Sólido de Arquimedes

Os sólidos de Arquimedes são poliedros convexos cujas faces são polígonos regulares de mais de um tipo. Todos os seus vértices são congruentes, isto é, existe o mesmo arranjo de polígonos em torno de cada vértice.^[1] Além disso, todo vértice pode ser transformado em outro vértice por uma simetria do poliedro. Existem apenas treze poliedros arquimedianos e são todos obtidos por operações sobre os sólidos platónicos.

Onze são obtidos truncando sólidos platónicos:

O tetraedro truncado, o cuboctaedro, o cubo truncado, o octaedro truncado, o rombicuboctaedro, o cuboctaedro truncado, o icosidodecaedro, o dodecaedro truncado, o icosaedro truncado, o rombicosidodecaedro e o icosidodecaedro truncado.

Dois são obtidos por snubificação de sólidos platónicos: o cubo snub e o icosidodecaedro snub. Estes dois sólidos têm caso isomórfico, quer dizer uma figura de espelho correspondente.

Os sólidos

Os sólidos de Arquimedes apresentam propriedades de simetria: o grupo de simetria de cada sólido foi derivado do sólido platónico.^[2]^:39 Alguns matemáticos afirmam que os sólidos de Arquimedes são equivalentes a classe dos poliedros semirregulares.^[3]^:380 Contudo, algumas definições do poliedro semirregular podem incluir as famílias infinitas de prismas e antiprismas, incluindo o girobicúpula quadrada alongada.^[4]^:116^[5]^:85

Os esqueletos dos sólidos de Arquimedes podem ser representados por grafos, denominados grafos arquimedianos. Esses grafos são regulares, hamiltonianos^[6]^:267-270 e poliédricos.^[7]^:26

Sólidos de Arquimedes
Tetraedro truncado Dual: tetraedro triakis	8 faces 4 triángulos 4 hexágonos	12 vértices	18 arestas
Cuboctaedro Dual: dodecaedro rómbico	14 faces 8 triângulos 6 quadrados	12 vértices	24 arestas
Cubo truncado Dual: octaedro triakis	14 faces 8 triângulos 6 octogonos	24 vértices	36 arestas
Octaedro truncado Dual: hexaedro tetrakis	14 faces 6 quadrados 8 hexágonos	24 vértices	36 arestas
Rombicuboctaedro ou pequeno rombicuboctaedro Dual: icositetraedro deltoidal	26 faces 8 triângulos 18 quadrados	24 vértices	48 arestas
Cuboctaedro truncado ou grande rombicuboctaedro Dual: dodecaedro disdiakis	26 faces 12 quadrados 8 hexágonos 6 octógonos	48 vértices	72 arestas
Icosidodecaedro Dual: triacontaedro rómbico	32 faces 20 triângulos 12 pentágonos	30 vértices	60 arestas
Dodecaedro truncado Dual: icosaedro triakis	32 faces 20 triângulos 12 decágonos	60 vértices	90 arestas
Icosaedro truncado ou bola de futebol Dual: dodecaedro pentakis	32 faces 12 pentágonos 20 hexágonos	60 vértices	90 arestas
Rombicosidodecaedro ou pequeno rombicosidodecaedro Dual: hexecontaedro deltoidal	62 faces 20 triângulos 30 quadrados 12 pentágonos	60 vértices	120 arestas
Icosidodecaedro truncado ou grande rombicosidodecaedro Dual: triacontaedro disdiakis	62 faces 30 quadrados 20 hexágonos 12 decágonos	120 vértices	180 arestas
Cubo snub ou Cuboctaedro Snub Este poliedro tem um caso isomórfico Dual: Icositetraedro pentagonal	38 faces 32 triângulos 6 quadrados	24 vértices	60 arestas
Icosidodecaedro snub ou dodecaedro snub Este poliedro tem um caso isomórfico Dual: hexecontaedro pentagonal	92 faces 80 triângulos 12 pentágonos	60 vértices	150 arestas

História

Icosaedro truncado por Piero della Francesca

Icosidodecaedro truncado por Leonardo da Vinci

Cuboctaedro por Wenzel Jamnitzer

Os sólidos de Arquimedes, têm o nome de Arquimedes, que os descobriu e relatou em livros que se perderam. Apesar de não ser creditado originalmente, Papo de Alexandria listou treze poliedros e as descreveu brevemente em termos das faces que apresentava na quinta seção do seu trabalho Synagoge, referindo-se a Arquimedes.^[8]^:156^[9]^[10]^:248

Durante a Renascença, artistas e matemáticos descobriram de novo todos os sólidos de Arquimedes. Alguns desses sólidos aparecem no livro De quinque corporibus regularibus de Piero della Francesca.^[11] Contudo, Francesca não credita o trabalho de Arquimedes, nem utiliza o nome "sólidos de Arquimedes", mas apresenta suas ideias como uma redescoberta independente.^[10]^:248 Os sólidos também se apresentam em trabalhos de Wenzel Jamnitzer e Luca Pacioli, este último com desenhos de Leonardo da Vinci.^[8]^:156 As descobertas ficaram completas à volta de 1619, por Johannes Kepler, que definiu prismas, antiprismas e poliedros não convexos conhecidos como poliedros de Kepler-Poinsot.^[12]

Duais

Os duais dos sólidos de Arquimedes são chamados sólidos de Catalan.^[2]^:39

Foram descritos pela primeira vez pelo matemático belga Eugène Catalan em 1865.

Os sólidos de Catalan são 13: o tetraedro triakis; o dodecaedro rômbico; o octaedro triakis; o hexaedro tetrakis; o icositetraedro deltoidal; o dodecaedro disdiakis; o icositetraedro pentagonal; o triacontaedro rômbico; o icosaedro triakis; o dodecaedro pentakis; o hexecontaedro deltoidal; o triacontaedro disdiakis e o hexecontaedro pentagonal.

Referências

↑ Poliedros. Sólidos e Planificações. Silvia Batista e Gilmara Barcelos.
1 2 Diudea, Mircea Vasile (2018). Multi-shell Polyhedral Clusters. Col: Carbon Materials: Chemistry and Physics. 10. Cham: Springer International Publishing. ISBN 978-3-319-64121-8. doi:10.1007/978-3-319-64123-2. Consultado em 11 de março de 2026
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[1] Poliedros. Sólidos e Planificações. Silvia Batista e Gilmara Barcelos.

[:0-2] 1 2 Diudea, Mircea Vasile (2018). Multi-shell Polyhedral Clusters. Col: Carbon Materials: Chemistry and Physics. 10. Cham: Springer International Publishing. ISBN 978-3-319-64121-8. doi:10.1007/978-3-319-64123-2. Consultado em 11 de março de 2026

[3] Kinsey, Laura Christine; Moore, Teresa E.; Prassidis, Stratos; Prassidis, Stratos (2011). Geometry & symmetry. Hoboken, N. J: Wiley. ISBN 978-0-470-49949-8 |acessodata= requer |url= (ajuda)

[4] Rovenski, Vladimir (2010). Modeling of Curves and Surfaces with MATLAB®. Col: Springer Undergraduate Texts in Mathematics and Technology. New York, NY: Springer New York. ISBN 978-0-387-71277-2. doi:10.1007/978-0-387-71278-9. Consultado em 11 de março de 2026

[5] Malkevitch, Joseph (2013). Senechal, Marjorie, ed. «Milestones in the History of Polyhedra». New York, NY: Springer (em inglês): 53–63. ISBN 978-0-387-92714-5. doi:10.1007/978-0-387-92714-5_4. Consultado em 11 de março de 2026

[6] Read, Ronald C; Wilson, Robin J (26 de novembro de 1998). An Atlas Of Graphs (em inglês). [S.l.]: Oxford University PressOxford. ISBN 978-0-19-853289-7. doi:10.1093/oso/9780198532897.001.0001. Consultado em 11 de março de 2026

[7] Santos, Agna Souza (2024). «A Fórmula de Euler para Poliedros» (PDF). Universidade Federal de Sergipe. Consultado em 11 de março de 2026

[:1-8] 1 2 Cromwell, Peter R. (1997). Polyhedra. Cambridge, U.K. ; New York, NY, USA: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55432-9 |acessodata= requer |url= (ajuda)

[9] Grünbaum, Branko (30 de setembro de 2009). «An enduring error». Elemente der Mathematik (3): 89–101. ISSN 0013-6018. doi:10.4171/em/120. Consultado em 11 de março de 2026

[:2-10] 1 2 Field, J. V. (setembro de 1997). «Rediscovering the Archimedean Polyhedra: Piero della Francesca, Luca Pacioli, Leonardo da Vinci, Albrecht Dürer, Daniele Barbaro, and Johannes Kepler». Archive for History of Exact Sciences (em inglês) (3-4): 241–289. ISSN 0003-9519. doi:10.1007/BF00374595. Consultado em 11 de março de 2026

[11] Banker, James R. (2005). «A Manuscript of the Works of Archimedes in the Hand of Piero della Francesca». The Burlington Magazine (1224): 165–169. ISSN 0007-6287. Consultado em 11 de março de 2026

[12] Schreiber, Peter; Fischer, Gisela; Sternath, Maria Luise (julho de 2008). «New light on the rediscovery of the Archimedean solids during the Renaissance». Archive for History of Exact Sciences (em inglês) (4): 457–467. ISSN 0003-9519. doi:10.1007/s00407-008-0024-z. Consultado em 11 de março de 2026

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