Série de Taylor

Em matemática, uma série de Taylor é a série de funções da forma:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-a)^{n}\quad {\mbox{sendo}}\quad a_{n}={\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}}$,

onde ${\textstyle f(x)}$ é uma função analítica dada. Neste caso, a série acima é dita ser a série de Taylor de ${\textstyle f(x)}$ em torno do ponto ${\textstyle x=a}$. Associadamente, o polinômio de Taylor de ordem ${\textstyle n}$ em torno de ${\textstyle x=a}$ de uma dada função ${\textstyle n}$-vezes diferenciável neste ponto é dado por:^{[1][2][3][4][5][6][7][8]}

${\displaystyle p(x)=f(a)+f'(a){\frac {\left(x-a\right)^{1}}{1!}}+f''(a){\frac {\left(x-a\right)^{2}}{2!}}+...+f^{(n)}(a){\frac {\left(x-a\right)^{n}}{n!}}}$

No caso particular de ${\textstyle a=0}$, série acima também é chamada de Série de Maclaurin ou, quando for o caso, de polinômio de Maclaurin.

Tais séries recebem seu nome em homenagem a Brook Taylor que as estudou no trabalho Methodus incrementorum directa et inversa em 1715. Condorcet atribuía estas séries a Taylor e d'Alembert. O nome série de Taylor só começou a ser usado em 1786, por l'Huillier.

Toda série de Taylor possui um raio de convergência ${\displaystyle R}$ com a propriedade que a série converge uniformemente em cada bola (circunferência) ${\displaystyle |x-a|\leq r<R}$.

A fórmula de Hadamard fornece o valor deste raio de convergência:

${\displaystyle R^{-1}=\limsup _{n\to \infty }|a_{n}|^{1/n}}$

O fato de a série de Taylor convergir não garante que ela convergirá para o valor da função f(x); o exemplo clássico desta patologia é a função definida por:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\exp(-1/x)&{\text{se }}x>0,\\0&{\text{se }}x\leq 0,\end{cases}}}$

cuja série de Taylor é :

${\displaystyle f(x)=0+0x+0x^{2}+\ldots }$

A série de Taylor associada a uma função ${\displaystyle f}$ infinitamente diferenciável (real ou complexa) definida em um intervalo aberto ]a − r, a + r[ é a série de potências dada por

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}.}$

Onde, n! é o fatorial de n e f ⁽ⁿ⁾(a) denota a n-ésima derivada de f no ponto a.

Com essa ferramenta, podem ser moldadas funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas em polinômios.

Função exponencial e logaritmo natural:

${\displaystyle \mathrm {e} ^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\quad {\mbox{ para todo }}x}$^[10]

${\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}x^{n+1}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<1}$

Série geométrica:

${\displaystyle {\frac {x^{m}}{1-x}}=\sum _{n=m}^{\infty }x^{n}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<1}$

Teorema binomial:

${\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\alpha }{\alpha \choose n}x^{n}\quad {\mbox{ para todo }}\left|x\right|<1\quad {\mbox{ e todo complexo }}\alpha }$

Funções trigonométricas:

${\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad {\mbox{ para todo }}x}$

${\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ para todo }}x}$

${\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad =x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+..{\mbox{ para }}\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}$

onde B_k são números de Bernoulli.

${\displaystyle \sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}$

onde E_k são números de Euler.

${\displaystyle \arcsin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<1}$

${\displaystyle \arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<1}$

Funções hiperbólicas:

${\displaystyle \sinh \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ para todo }}x}$

${\displaystyle \cosh \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}\quad {\mbox{ para todo }}x}$

${\displaystyle \tanh \left(x\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \mathrm {arcsenh} \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<1}$

${\displaystyle \mathrm {arctanh} \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<1}$

Função W de Lambert:

${\displaystyle W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<{\frac {1}{\mathrm {e} }}}$

A série de Taylor pode também ser definida para funções de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$.

Nesse caso, tem-se que a série de Taylor de ${\displaystyle f}$ em torno do ponto ${\displaystyle X_{0}=(x_{1}^{0},\cdots ,x_{n}^{0})}$ é dada por:

${\displaystyle f(x_{1},\cdots ,x_{n})=\sum \limits _{k\geq 0}{\frac {1}{k!}}\left(\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(X_{0})(x_{i}-x_{i}^{0})\right)^{k},}$

onde ${\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(X_{0})\right)^{k}}$ denota ${\displaystyle {\frac {\partial ^{k}f}{\partial x_{i}^{k}}}(X_{0}).}$

Ou seja, tem-se:

${\displaystyle \left(\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(X_{0})(x_{i}-x_{i}^{0})\right)^{k}=\sum \limits _{\alpha _{i}\in \mathbb {N} ,\sum \limits _{i=1}^{n}\alpha _{i}=k}\left({\frac {k!}{\alpha _{1}!\cdots \alpha _{n}!}}\cdot {\frac {\partial ^{k}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}(X_{0})\cdot (x_{1}-x_{1}^{0})^{\alpha _{1}}\cdots (x_{n}-x_{n}^{0})^{\alpha _{n}}\right).}$

No caso particular ${\displaystyle n=2}$, ${\displaystyle X_{0}=(x_{0},y_{0}):}$

${\displaystyle f(x,y)=\sum \limits _{k\geq 0}{\frac {1}{k!}}\sum \limits _{i=0}^{k}{\frac {k!}{i!(k-i)!}}\cdot {\frac {\partial ^{i}f}{\partial x^{i}}}(X_{0})\cdot {\frac {\partial ^{k-i}f}{\partial y^{k-i}}}(X_{0})\cdot (x-x_{0})^{i}\cdot (y-y_{0})^{k-i}.}$^[11]

As Séries de Maclaurin são um caso especial das Séries de Taylor onde ${\displaystyle a=0}$:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{f^{(n)}(a)(x-a)^{n} \over n!}}$

Dessa forma, a série pode ser expandida como:

${\displaystyle f(x)=f(0)(x-0)^{0}+{f'(0)(x-0)^{1} \over 1!}+{f''(0)(x-0)^{2} \over 2!}+{f'''(0)(x-0)^{3} \over 3!}+...}$

Logo:

${\displaystyle f(x)=f(0)+{f'(0)\ x^{1} \over 1!}+{f''(0)\ x^{2} \over 2!}+{f'''(0)\ x^{3} \over 3!}+...}$

Escrevendo-se a Série da Maclaurin de forma geral:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{f^{(n)}(0)\ x^{n} \over n!}}$

Para o ${\displaystyle cos(x)}$, tem-se que:

${\displaystyle f(x)=sen(x)\Rightarrow f(0)=sen(0)=0}$

${\displaystyle f'(x)=cos(x)\Rightarrow f'(0)=cos(0)=1}$

${\displaystyle f''(x)=-sen(x)\Rightarrow f''(0)=-sen(0)=-0=0}$

${\displaystyle f'''(x)=-cos(x)\Rightarrow f'''(0)=-cos(0)=-1}$

${\displaystyle f''''(x)=sen(x)\Rightarrow f''''(0)=sen(0)=0}$

${\displaystyle f'''''(x)=cos(x)\Rightarrow f'''''(0)=cos(0)=1}$

${\displaystyle f''''''(x)=-sen(x)\Rightarrow f''''''(0)=-sen(0)=-0=0}$

${\displaystyle f'''''''(x)=-cos(x)\Rightarrow f'''''''(0)=-cos(0)=-1}$

${\displaystyle f''''''''(x)=sen(x)\Rightarrow f''''''''(0)=sen(0)=0}$

${\displaystyle f'''''''''(x)=cos(x)\Rightarrow f'''''''''(0)=cos(0)=1}$

Substituindo-se as derivadas na série, tem-se que:

${\displaystyle f(x)=f(0)+{f'(0)\ x^{1} \over 1!}+{f''(0)\ x^{2} \over 2!}+{f'''(0)\ x^{3} \over 3!}+{f''''(0)\ x^{4} \over 4!}+{f'''''(0)\ x^{5} \over 5!}+{f''''''(0)\ x^{6} \over 6!}+{f'''''''(0)\ x^{7} \over 7!}+{f''''''''(0)\ x^{8} \over 8!}+{f'''''''''(0)\ x^{9} \over 9!}}$

Observa-se, que as derivadas segunda, quarta, sexta e oitava. Logo, os termos da série com ${\displaystyle x}$ elevado a alguma potência par não precisam ser escritos, já que serão iguais a zero. Desse modo, a série assume a forma:

${\displaystyle f(x)\cong \left({1x^{1} \over 1!}\right)+\left({-1x^{3} \over 3!}\right)+\left({1x^{5} \over 5!}\right)+\left({-1x^{7} \over 7!}\right)+\left({1x^{9} \over 9!}\right)}$

Realizando-se a multiplicação e simplificando os expoentes:

${\displaystyle f(x)\cong x\ -{x^{3} \over 3!}+\ {x^{5} \over 5!}\ -{x^{7} \over 7!}+\ {x^{9} \over 9!}}$

Dessa forma, a série pode ser escrita como:

${\displaystyle f(x)=sen(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{x^{2n+1} \over (2n+1)!}}$

Para o ${\displaystyle cos(x)}$, tem-se que:

${\displaystyle f(x)=cos(x)\Rightarrow f(0)=cos(0)=1}$

${\displaystyle f'(x)=-sen(x)\Rightarrow f'(0)=-sen(0)=-0=0}$

${\displaystyle f''(x)=-cos(x)\Rightarrow f''(0)=-cos(0)=-1}$

${\displaystyle f'''(x)=sen(x)\Rightarrow f'''(0)=sen(0)=0}$

${\displaystyle f''''(x)=cos(x)\Rightarrow f''''(0)=cos(0)=1}$

${\displaystyle f'''''(x)=-sen(x)\Rightarrow f'''''(0)=-sen(0)=-0=0}$

${\displaystyle f''''''(x)=-cos(x)\Rightarrow f''''''(0)=-cos(0)=-1}$

${\displaystyle f'''''''(x)=sen(x)\Rightarrow f'''''''(0)=sen(0)=0}$

${\displaystyle f''''''''(x)=cos(x)\Rightarrow f''''''''(0)=cos(0)=1}$

${\displaystyle f'''''''''(x)=-sen(x)\Rightarrow f'''''''''(0)=-sen(0)=-0=0}$

${\displaystyle f''''''''''(x)=-cos(x)\Rightarrow f''''''''''(0)=-cos(0)=-1}$

${\displaystyle f'''''''''''(x)=sen(x)\Rightarrow f'''''''''''(0)=sen(0)=0}$

Observa-se, que as derivadas primeira, terceira, quinta, sétima e nona são iguais à zero. Logo, os termos da série com ${\displaystyle x}$ elevado a alguma potência ímpar não precisam ser escritos, já que serão iguais a zero. Desse modo, a série assume a forma:

${\displaystyle f(x)\cong {f(0)x^{0} \over 0!}+{f''(0)x^{2} \over 2!}+{f''''(0)x^{4} \over 4!}+{f''''''(0)x^{6} \over 6!}+{f''''''''(0)x^{8} \over 8!}}$

Substituindo-se os valores das derivadas e da ${\displaystyle f(0)}$ na série obtem-se:

${\displaystyle f(x)\cong {1x^{0} \over 0!}+{(-1)x^{2} \over 2!}+{1x^{4} \over 4!}+{(-1)x^{6} \over 6!}+{1x^{8} \over 8!}}$

Realizando-se a multiplicação e simplificando o 1° termo:

${\displaystyle f(x)\cong 1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}-{x^{6} \over 6!}+{x^{8} \over 8!}}$

Ou ainda:

${\displaystyle f(x)=\cos(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)^{n}.x^{2n} \over (2n)!}}$

Referências

1. Heinrich Auchter. Brook Taylor, der mathematiker und philosoph; beiträge zur wissenschaftsgeschichte der zeit des Newton-Leibniz-streites,. Würzburg, K. Triltsch, 1937. OCLC 13481133 (em alemão)
2. Edmundo Capelas de Oliveira, Funções Especiais com Aplicações, Editora Livraria da Fisica ISBN 8-588-32542-X
3. Steven C. Chapra, Métodos Numéricos Aplicados com MATLAB® para Engenheiros e Cientistas - 3.ed. McGraw Hill Brasil, 2013 ISBN 8-580-55177-3

• Exemplo Funções - Série de Taylor