Triângulo de Kepler

Um triângulo de Kepler é um triângulo retângulo especial com lados de comprimento com razão em progressão geométrica. Para ${\displaystyle \varphi >1}$, um triângulo retângulo de cateto de comprimento 1 e cateto maior de comprimento ${\displaystyle {\sqrt {\varphi }}}$, com hipotenusa de comprimento ${\displaystyle \varphi }$, o teorema de Pitágoras estabelece que

${\displaystyle \varphi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}}$

sendo esta a proporção áurea. Assim: ${\displaystyle 1:{\sqrt {\varphi }}:\varphi }$, ou approximadamente 1 : 1,272 : 1,618.^[1]

Esses triângulos são denominados em homenagem ao astrônomo e matemático Johannes Kepler.

Triângulos com esta relação entre lados são denominados em memória do matemático e astrônomo alemão Johannes Kepler (1571–1630), o primeiro a demonstrar que este triângulo é caracterizado pela relação entre lados igual à proporção áurea.^[2] Os triângulos de Kepler combinam dois conceitos matemáticos fundamentais — o teorema de Pitágoras e a proporção áurea — que impressionaram Kepler profundamente, como ele expressou em sua quotação:

A geometria tem dois grandes tesouros: um é o teorema de Pitágoras; o outro, a divisão de um segmento em média e extrema razão. O primeiro pode ser comparado a uma medida de ouro; o segundo podemos chamar de joia preciosa.^[3]

— Johannes Kepler

Porém, apesar de ser o primeiro a realizar demonstrações acerca da figura, Kepler não foi o primeiro a descrevê-la.^[4] Kepler dá creditos a "um professor de música chamado Magirus".^[1] O mesmo triângulo aparece anteriormente no livro sobre matemática islâmica Liber mensurationum de Abû Bekr, que foi traduzido no século XII por Gerardo de Cremona para o latim^[4][5], e no livro publicado em 1220/1221 Practica geometriae de Leonardo Fibonnaci, que descreveu o triângulo de forma semelhante a Kepler.^[4][6] Pouco antes de Kepler, o matemático português Pedro Nunes escreveu sobre a forma em 1561 e a possibilidade do uso do triângulo ter sido disseminado na segunda metade da idade média e no Renascimento.^[4]

Algumas fontes proclamam que um triângulo com dimensões aproximadas com um triângulo de Kepler pode ser identificado na Pirâmide de Quéops.^[7][8]

A denominação "triângulo de Kepler" foi usada por Roger Herz-Fischler que se baseou no trabalho de Kepler, que datava de 1597.^[9] Outro nome para o triângulo, utilizado por Matila Ghyka, é "triângulo de Price", em homenagem ao Piramidologia W. A. Price.^[10]

O triângulo de Kepler é definido como um triângulo retângulo e apresentando o comprimento de seus lados em uma progressão geométrica ou, de forma equivalente, apresentando o quadrado de seus lados em uma progressão geométrica. Em ambos os casos, a progressão geométrica apresenta razão ${\displaystyle {\sqrt {\varphi }}}$, sendo ${\displaystyle \varphi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}}$, isto é, a proporção áurea. Assim, a proporção pode ser escrita como 1 : ${\displaystyle {\sqrt {\varphi }}}$ : ${\displaystyle {\varphi }}$ ou como 1 : 1,272 : 1,618.^[1]

Seguindo da definição, se o menor lado de um triângulo de Kepler for ${\displaystyle s}$, os lados restantes terão lados medindo ${\displaystyle s{\sqrt {\varphi }}}$ e ${\displaystyle s{\varphi }}$. O cosseno do maior dos dois ângulos não retos é a razão do lado adjacente — isto é, o menor lado — com a hipotenusa ${\displaystyle {\varphi }}$ (ou ${\displaystyle s{\varphi }}$):

${\displaystyle \theta =sen^{-1}{\frac {1}{\varphi }}\approx 38.1727^{\circ }}$ e ${\displaystyle \theta =cos^{-1}{\frac {1}{\varphi }}\approx 51.8273^{\circ }}$.^[1]

Jarzy Kocik observou que o maior ângulo desses dois também é o ângulo formado pelos centros de trios de círculos consecutivos na Sequência loxodrômica de círculos tangentes de Coxeter.^[11]

• Triângulo de ouro