Lista de representações de e

Parte de uma série de artigos sobre a
constante matemática e
Propriedades
Logaritmo natural Função exponencial
Aplicações
Juro composto Identidade de Euler Fórmula de Euler meias-vidas crescimento e decaimento exponencial
Definir e
prova de que e é irracional representações de e Teorema de Lindemann–Weierstrass
Pessoas
John Napier Leonhard Euler

A constante matemática e pode ser representada de diversas formas como um número real. Por e ser um número irracional, o mesmo não pode ser representado como uma fração, podendo porém ser representado como uma fração contínua. Usando o cálculo, e pode ser representado como série infinita, produto infinito ou limite de uma sequência.

Euler provou que o número e é representado como a fração contínua simples infinita^[1] (sequência A003417 na OEIS):

${\displaystyle e=[2;1,{\textbf {2}},1,1,{\textbf {4}},1,1,{\textbf {6}},1,1,{\textbf {8}},1,1,\ldots ,{\textbf {2n}},1,1,\ldots ].\,}$

Sua convergência pode ser triplicada permitindo apenas um número fracional:

${\displaystyle e=[1,{\textbf {0.5}},12,5,28,9,44,13,60,17,\ldots ,{\textbf {4(4n-1)}},{\textbf {4n+1}},\ldots ].\,}$

Seguem algumas frações contínuas generalizadas infinitas de e. A segunda é gerada da primeira por uma simples transformação de equivalência. A última é equivalente a [1, 0.5, 12, 5, 28, 9, ...].

${\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {2}{3+{\cfrac {3}{4+{\cfrac {4}{5+\ddots }}}}}}}}}}=2+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {3}{3+{\cfrac {4}{4+{\cfrac {5}{5+{\cfrac {6}{6+\ddots \,}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1}{18+\ddots \,}}}}}}}}}}=1+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1}{18+\ddots \,}}}}}}}}}}}$

Esta última é um caso especial da fórmula geral para a função exponencial:

${\displaystyle e^{\frac {2x}{y}}=1+{\cfrac {2x}{y-x+{\cfrac {x^{2}}{3y+{\cfrac {x^{2}}{5y+{\cfrac {x^{2}}{7y+{\cfrac {x^{2}}{9y+\ddots \,}}}}}}}}}}}$

O número e também pode ser expressado como a soma de algumas séries infinitas.

Podemos representar o número por ${\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}}$.^[2][3] Em um caso geral, podemos representá-lo como ${\displaystyle e^{x}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}}$ para qualquer ${\displaystyle x}$ real.

Outras formas de representação incluem ${\displaystyle e=\left[\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1-2k}{(2k)!}}\right]^{-1}}$^[4], ${\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(3k)^{2}+1}{(3k)!}}}$ e ${\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2k+3}{(k+2)!}}}$.^[5]

O número de Euler pode ser escrito pela série binomial${\displaystyle e_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}{\frac {1}{n^{k}}}}$, que converge para ${\displaystyle e}$ a medida que ${\displaystyle n}$ cresce.^[6]

Derivado da fórmula de análise de juros compostos, é possível apresentar a constante como$${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$$.^[7]

Na trigonometria, e pode ser representado a partir da soma de duas funções hiperbólicas:

${\displaystyle e=\sinh(1)+\cosh(1)}$.^[8]

De forma generalizada, ${\displaystyle e^{x}=\sinh(x)+\cosh(x)}$. Temos, ainda, ${\displaystyle e^{-x}=\cosh(x)-\sinh(x)}$.^[8]