade do espaço livre,

então,

{\begin{aligned}U&={\frac {1}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\rho (r)\Phi (r)\,dV\\&={\frac {1}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\varepsilon _{0}(\mathbf {\nabla } \cdot {\mathbf {E} })\Phi \,dV\end{aligned}}

então, agora usando a seguinte identidade de vetor de divergência

\nabla \cdot (\mathbf {A} {B})=(\nabla \cdot \mathbf {A} ){B}+\mathbf {A} \cdot (\nabla {B})\Rightarrow (\nabla \cdot \mathbf {A} ){B}=\nabla \cdot (\mathbf {A} {B})-\mathbf {A} \cdot (\nabla {B})

nós temos

U={\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {E} \Phi )dV-{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{all space}}(\mathbf {\nabla } \Phi )\cdot \mathbf {E} dV

usando o teorema da divergência e levando a área ao infinito onde

\Phi (\infty )=0

{\begin{aligned}U&=\overbrace {{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{{}_{\text{ of space}}^{\text{boundary}}}\Phi \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} } ^{0}-{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{all space}}(-\mathbf {E} )\cdot \mathbf {E} \,dV\\&=\int \limits _{\text{all space}}{\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\left|{\mathbf {E} }\right|^{2}\,dV.\end{aligned}}

Então, a densidade de energia, ou energia por unidade de volume

{\frac {dU}{dV}}

do campo eletrostático é:

u_{e}={\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\left|{\mathbf {E} }\right|^{2}.

Energia armazenada em elementos eletrônicos

A energia potencial elétrica armazenada em um capacitor é U_E=½ CV²

Alguns elementos em um circuito podem converter energia de uma forma para outra. Por exemplo, um resistor converte energia elétrica em calor, o que é conhecido como efeito Joule. Um capacitor o armazena em seu campo elétrico. A energia potencial elétrica total armazenada em um capacitor é dada por

U_{E}={\frac {1}{2}}QV={\frac {1}{2}}CV^{2}={\frac {Q^{2}}{2C}}

^[11]^[7]

onde C é a capacitância, V é a diferença de potencial elétrico e Q a carga armazenada no capacitor.

Esboço da prova

Pode-se montar cargas em um capacitor em incrementos infinitesimais,

dq\to 0

, de modo que a quantidade de trabalho realizado para montar cada incremento em sua localização final pode ser expressa como

W_{q}=Vdq={\frac {q}{C}}dq.

O trabalho total feito para carregar totalmente o capacitor desta forma é então

W=\int dW=\int _{0}^{Q}Vdq={\frac {1}{C}}\int _{0}^{Q}qdq={\frac {Q^{2}}{2C}}.

onde

Q

é a carga total no capacitor. Este trabalho é armazenado como energia potencial eletrostática, portanto,

W=U_{E}={\frac {Q^{2}}{2C}}.

Notavelmente, essa expressão só é válida se

dq\to 0

, o que é válido para sistemas de muitas cargas, como grandes capacitores com eletrodos metálicos. Para sistemas de poucas cargas, a natureza discreta da carga é importante. A energia total armazenada em um capacitor de poucas cargas é

U_{E}={\frac {Q^{2}}{C}}

que é obtido por um método de montagem de carga utilizando o menor incremento de carga física

\Delta q=e

where

e

é a unidade elementar de carga e

Q=Ne

onde

N

é o número total de cargas no capacitor.

A energia potencial eletrostática total também pode ser expressa em termos do campo elétrico na forma

U_{E}={\frac {1}{2}}\int _{V}\mathrm {E} \cdot \mathrm {D} dV

^[7]

onde $\mathrm {D}$ é o campo de deslocamento elétrico dentro de um material dielétrico e a integração é sobre todo o volume do dielétrico.

A energia potencial eletrostática total armazenada dentro de um dielétrico carregado também pode ser expressa em termos de uma carga de volume contínuo, $\rho$ ,

U_{E}={\frac {1}{2}}\int _{V}\rho \Phi dV

^[7]

onde a integração está em todo o volume do dielétrico.

Estas duas últimas expressões são válidas apenas para os casos em que o menor incremento de carga é zero ( $dq\to 0$ ) como dielétricos na presença de eletrodos metálicos ou dielétricos contendo muitas cargas.

Ver também

Notas

↑ A referência zero é geralmente considerada como um estado no qual as cargas pontuais individuais estão muito bem separadas ("estão em separação infinita") e em repouso.
↑ Alternativamente, também pode ser definido como o trabalho W feito por uma força externa para movê-lo da posição de referência r_ref para alguma posição r. No entanto, ambas as definições produzem os mesmos resultados.
↑ O fator da metade é responsável pela 'contagem dupla' de pares de carga. Por exemplo, considere o caso de apenas duas cargas.

Referências

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↑ Halliday, David; Resnick, Robert; Walker, Jearl (1997). «Electric Potential». Fundamentals of Physics 5th ed. [S.l.]: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-10559-7
↑ «McGraw-Hill dictionary of physics». Choice Reviews Online (10): 34–5442c-34-5442c. 1 de junho de 1997. ISSN 0009-4978. doi:10.5860/choice.34-5442c. Consultado em 20 de setembro de 2020
↑ Nussenzveig, Herch Moysés (2015). Curso de física básica: Eletromagnetismo (vol. 3). [S.l.]: Editora Blucher
↑ Bauer, Wolfgang; Westfall, Gary D.; Dias, Helio (2012). Física para Universitários - Eletricidade e Magnetismo. [S.l.]: AMGH Editora. p. 70. ISBN 9788580551266
↑ Poli︠a︡nin, A. D. (Andreĭ Dmitrievich); Chernout︠s︡an, A. I. (2011). A concise handbook of mathematics, physics, and engineering sciences. Boca Raton: CRC Press. OCLC 682621252
1 2 3 4 «The Feynman Lectures on Physics Vol. II Ch. 8: Electrostatic Energy». www.feynmanlectures.caltech.edu. Consultado em 5 de outubro de 2020
↑ «Electrostatic energy». farside.ph.utexas.edu. Consultado em 5 de outubro de 2020
↑ «Potential Energy for Point Charges». physics.bu.edu. Boston University. Consultado em 5 de outubro de 2020
↑ Young, Hugh D. (2008). Sears & Zemansky Física III Eletromagnetismo. [S.l.]: Pearson Addison Wesley. OCLC 319215015
↑ «Energy in a capacitor». physics.bu.edu. Boston University. Consultado em 5 de outubro de 2020

[1] A referência zero é geralmente considerada como um estado no qual as cargas pontuais individuais estão muito bem separadas ("estão em separação infinita") e em repouso.

[4] Alternativamente, também pode ser definido como o trabalho W feito por uma força externa para movê-lo da posição de referência r_ref para alguma posição r. No entanto, ambas as definições produzem os mesmos resultados.

[9] O fator da metade é responsável pela 'contagem dupla' de pares de carga. Por exemplo, considere o caso de apenas duas cargas.

[2] Electromagnetism (2nd edition), I.S. Grant, W.R. Phillips, Manchester Physics Series, 2008 ISBN 0-471-92712-0

[HRW1997-3] Halliday, David; Resnick, Robert; Walker, Jearl (1997). «Electric Potential». Fundamentals of Physics 5th ed. [S.l.]: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-10559-7

[5] «McGraw-Hill dictionary of physics». Choice Reviews Online (10): 34–5442c-34-5442c. 1 de junho de 1997. ISSN 0009-4978. doi:10.5860/choice.34-5442c. Consultado em 20 de setembro de 2020

[6] Nussenzveig, Herch Moysés (2015). Curso de física básica: Eletromagnetismo (vol. 3). [S.l.]: Editora Blucher

[7] Bauer, Wolfgang; Westfall, Gary D.; Dias, Helio (2012). Física para Universitários - Eletricidade e Magnetismo. [S.l.]: AMGH Editora. p. 70. ISBN 9788580551266

[8] Poli︠a︡nin, A. D. (Andreĭ Dmitrievich); Chernout︠s︡an, A. I. (2011). A concise handbook of mathematics, physics, and engineering sciences. Boca Raton: CRC Press. OCLC 682621252

[:0-10] 1 2 3 4 «The Feynman Lectures on Physics Vol. II Ch. 8: Electrostatic Energy». www.feynmanlectures.caltech.edu. Consultado em 5 de outubro de 2020

[11] «Electrostatic energy». farside.ph.utexas.edu. Consultado em 5 de outubro de 2020

[12] «Potential Energy for Point Charges». physics.bu.edu. Boston University. Consultado em 5 de outubro de 2020

[13] Young, Hugh D. (2008). Sears & Zemansky Física III Eletromagnetismo. [S.l.]: Pearson Addison Wesley. OCLC 319215015

[14] «Energy in a capacitor». physics.bu.edu. Boston University. Consultado em 5 de outubro de 2020

[nota 1]

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[2]

[nota 2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[nota 3]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

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