Colisão elástica

Em qualquer colisão sem uma força externa, o momento linear (quantidade de movimento) é conservado; mas numa colisão elástica, a energia cinética também é conservada.^[4] Considere as partículas A e B com massas m_A, m_B e velocidades v_A1, v_B1 antes da colisão, e v_A2, v_B2 após a colisão. A conservação do momento linear antes e depois da colisão é expressa por:^[4] $${\displaystyle m_{A}v_{A1}+m_{B}v_{B1}\ =\ m_{A}v_{A2}+m_{B}v_{B2}.}$$

Numa colisão elástica, a energia cinética é conservada e pode ser expressa por:^[4] $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}m_{A}v_{A1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{B}v_{B1}^{2}\ =\ {\tfrac {1}{2}}m_{A}v_{A2}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{B}v_{B2}^{2}.}$$

Estas equações podem ser resolvidas diretamente para encontrar ${\displaystyle v_{A2},v_{B2}}$ quando ${\displaystyle v_{A1},v_{B1}}$ são conhecidos:^[5]

$${\displaystyle {\begin{array}{ccc}v_{A2}&=&{\dfrac {m_{A}-m_{B}}{m_{A}+m_{B}}}v_{A1}+{\dfrac {2m_{B}}{m_{A}+m_{B}}}v_{B1}\\[.5em]v_{B2}&=&{\dfrac {2m_{A}}{m_{A}+m_{B}}}v_{A1}+{\dfrac {m_{B}-m_{A}}{m_{A}+m_{B}}}v_{B1}.\end{array}}}$$

Se ambas as massas forem iguais, temos uma solução trivial: $${\displaystyle {\begin{aligned}v_{A2}&=v_{B1}\\v_{B2}&=v_{A1}.\end{aligned}}}$$ Isto corresponde simplesmente aos corpos trocarem as suas velocidades iniciais entre si.^[5]

Como seria de esperar, a solução é invariante sob a adição de uma constante a todas as velocidades (relatividade de Galileu), o que é equivalente a utilizar um referencial com velocidade de translação constante. De facto, para deduzir as equações, pode-se primeiro mudar o referencial de modo a que uma das velocidades conhecidas seja zero, determinar as velocidades desconhecidas no novo referencial e converter de volta para o referencial original.

Exemplos

Antes da colisão

Bola A: massa = 3 kg, velocidade = 4 m/s

Bola B: massa = 5 kg, velocidade = 4 m/s

Após a colisão

Bola A: velocidade = −1 m/s

Bola B: velocidade = 3 m/s

Outra situação:

As imagens seguintes ilustram o caso de massas iguais, ${\displaystyle m_{A}=m_{B}}$.

No caso limite em que ${\displaystyle m_{A}}$ é muito maior do que ${\displaystyle m_{B}}$, tal como uma raquete de pingue-pongue a bater numa bola de pingue-pongue ou um SUV a bater num caixote do lixo, a massa mais pesada quase não altera a sua velocidade, enquanto a massa mais leve faz ricochete, invertendo a sua velocidade acrescida de aproximadamente o dobro da velocidade da massa mais pesada.^[6]

No caso de um ${\displaystyle v_{A1}}$ grande, o valor de ${\displaystyle v_{A2}}$ é pequeno se as massas forem aproximadamente iguais: atingir uma partícula muito mais leve não altera muito a velocidade, mas atingir uma partícula muito mais pesada faz com que a partícula rápida faça ricochete com alta velocidade. É por isso que um moderador de neutrões (um meio que abranda os neutrões rápidos, transformando-os em neutrões térmicos capazes de sustentar uma reação em cadeia) é um material cheio de átomos com núcleos leves que não absorvem facilmente neutrões: os núcleos mais leves têm aproximadamente a mesma massa que um neutrão.

De acordo com a relatividade restrita, $${\displaystyle p={\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$$ onde p denota o momento de qualquer partícula com massa m, v denota a velocidade e c é a velocidade da luz.

No referencial do centro de momento, onde o momento total é igual a zero, $${\displaystyle {\begin{aligned}p_{1}&=-p_{2}\\p_{1}^{2}&=p_{2}^{2}\\E&={\sqrt {m_{1}^{2}c^{4}+p_{1}^{2}c^{2}}}+{\sqrt {m_{2}^{2}c^{4}+p_{2}^{2}c^{2}}}\\p_{1}&=\pm {\frac {\sqrt {E^{4}-2E^{2}m_{1}^{2}c^{4}-2E^{2}m_{2}^{2}c^{4}+m_{1}^{4}c^{8}-2m_{1}^{2}m_{2}^{2}c^{8}+m_{2}^{4}c^{8}}}{2cE}}\\u_{1}&=-v_{1}.\end{aligned}}}$$

Aqui, ${\displaystyle m_{1},m_{2}}$ representam as massas de repouso dos dois corpos em colisão, ${\displaystyle u_{1},u_{2}}$ representam as suas velocidades antes da colisão, ${\displaystyle v_{1},v_{2}}$ as suas velocidades após a colisão, ${\displaystyle p_{1},p_{2}}$ os seus momentos, ${\displaystyle c}$ é a velocidade da luz no vácuo e ${\displaystyle E}$ denota a energia total, sendo esta a soma das massas de repouso e das energias cinéticas dos dois corpos.

Visto que a energia e o momento totais do sistema são conservados e as suas massas de repouso não se alteram, demonstra-se que o momento do corpo em colisão é ditado pelas massas de repouso dos corpos em colisão, pela energia total e pelo momento total. Em relação ao referencial do centro de momento, a magnitude do momento de cada corpo em colisão não se altera após a colisão, mas a sua direção de movimento é invertida.

Comparando com a mecânica clássica, que fornece resultados precisos ao lidar com objetos macroscópicos a moverem-se muito mais lentamente do que a velocidade da luz, o momento total dos dois corpos em colisão é dependente do referencial. No referencial do centro de momento, de acordo com a mecânica clássica:

$${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}&=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=0\\m_{1}u_{1}^{2}+m_{2}u_{2}^{2}&=m_{1}v_{1}^{2}+m_{2}v_{2}^{2}\\{\frac {(m_{2}u_{2})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{2}u_{2})^{2}}{2m_{2}}}&={\frac {(m_{2}v_{2})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{2}v_{2})^{2}}{2m_{2}}}\\(m_{1}+m_{2})(m_{2}u_{2})^{2}&=(m_{1}+m_{2})(m_{2}v_{2})^{2}\\u_{2}&=-v_{2}\\{\frac {(m_{1}u_{1})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{1}u_{1})^{2}}{2m_{2}}}&={\frac {(m_{1}v_{1})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{1}v_{1})^{2}}{2m_{2}}}\\(m_{1}+m_{2})(m_{1}u_{1})^{2}&=(m_{1}+m_{2})(m_{1}v_{1})^{2}\\u_{1}&=-v_{1}\,.\end{aligned}}}$$

Isto está em concordância com o cálculo relativístico de ${\displaystyle u_{1}=-v_{1},}$ apesar de outras diferenças.

Um dos postulados da Relatividade Restrita afirma que as leis da física, tais como a conservação do momento linear, devem ser invariantes em todos os referenciais inerciais. Num referencial inercial geral onde o momento total possa ser arbitrário:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {m_{1}\;u_{1}}{\sqrt {1-u_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}\;u_{2}}{\sqrt {1-u_{2}^{2}/c^{2}}}}&={\frac {m_{1}\;v_{1}}{\sqrt {1-v_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}\;v_{2}}{\sqrt {1-v_{2}^{2}/c^{2}}}}=p_{T}\\{\frac {m_{1}c^{2}}{\sqrt {1-u_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}c^{2}}{\sqrt {1-u_{2}^{2}/c^{2}}}}&={\frac {m_{1}c^{2}}{\sqrt {1-v_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}c^{2}}{\sqrt {1-v_{2}^{2}/c^{2}}}}=E\end{aligned}}}$$ Podemos encarar os dois corpos em movimento como um único sistema cujo momento total é ${\displaystyle p_{T},}$ a energia total é ${\displaystyle E}$ e a sua velocidade ${\displaystyle v_{c}}$ é a velocidade do seu centro de massa. Relativamente ao referencial do centro de momento, o momento total é igual a zero. Pode ser demonstrado que ${\displaystyle v_{c}}$ é dada por: $${\displaystyle v_{c}={\frac {p_{T}c^{2}}{E}}}$$ Agora, as velocidades antes da colisão no referencial do centro de momento ${\displaystyle u_{1}'}$ e ${\displaystyle u_{2}'}$ são: $${\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}'&={\frac {u_{1}-v_{c}}{1-{\frac {u_{1}v_{c}}{c^{2}}}}}\\u_{2}'&={\frac {u_{2}-v_{c}}{1-{\frac {u_{2}v_{c}}{c^{2}}}}}\\v_{1}'&=-u_{1}'\\v_{2}'&=-u_{2}'\\v_{1}&={\frac {v_{1}'+v_{c}}{1+{\frac {v_{1}'v_{c}}{c^{2}}}}}\\v_{2}&={\frac {v_{2}'+v_{c}}{1+{\frac {v_{2}'v_{c}}{c^{2}}}}}\end{aligned}}}$$

Quando ${\displaystyle u_{1}\ll c}$ e ${\displaystyle u_{2}\ll c\,,}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}p_{T}&\approx m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}\\v_{c}&\approx {\frac {m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\\u_{1}'&\approx u_{1}-v_{c}\approx {\frac {m_{1}u_{1}+m_{2}u_{1}-m_{1}u_{1}-m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}={\frac {m_{2}(u_{1}-u_{2})}{m_{1}+m_{2}}}\\u_{2}'&\approx {\frac {m_{1}(u_{2}-u_{1})}{m_{1}+m_{2}}}\\v_{1}'&\approx {\frac {m_{2}(u_{2}-u_{1})}{m_{1}+m_{2}}}\\v_{2}'&\approx {\frac {m_{1}(u_{1}-u_{2})}{m_{1}+m_{2}}}\\v_{1}&\approx v_{1}'+v_{c}\approx {\frac {m_{2}u_{2}-m_{2}u_{1}+m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}={\frac {u_{1}(m_{1}-m_{2})+2m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\\v_{2}&\approx {\frac {u_{2}(m_{2}-m_{1})+2m_{1}u_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\end{aligned}}}$$

Por conseguinte, o cálculo clássico mantém-se válido quando a velocidade de ambos os corpos em colisão é muito inferior à velocidade da luz (~300.000 quilómetros por segundo).

Utilizando o chamado parâmetro de velocidade ${\displaystyle s}$ (habitualmente designado por rapidez),

$${\displaystyle {\frac {v}{c}}=\tanh(s),}$$ obtemos $${\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}=\operatorname {sech} (s).}$$

A energia e o momento relativísticos são expressos da seguinte forma: $${\displaystyle {\begin{aligned}E&={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=mc^{2}\cosh(s)\\p&={\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=mc\sinh(s)\end{aligned}}}$$

As equações da soma da energia e do momento das massas em colisão ${\displaystyle m_{1}}$ e ${\displaystyle m_{2}}$ (as velocidades ${\displaystyle v_{1},v_{2},u_{1},u_{2}}$ correspondem aos parâmetros de velocidade ${\displaystyle s_{1},s_{2},s_{3},s_{4}}$), após divisão pela potência adequada de ${\displaystyle c}$, são as seguintes: $${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}\cosh(s_{1})+m_{2}\cosh(s_{2})&=m_{1}\cosh(s_{3})+m_{2}\cosh(s_{4})\\m_{1}\sinh(s_{1})+m_{2}\sinh(s_{2})&=m_{1}\sinh(s_{3})+m_{2}\sinh(s_{4})\end{aligned}}}$$

e a equação dependente, a soma das equações acima: $${\displaystyle m_{1}e^{s_{1}}+m_{2}e^{s_{2}}=m_{1}e^{s_{3}}+m_{2}e^{s_{4}}}$$

subtraindo os quadrados de ambos os lados das equações do "momento" das da "energia" e utilizando a identidade ${\textstyle \cosh ^{2}(s)-\sinh ^{2}(s)=1,}$ após a simplificação obtemos: $${\displaystyle 2m_{1}m_{2}(\cosh(s_{1})\cosh(s_{2})-\sinh(s_{1})\sinh(s_{2}))=2m_{1}m_{2}(\cosh(s_{3})\cosh(s_{4})-\sinh(s_{3})\sinh(s_{4}))}$$

para massas não nulas, recorrendo à identidade trigonométrica hiperbólica ${\textstyle \cosh(a-b)=\cosh(a)\cosh(b)-\sinh(a)\sinh(b),}$ obtemos: $${\displaystyle \cosh(s_{1}-s_{2})=\cosh(s_{3}-s_{4})}$$

como a função ${\displaystyle \cosh(s)}$ é par, obtemos duas soluções: $${\displaystyle {\begin{aligned}s_{1}-s_{2}&=s_{3}-s_{4}\\s_{1}-s_{2}&=-s_{3}+s_{4}\end{aligned}}}$$ a partir da última equação, levando a uma solução não trivial, resolvemos em ordem a ${\displaystyle s_{2}}$ e substituímos na equação dependente, obtendo ${\displaystyle e^{s_{1}}}$ e depois ${\displaystyle e^{s_{2}},}$ resultando em: $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{s_{1}}&=e^{s_{4}}{\frac {m_{1}e^{s_{3}}+m_{2}e^{s_{4}}}{m_{1}e^{s_{4}}+m_{2}e^{s_{3}}}}\\e^{s_{2}}&=e^{s_{3}}{\frac {m_{1}e^{s_{3}}+m_{2}e^{s_{4}}}{m_{1}e^{s_{4}}+m_{2}e^{s_{3}}}}\end{aligned}}}$$

Esta é uma solução para o problema, mas expressa pelos parâmetros de velocidade. A substituição de retorno para obter a solução para as velocidades é: $${\displaystyle {\begin{aligned}v_{1}/c&=\tanh(s_{1})={\frac {e^{s_{1}}-e^{-s_{1}}}{e^{s_{1}}+e^{-s_{1}}}}\\v_{2}/c&=\tanh(s_{2})={\frac {e^{s_{2}}-e^{-s_{2}}}{e^{s_{2}}+e^{-s_{2}}}}\end{aligned}}}$$

Substituindo as soluções anteriores e trocando: ${\displaystyle e^{s_{3}}={\sqrt {\frac {c+u_{1}}{c-u_{1}}}}}$ e ${\displaystyle e^{s_{4}}={\sqrt {\frac {c+u_{2}}{c-u_{2}}}},}$ após uma longa transformação, com a substituição: ${\textstyle Z={\sqrt {\left(1-u_{1}^{2}/c^{2}\right)\left(1-u_{2}^{2}/c^{2}\right)}}}$ obtemos: $${\displaystyle {\begin{aligned}v_{1}&={\frac {2m_{1}m_{2}c^{2}u_{2}Z+2m_{2}^{2}c^{2}u_{2}-(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})u_{1}u_{2}^{2}+(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})c^{2}u_{1}}{2m_{1}m_{2}c^{2}Z-2m_{2}^{2}u_{1}u_{2}-(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})u_{2}^{2}+(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})c^{2}}}\\v_{2}&={\frac {2m_{1}m_{2}c^{2}u_{1}Z+2m_{1}^{2}c^{2}u_{1}-(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})u_{1}^{2}u_{2}+(m_{2}^{2}-m_{1}^{2})c^{2}u_{2}}{2m_{1}m_{2}c^{2}Z-2m_{1}^{2}u_{1}u_{2}-(m_{2}^{2}-m_{1}^{2})u_{1}^{2}+(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})c^{2}}}\,.\end{aligned}}}$$

As componentes x e y finais das velocidades da primeira bola podem ser calculadas como:^[8] $${\displaystyle {\begin{aligned}v'_{1x}&={\frac {v_{1}\cos(\theta _{1}-\varphi )(m_{1}-m_{2})+2m_{2}v_{2}\cos(\theta _{2}-\varphi )}{m_{1}+m_{2}}}\cos(\varphi )+v_{1}\sin(\theta _{1}-\varphi )\cos(\varphi +{\tfrac {\pi }{2}})\\[0.8em]v'_{1y}&={\frac {v_{1}\cos(\theta _{1}-\varphi )(m_{1}-m_{2})+2m_{2}v_{2}\cos(\theta _{2}-\varphi )}{m_{1}+m_{2}}}\sin(\varphi )+v_{1}\sin(\theta _{1}-\varphi )\sin(\varphi +{\tfrac {\pi }{2}}),\end{aligned}}}$$ onde v₁ e v₂ são as grandezas escalares das duas velocidades originais dos objetos, m₁ e m₂ são as suas massas, θ₁ e θ₂ são os seus ângulos de movimento, isto é, ${\displaystyle v_{1x}=v_{1}\cos \theta _{1},\;v_{1y}=v_{1}\sin \theta _{1}}$ (o que significa que mover-se diretamente para baixo e para a direita corresponde a um ângulo de −45° ou 315°), e a letra grega minúscula phi (φ) é o ângulo de contato. (Para obter as velocidades x e y da segunda bola, é necessário trocar todos os subscritos '1' por subscritos '2'.)

Esta equação deriva do fato de que a interação entre os dois corpos é facilmente calculada ao longo do ângulo de contato, o que significa que as velocidades dos objetos podem ser calculadas numa dimensão rotacionando os eixos x e y para ficarem paralelos ao ângulo de contato dos objetos, e depois rotacionando-os de volta para a orientação original para obter as verdadeiras componentes x e y das velocidades.^{[9][10][11][12][13][14]}

Numa representação livre de ângulos, as velocidades alteradas são calculadas utilizando os centros x₁ e x₂ no momento do contato como

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} '_{1}&=\mathbf {v} _{1}-{\frac {2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\ {\frac {\langle \mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2},\,\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}\rangle }{\|\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}\|^{2}}}\ (\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}),\\\mathbf {v} '_{2}&=\mathbf {v} _{2}-{\frac {2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\ {\frac {\langle \mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1},\,\mathbf {x} _{2}-\mathbf {x} _{1}\rangle }{\|\mathbf {x} _{2}-\mathbf {x} _{1}\|^{2}}}\ (\mathbf {x} _{2}-\mathbf {x} _{1})\end{aligned}}}$$

(1)

onde os parênteses angulares indicam o produto interno (ou produto escalar) de dois vetores.

No caso particular de partículas com massas iguais, pode ser verificado por cálculo direto a partir do resultado acima que o produto escalar das velocidades antes e depois da colisão é o mesmo, isto é, ${\displaystyle \langle \mathbf {v} '_{1},\mathbf {v} '_{2}\rangle =\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\rangle .}$ Embora este produto não seja um invariante aditivo da mesma forma que o momento linear e a energia cinética o são para colisões elásticas, parece que a preservação desta quantidade pode, no entanto, ser usada para deduzir leis de conservação de ordem superior.^[15]

O impulso ${\displaystyle \mathbf {J} }$ durante a colisão para cada partícula é:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p'_{1}} -\mathbf {p_{1}} &=\mathbf {J_{1}} ,\\\mathbf {p'_{2}} -\mathbf {p_{2}} &=\mathbf {J_{2}} \end{aligned}}}$$

(2)

A Conservação do Momento Linear implica que ${\displaystyle \mathbf {J} \equiv \mathbf {J_{1}} =-\mathbf {J_{2}} }$ .

Como a força durante a colisão é perpendicular às superfícies de ambas as partículas no ponto de contato, o impulso ocorre ao longo da linha paralela a ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}\equiv \Delta \mathbf {x} }$, o vetor relativo entre os centros das partículas no momento da colisão:

${\displaystyle \mathbf {J} =\lambda \,\mathbf {\hat {n}} ,}$ para algum ${\displaystyle \lambda }$ a ser determinado e ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} \equiv {\frac {\Delta \mathbf {x} }{\|\Delta \mathbf {x} \|}}}$

Então, a partir de (2):

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v'_{1}} &=\mathbf {v_{1}} +{\frac {\lambda }{m_{1}}}\mathbf {\hat {n}} ,\\\mathbf {v'_{2}} &=\mathbf {v_{2}} -{\frac {\lambda }{m_{2}}}\mathbf {\hat {n}} \end{aligned}}}$$

(3)

A partir das equações acima, de acordo com a conservação da energia cinética:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}m_{1}\|\mathbf {v} _{1}\|^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}\|\mathbf {v} _{2}\|^{2}={\frac {1}{2}}m_{1}\|\mathbf {v} _{1}'\|^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}\|\mathbf {v} _{2}'\|^{2}}$

o que simplifica para

${\displaystyle \lambda ^{2}{\frac {m_{1}+m_{2}}{m_{1}m_{2}}}+2\lambda \,\langle \mathbf {\hat {n}} ,\Delta \mathbf {v} \rangle =0,\quad }$com ${\displaystyle \quad \Delta \mathbf {v} \equiv \mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}.}$

(Dica: ${\displaystyle \|\mathbf {v} \|^{2}=\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }$ e utilize as propriedades de linearidade e simetria do produto interno.)

As duas soluções desta equação são ${\displaystyle \lambda =0}$ e ${\displaystyle \lambda =-2{\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\langle \mathbf {\hat {n}} ,\Delta \mathbf {v} \rangle }$, em que ${\displaystyle \lambda =0}$ corresponde ao caso trivial de não haver colisão. Substituindo o valor não trivial de ${\displaystyle \lambda }$ em (3), obtemos o resultado pretendido (1).

Visto que todas as equações se encontram na forma vetorial, esta dedução é igualmente válida para três dimensões com esferas.