Princípio da reflexão

Na teoria das probabilidades e nos processos estocásticos, o princípio da reflexão para um processo de Wiener afirma que, se o caminho de um processo de Wiener ${\displaystyle f(t)}$ atingir um valor ${\displaystyle f(s)=a}$ em um tempo ${\displaystyle t=s}$, então o caminho subsequente depois do tempo ${\displaystyle s}$ tem a mesma distribuição da reflexão do caminho subsequente sobre o valor ${\displaystyle a}$. Mais formalmente, o princípio da reflexão se refere a um lema que diz respeito à distribuição do supremo do processo de Wiener, também chamado de movimento browniano. O resultado relaciona a distribuição do supremo do movimento browniano até o tempo ${\displaystyle t}$ com a distribuição do processo no tempo ${\displaystyle t}$. É um corolário da propriedade forte de Markov do movimento browniano.^[1]

Se ${\displaystyle (W(t):t\geq 0)}$ for um processo de Wiener a ${\displaystyle a>0}$ for um limiar (também chamado de ponto de cruzamento), então o lema afirma:

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right)=2\mathbb {P} (W(t)\geq a).}$

De forma mais forte, o princípio da reflexão afirma que, se ${\displaystyle \tau }$ for um tempo de parada, então a reflexão do processo de Wiener que começa em ${\displaystyle \tau }$, denotada ${\displaystyle (W^{\tau }(t):t\geq 0)}$, é também um processo de Wiener, em que:

${\displaystyle W^{\tau }(t)=W(t)\chi _{\left\{t\leq \tau \right\}}+(2W(\tau )-W(t))\chi _{\left\{t>\tau \right\}}}$

e a função indicadora ${\displaystyle \chi _{\{t\leq \tau \}}={\begin{cases}1,&{\text{se }}t\leq \tau \\0,&{\text{de outro modo }}\end{cases}}}$ e ${\displaystyle \chi _{\{t>\tau \}}}$ são definidos de forma semelhante. A forma mais forte implica o lema original ao escolher ${\displaystyle \tau =\inf \left\{t\geq 0:W(t)=a\right\}}$.^[2]

O tempo de parada mais precoce para atingir o ponto de cruzamento ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle \tau _{a}:=\inf \left\{t:W(t)=a\right\}}$, é um tempo de parada limitado quase certamente. Então, podemos aplicar a propriedade forte de Markov para deduzir que um caminho relativo subsequente a ${\displaystyle \tau _{a}}$, dado por ${\displaystyle X_{t}:=W(t+\tau _{a})-a}$, é também um movimento browniano simples independente de ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau _{a}}^{W}}$. Então, a distribuição de probabilidade para o último tempo ${\displaystyle W(s)}$ está no limiar ${\displaystyle a}$ ou acima dele no intervalo de tempo ${\displaystyle [0,t]}$ e pode ser decomposta como:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right)&=\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a,W(t)\geq a\right)+\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a,W(t)<a\right)\\&=\mathbb {P} \left(W(t)\geq a\right)+\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a,X(t-\tau _{a})<0\right)\\\end{aligned}}.}$

Pela propriedade de torre para expectativas condicionais, o segundo termo se reduz a:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a,X(t-\tau _{a})<0\right)&=\mathbb {E} \left[\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a,X(t-\tau _{a})<0|{\mathcal {F}}_{\tau _{a}}^{W}\right)\right]\\&=\mathbb {E} \left[\chi _{\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a}\mathbb {P} \left(X(t-\tau _{a})<0|{\mathcal {F}}_{\tau _{a}}^{W}\right)\right]\\&={\frac {1}{2}}\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right),\end{aligned}}}$

já que ${\displaystyle X(t)}$ é um movimento browniano padrão independente de ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau _{a}}^{W}}$ e tem probabilidade ${\displaystyle 1/2}$ de ser menor que ${\displaystyle 0}$. A prova do lema é completada ao substituir isto na segunda linha da primeira equação:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right)&=\mathbb {P} \left(W(t)\geq a\right)+{\frac {1}{2}}\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right)\\\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right)&=2\mathbb {P} \left(W(t)\geq a\right)\end{aligned}}.}$^[3]

O princípio da reflexão é frequentemente usado para simplificar propriedades distributivas do movimento browniano. Considerando o movimento browniano no intervalo restrito ${\displaystyle (W(t):t\in [0,1])}$, então o princípio da reflexão nos permite provar que a locação dos máximos ${\displaystyle t_{\text{max}}}$, que satisfazem ${\displaystyle W(t_{\text{max}})=\sup _{0\leq s\leq 1}W(s)}$, tem a distribuição arco-seno. Esta é uma das leis arco-seno de Lévy.^[4]