Equação de Kepler

A equação de Kepler hiperbólica é:

onde ${\displaystyle H}$ é a anomalia excêntrica hiperbólica. Esta equação é derivada redefinindo M como sendo a raiz quadrada de −1 vezes o lado direito da equação elíptica:

${\displaystyle M=i\left(E-e\sin E\right)}$

(na qual ${\displaystyle E}$ agora é imaginário) e em seguida substituindo ${\displaystyle E}$ por ${\displaystyle iH}$.

A equação de Kepler radial para o caso em que o objeto não tem energia suficiente para escapar é:

onde ${\displaystyle t}$ é proporcional ao tempo e ${\displaystyle x}$ é proporcional à distância a partir do centro de atração ao longo da semirreta e atinge o valor 1 na distância máxima. Esta equação é derivada multiplicando-se a equação de Kepler por 1/2 e definindo ${\displaystyle e}$ como 1:

${\displaystyle t(x)={\frac {1}{2}}\left[E-\sin E\right].}$

e, em seguida, fazendo a substituição

${\displaystyle E=2\sin ^{-1}({\sqrt {x}}).}$

A equação radial para quando o objeto tem energia suficiente para escapar é:

Quando a energia é exatamente a quantidade mínima necessária para escapar, então o tempo é simplesmente proporcional à distância elevada à potência de 3/2.

A equação de Kepler inversa é a solução da equação de Kepler para todos os valores reais de ${\displaystyle e}$:

${\displaystyle E={\begin{cases}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{\frac {n}{3}}}{n!}}\lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\Bigg (}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}{\bigg (}{\bigg (}{\frac {\theta }{\sqrt[{3}]{\theta -\sin(\theta )}}}{\bigg )}^{\!\!\!n}{\bigg )}{\Bigg )},&e=1\\\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{n}}{n!}}\lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\Bigg (}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}{\bigg (}{\Big (}{\frac {\theta }{\theta -e\sin(\theta )}}{\Big )}^{\!n}{\bigg )}{\Bigg )},&e\neq 1\end{cases}}}$

Avaliando isso produz:

${\displaystyle E={\begin{cases}\displaystyle s+{\frac {1}{60}}s^{3}+{\frac {1}{1400}}s^{5}+{\frac {1}{25200}}s^{7}+{\frac {43}{17248000}}s^{9}+{\frac {1213}{7207200000}}s^{11}+{\frac {151439}{12713500800000}}s^{13}+\cdots {\text{ com }}s=(6M)^{1/3},&e=1\\\\\displaystyle {\frac {1}{1-e}}M-{\frac {e}{(1-e)^{4}}}{\frac {M^{3}}{3!}}+{\frac {(9e^{2}+e)}{(1-e)^{7}}}{\frac {M^{5}}{5!}}-{\frac {(225e^{3}+54e^{2}+e)}{(1-e)^{10}}}{\frac {M^{7}}{7!}}+{\frac {(11025e^{4}+4131e^{3}+243e^{2}+e)}{(1-e)^{13}}}{\frac {M^{9}}{9!}}+\cdots ,&e\neq 1\end{cases}}}$

Estas séries podem ser reproduzidas no Mathematica com a operação InverseSeries.

InverseSeries[Series[M - Sin[M], {M, 0, 10}]]

InverseSeries[Series[M - e Sin[M], {M, 0, 10}]]

Estas funções são simples séries de Maclaurin. Tais representações em séries de Taylor de funções transcendentais são consideradas como definições dessas funções. Portanto, esta solução é uma definição formal da equação de Kepler inversa. No entanto, ${\displaystyle E}$ não é uma função inteira de ${\displaystyle M}$ para um dado ${\displaystyle e}$ diferente de zero. De fato, a derivada

${\displaystyle \mathrm {dM} /\mathrm {d} E=1-e\cos E}$

tende a zero em um conjunto infinito de números complexos quando ${\displaystyle e<1,}$ sendo o mais próximo de zero em ${\displaystyle E=\pm i\cosh ^{-1}(1/e),}$ e nestes dois pontos

${\displaystyle M=E-e\sin E=\pm i\left(\cosh ^{-1}(1/e)-{\sqrt {1-e^{2}}}\right)}$

(onde o cosh inverso é considerado positivo), e ${\displaystyle \mathrm {d} E/\mathrm {d} M}$ tende ao infinito nesses valores de ${\displaystyle M}$. Isso significa que o raio de convergência da série de Maclaurin é ${\displaystyle \cosh ^{-1}(1/e)-{\sqrt {1-e^{2}}}}$ e a série não convergirá para valores de ${\displaystyle M}$ maiores que este. A série também pode ser usada para o caso hiperbólico, no qual o raio de convergência é ${\displaystyle \cos ^{-1}(1/e)-{\sqrt {e^{2}-1}}.}$ A série para quando ${\displaystyle e=1}$ converge quando ${\displaystyle M<2\pi }$.

Embora esta solução seja a mais simples em um certo sentido matemático, outras soluções são preferíveis para a maioria das aplicações. Alternativamente, a equação de Kepler pode ser resolvida numericamente.

A solução para ${\displaystyle e\neq 1}$ foi encontrada por Karl Stumpff em 1968,^[14] mas a sua importância não foi reconhecida.^[15]

Pode-se também escrever uma série de Maclaurin em ${\displaystyle e}$. Esta série não converge quando ${\displaystyle e}$ for maior que o Limite de Laplace (cerca de 0,66), independentemente do valor de ${\displaystyle M}$ (a menos que ${\displaystyle M}$ seja um múltiplo de 2π), mas converge para todos os ${\displaystyle M}$ se ${\displaystyle e}$ for menor que o limite de Laplace. Os coeficientes na série, além do primeiro (que é simplesmente ${\displaystyle M}$), dependem de ${\displaystyle M}$ de forma periódica com período 2π.

A equação de Kepler radial inversa (${\displaystyle e=1}$) para o caso em que o objeto não tem energia suficiente para escapar pode, da mesma forma, ser escrita como:

${\displaystyle x(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\left[\lim _{r\to 0^{+}}\left({\frac {t^{{\frac {2}{3}}n}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} r^{\,n-1}}}\!\left(r^{n}\left({\frac {3}{2}}{\Big (}\sin ^{-1}({\sqrt {r}})-{\sqrt {r-r^{2}}}{\Big )}\right)^{\!-{\frac {2}{3}}n}\right)\right)\right]}$

Avaliando isso produz:

${\displaystyle x(t)=p-{\frac {1}{5}}p^{2}-{\frac {3}{175}}p^{3}-{\frac {23}{7875}}p^{4}-{\frac {1894}{3031875}}p^{5}-{\frac {3293}{21896875}}p^{6}-{\frac {2418092}{62077640625}}p^{7}-\ \cdots \ {\bigg |}{p=\left({\tfrac {3}{2}}t\right)^{2/3}}}$

Para obter este resultado usando o Mathematica:

InverseSeries[Series[ArcSin[Sqrt[t]] - Sqrt[(1 - t) t], {t, 0, 15}]]

Para a maioria das aplicações, o problema inverso pode ser computado numericamente encontrando a raiz da função:

${\displaystyle f(E)=E-e\sin(E)-M(t)}$

Isto pode ser feito iterativamente através do método de Newton:

${\displaystyle E_{n+1}=E_{n}-{\frac {f(E_{n})}{f'(E_{n})}}=E_{n}-{\frac {E_{n}-e\sin(E_{n})-M(t)}{1-e\cos(E_{n})}}}$

Observe que ${\displaystyle E}$ e ${\displaystyle M}$ estão em unidades de radianos neste cálculo. Esta iteração é repetida até que a precisão desejada seja obtida (por ex. quando ${\displaystyle f(E)}$ < precisão desejada). Para a maioria das órbitas elípticas, um valor inicial de ${\displaystyle E_{0}=M(t)}$ é suficiente. Para órbitas com ${\displaystyle e>0.8}$, um valor inicial de ${\displaystyle E_{0}=\pi }$ pode ser usado. Inúmeros trabalhos desenvolveram estimativas iniciais precisas (mas também mais complexas).^[16] Se ${\displaystyle e}$ é identicamente 1, então a derivada de ${\displaystyle f}$, que está no denominador do método de Newton, pode chegar perto de zero, tornando os métodos baseados em derivadas como Newton-Raphson, secante ou regula falsi numericamente instáveis. Nesse caso, o método da bisseção fornecerá convergência garantida, particularmente porque a solução pode ser limitada em um pequeno intervalo inicial. Nos computadores modernos, é possível atingir 4 ou 5 dígitos de precisão em 17 a 18 iterações.^[17] Uma abordagem semelhante pode ser usada para a forma hiperbólica da equação de Kepler.^[18]:66–67 No caso de uma trajetória parabólica, a equação de Barker é usada.

Um método relacionado começa notando que ${\displaystyle E=M+e\sin {E}}$. A substituição repetida da expressão à direita pelo ${\displaystyle E}$ à direita produz um algoritmo simples de iteração de ponto fixo para avaliar ${\displaystyle E(e,M)}$. Este método é idêntico à solução de Kepler de 1621.^[4] Em pseudocódigo:

function E(e, M, n)
    E = M
    for k = 1 to n
        E = M + e*sin E
    next k
    return E

O número de iterações, ${\displaystyle n}$, depende do valor de ${\displaystyle e}$. A forma hiperbólica de modo similar possui ${\displaystyle H=\sinh ^{-1}\left({\frac {H+M}{e}}\right)}$.

Este método está relacionado à solução pelo método de Newton acima, no qual

${\displaystyle E_{n+1}=E_{n}-{\frac {E_{n}-e\sin(E_{n})-M(t)}{1-e\cos(E_{n})}}=E_{n}+{\frac {(M+e\sin {E_{n}}-E_{n})(1+e\cos {E_{n}})}{1-e^{2}(\cos {E_{n}})^{2}}}}$

Até primeira ordem nas pequenas quantidades ${\displaystyle M-E_{n}}$ e ${\displaystyle e}$,

${\displaystyle E_{n+1}\approx M+e\sin {E_{n}}}$.