Teorema de Friedlander–Iwaniec

Na teoria analítica dos números, o teorema de Friedlander-Iwaniec afirma que existem infinitos números primos da forma ${\displaystyle a^{2}+b^{4}}$. Os primeiros primos desse tipo são:

2, 5, 17, 37, 41, 97, 101, 137, 181, 197, 241, 257, 277, 281, 337, 401, 457, 577, 617, 641, 661, 677, 757, 769, 821, 857, 881, 977, … (sequência A028916 na OEIS).

A dificuldade desta afirmação reside na natureza muito esparsa desta sequência: o número de inteiros da forma ${\displaystyle a^{2}+b^{4}}$ menores que ${\displaystyle X}$ é aproximadamente da ordem de ${\displaystyle X^{3/4}}$.

O teorema foi provado em 1997 por John Friedlander e Henryk Iwaniec.^[1][2] Iwaniec foi agraciado com o Prêmio Ostrowski de 2001, em parte por suas contribuições para este trabalho.^[3]

O teorema foi refinado por D. R. Heath-Brown e Xiannan Li em 2017.^[4] Em particular, eles provaram que o polinômio ${\displaystyle a^{2}+b^{4}}$ representa infinitos números primos quando também se exige que a variável ${\displaystyle b}$ seja prima. A saber, se ${\displaystyle f(x)}$ é a quantidade de números primos menores que ${\displaystyle x}$ da forma ${\displaystyle a^{2}+b^{4},}$ então

${\displaystyle f(x)\sim v{\frac {x^{3/4}}{\log {x}}}}$

onde

${\displaystyle v=2{\sqrt {\pi }}{\frac {\Gamma (5/4)}{\Gamma (7/4)}}\prod _{p\equiv 1{\pmod {4}}}{\frac {p-2}{p-1}}\prod _{p\equiv 3{\pmod {4}}}{\frac {p}{p-1}}.}$

Em 2024, um artigo de Stanley Yao Xiao^[5] generalizou o teorema de Friedlander-Iwaniec e os teoremas de Heath-Brown-Li para formas quadráticas binárias gerais, incluindo formas indefinidas. Em particular, para ${\displaystyle f(x,y)\in \mathbb {Z} [x,y]}$ sendo uma forma quadrática binária positiva definida satisfazendo ${\displaystyle f(x,1)\not \equiv x(x+1){\pmod {2}}}$, e assumindo ${\displaystyle \lambda }$ como a função indicadora de primos, e

${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{f}=\operatorname {Area} \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:f(x,y^{2})\leq 1\}}$

e

${\displaystyle \nu _{f}=\prod _{p\nmid \Delta (f)}\left(1-{\frac {\rho _{f}(p)}{p}}\right)\left(1-{\frac {1}{p}}\right)^{-1}\prod _{p|\Delta (f)}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)^{-1},}$

com ${\displaystyle \rho _{f}(m)=\#\{x{\pmod {m}}:f(x,1)\equiv 0{\pmod {m}}\}}$, tem-se a fórmula assintótica:

${\displaystyle \sum _{\begin{array}{c}m,\ell \in \mathbb {Z} \\f(m,\ell ^{2})\leq X\end{array}}\lambda (f(m,\ell ^{2}))={\frac {\nu _{f}{\mathfrak {S}}_{f}X^{3/4}}{\log X}}\left(1+O\left({\frac {\log \log X}{\log X}}\right)\right)}$

Aqui, ${\displaystyle \Delta (f)}$ é o discriminante da forma quadrática ${\displaystyle f}$.

Para formas irredutíveis e indefinidas ${\displaystyle f(x,y)\in \mathbb {Z} [x,y]}$ satisfazendo ${\displaystyle f(x,1)\not \equiv x(x+1){\pmod {2}}}$, seja

${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{f}=\lim _{X\rightarrow \infty }{\frac {\operatorname {Area} \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:0<f(x,y^{2})\leq X,0<y<X^{1/4}\}}{X^{3/4}}}.}$

Então tem-se a fórmula assintótica

${\displaystyle \sum _{\begin{array}{c}m,\ell \in \mathbb {Z} \\f(m,\ell ^{2})\leq X\\0<\ell \leq X^{3/4}\end{array}}\lambda (f(m,\ell ^{2}))={\frac {\nu _{f}{\mathfrak {S}}_{f}X^{3/4}}{\log X}}\left(1+O\left({\frac {\log \log X}{\log X}}\right)\right).}$

Quando ${\displaystyle b=1}$, os primos de Friedlander-Iwaniec têm a forma ${\displaystyle a^{2}+1}$, formando o conjunto:

2, 5, 17, 37, 101, 197, 257, 401, 577, 677, 1297, 1601, 2917, 3137, 4357, 5477, 7057, 8101, 8837, 12101, 13457, 14401, 15377, … (sequência A002496 na OEIS).

Conjectura-se (sendo este um dos Problemas de Landau) que este conjunto é infinito. No entanto, isto não é implicado pelo teorema de Friedlander-Iwaniec.

• Cipra, Barry Arthur (1998). «Sieving Prime Numbers From Thin Ore». Science. 279 (5347). 31 páginas. doi:10.1126/science.279.5347.31 .