Seno

Trigonometria
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O seno é uma função trigonométrica. Dado um triângulo retângulo com um de seus ângulos internos igual a ${\displaystyle \theta ,}$ define-se ${\displaystyle \operatorname {sen} (\theta )}$ como sendo a razão entre o cateto oposto a ${\displaystyle \theta }$ e a hipotenusa deste triângulo. Ou seja:

$${\displaystyle \operatorname {sen} \,\theta ={\frac {\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}}}$$

Exemplo: Um triângulo retângulo cuja hipotenusa é de valor 10 e seus catetos são de valores 6 e 8. O seno do ângulo oposto ao lado de valor 6 é 6/10 , ou seja, 0,6.

Pode-se definir função seno pela série de Taylor^[2]: $${\displaystyle \operatorname {sen} x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ para todo }}x}$$^[3] Esta série possui raio de convergência infinito e as bem conhecidas propriedades da função seno podem ser demonstradas diretamente através dela.

Tal definição tem sentido tanto no conjunto dos números reais como no conjunto dos números complexos, e desta maneira pode-se definir o seno de um número complexo ${\displaystyle z=x+iy}$ como:

$${\displaystyle \operatorname {sen} (x+iy)=\operatorname {sen} (x)\cosh(y)+i\operatorname {senh} (y)\cos(x)}$$

Onde ${\displaystyle i}$ é a unidade imaginária, ${\displaystyle \operatorname {senh} }$ é a função seno hiperbólico e ${\displaystyle \cosh }$ é a função cosseno hiperbólico.

Além disso, o seno pode ser expresso como uma soma de exponenciais complexas, devido à relação de Euler.

${\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\operatorname {sen} (x)}$

${\displaystyle e^{-ix}=\cos(x)-i\operatorname {sen} (x)}$

${\displaystyle e^{ix}-e^{-ix}=2i\operatorname {sen} (x)}$

${\displaystyle \operatorname {sen} (x)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}}$

A recíproca do seno é a cossecante, e sua inversa é arco seno.

Uma lista de aproximações, das mais simples às mais complexas.

Todas as aproximações abaixo podem ser facilmente verificadas, por exemplo, no Wolfram Alpha[1]

${\displaystyle 0\leq x\leq {\frac {\pi }{2}}\rightarrow f(x)\geq sin(x)}$

${\displaystyle f(x)=1}$

${\displaystyle f(x)=x}$

${\displaystyle f(x)=-{\frac {4}{\pi ^{2}}}x^{2}+{\frac {4}{\pi }}x}$

${\displaystyle f(x)={\frac {8}{4x^{2}-4\pi x+8+\pi ^{2}}}}$

${\displaystyle f(x)=\left({\frac {8}{\pi ^{3}}}-{\frac {4}{\pi ^{2}}}\right)x^{3}+x}$

${\displaystyle 0\leq x\leq {\frac {\pi }{2}}\rightarrow f(x)\leq sin(x)}$

${\displaystyle f(x)=0}$

${\displaystyle f(x)={\frac {2}{\pi }}x}$

${\displaystyle f(x)=\left({\frac {4}{\pi ^{2}}}-{\frac {2}{\pi }}\right)x^{2}+x}$

${\displaystyle f(x)=-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {\pi }{2}}x+1-{\frac {\pi ^{2}}{8}}}$

${\displaystyle f(x)={\frac {\pi x}{(\pi -2)x+\pi }}}$

${\displaystyle f(x)=-{\frac {1}{6}}x^{3}+x}$

${\displaystyle f(x)=\left({\frac {4}{\pi ^{2}}}-{\frac {16}{\pi ^{3}}}\right)x^{3}+\left({\frac {12}{\pi ^{2}}}-{\frac {4}{\pi }}\right)x^{2}+x}$

Foi através dos árabes que a trigonometria baseada na meia corda de uma circunferência, que foi apresentada pelos hindus, chegou à Europa.

Os árabes haviam traduzido textos de trigonometria do sânscrito. Os hindus tinham dado o nome de jiva à metade da corda, e os árabes a transformaram em jiba. Na língua árabe é comum escrever apenas as consoantes de uma palavra, deixando que o leitor acrescente mentalmente as vogais. Desse modo, os tradutores árabes registraram jb. Na sua tradução do árabe para o latim, Robert de Chester interpretou jb como as consoantes da palavra jaib, que significa "baía" ou "enseada", e escreveu sinus, que é o equivalente em latim.^[4] A partir daí, a jiba, ou meia corda hindu passou a ser chamada de sinus, e, em português, seno.

Referências

• Cosseno
• Seno cardinal
• Tangente