Quadratura do círculo

Já nas civilizações do Antigo Oriente existiam métodos para o cálculo das áreas de círculos. Por exemplo, no Papiro de Rhind (cerca de 1550 a.C.), o diâmetro do círculo é dividido em 9 partes. A sua área exata nestas unidades é ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}\cdot 9^{2}=63{,}617\dots }$. Este valor é então aproximado por um quadrado (a vermelho na imagem) de lado 8, ou seja, por ${\displaystyle 8^{2}=64}$ (ver Do Papiro de Rhind). Num segundo método, o círculo é aproximado por um octógono irregular. Para isso, são cortados triângulos iguais nos quatro cantos do quadrado 9×9 no qual o círculo está inscrito, totalizando 18 unidades de área, restando 63. Soluções-modelo deste tipo eram obtidas da prática e destinadas à prática; não havia considerações teóricas mais aprofundadas e, em particular, não se fazia distinção entre a solução exata e a aproximação.^[2]

Uma abordagem dedutiva na Matemática, onde as tarefas-modelo são substituídas por teoremas sustentados por provas, desenvolveu-se a partir do século VI a.C. na Grécia. Ela já é visível de forma embrionária em Tales de Mileto, e de forma mais clara na escola do pitagóricos, fundada por Pitágoras de Samos.^[3] Com a descoberta de segmentos incomensuráveis, geralmente atribuída ao pitagórico Hipaso de Metaponto no final do século VI ou início do século V a.C., tornou-se evidente que existem objetos construtíveis (por exemplo, a diagonal de um quadrado) que não podem ser representados como uma proporção de números inteiros. Isto parecia notável, uma vez que os únicos tipos de números conhecidos eram os números inteiros e as razões de números inteiros (no uso atual, os "números racionais"). Assim, quaisquer comprimentos geométricos teriam de ser sempre comensuráveis, ou seja, estariam sempre numa relação de comprimento de números inteiros entre si. Através dessa descoberta, comprimentos que não podiam ser representados aritmeticamente como um "número" no sentido tradicional tornaram-se geometricamente construtíveis (no uso atual, tratam-se de "números irracionais"). Subitamente, a geometria podia representar mais do que a Aritmética conseguia.^[4][5] Como consequência desta descoberta, a aritmética passou para segundo plano em favor da geometria; as equações tinham agora de ser resolvidas geometricamente, por exemplo através da justaposição de figuras e da conversão de várias figuras em retângulos ou quadrados. Os três problemas clássicos de construção da matemática antiga datam do final do século V a.C.: ao lado da quadratura do círculo, havia a tarefa da Trissecção do ângulo e o problema deliano (ou a duplicação do cubo).^[6]

Uma limitação dos meios de construção a régua e compasso não era geralmente exigida. Durante o estudo dos problemas clássicos, foram encontradas desde cedo soluções baseadas em meios mais amplos. Contudo, ao longo do tempo emergiu uma postura que exigia a maior restrição possível. O mais tardar com Papo de Alexandria, esta restrição severa havia se tornado uma regra.^[7][8]

Como um dos primeiros, de acordo com o escritor grego Plutarco, o filósofo Anaxágoras teria "escrito (ou desenhado, ἔγραφε) a quadratura do círculo na prisão",^[9] porém, Plutarco não dá mais detalhes sobre a construção de Anaxágoras. Uma estadia de Anaxágoras na prisão pode ser datada de cerca de 430 a.C., quando o filósofo foi acusado de impiedade (asebeia) em Atenas.^[10]

Fontes mais detalhadas sobre os primórdios da pesquisa são principalmente comentários da Antiguidade Tardia sobre as obras de Aristóteles, textos que, portanto, foram criados com um intervalo de tempo de cerca de 900 anos. Consequentemente, a ordem cronológica e as linhas de raciocínio exatas das abordagens iniciais são incertas. Os trabalhos mais importantes do século V a.C. vêm de Hipócrates de Quios, Antifonte, Bríson de Heracleia e Hípias de Elis.^[11]

A transformação de triângulos em retângulos, de retângulos em quadrados (Quadratura do retângulo) ou a adição de dois quadrados (Teorema de Pitágoras) já podiam ser tratadas de forma elementar com os teoremas geométricos conhecidos na época. Por volta de 440 a.C., Hipócrates de Quios foi capaz de dar um exemplo de uma área delimitada por linhas curvas que podia ser transformada exatamente em um quadrado. Partindo do teorema, que ele ainda utilizava como um axioma, de que as áreas de segmentos circulares semelhantes se relacionam como os quadrados das suas cordas, Hipócrates conseguiu quadrar as áreas limitadas por arcos circulares, as chamadas "Lúnulas de Hipócrates".^[12] Contudo, a quadratura do círculo não pode ser alcançada desta maneira, uma vez que apenas certas lúnulas – por exemplo, as que estão sobre o lado de um quadrado, mas não as sobre o lado de um hexágono regular – são quadratíveis.

O fato de que triângulos (e, portanto, polígonos arbitrários) podiam ser transformados num quadrado foi uma segunda abordagem para construir um polígono com uma área igual à do círculo. Antifonte teve a ideia de aproximar o círculo através da inscrição de polígonos. Bríson de Heracleia refinou este procedimento ao aproximar o círculo adicionalmente por meio de polígonos circunscritos e formando um valor intermediário.^[13]

Por volta de 425 a.C., Hípias de Elis desenvolveu uma curva para resolver a trissecção do ângulo, que era gerada mecanicamente pela sobreposição de um movimento circular com um linear. Pouco mais de cem anos depois, Dinóstrato descobriu que com a ajuda desta curva, a chamada Quadratriz de Hípias, pode ser construído o segmento de comprimento ${\displaystyle 2/\pi }$ – e com isso, com a ajuda de outras construções elementares, um quadrado de área ${\displaystyle \pi }$. No entanto, uma vez que a própria quadratriz é uma curva dita transcendente (ver Prova da impossibilidade), ou seja, não pode ser gerada com régua e compasso, a solução no sentido estrito não foi alcançada com isso.^[14][15]

Um tratado pormenorizado intitulado Sobre a Medida do Círculo sobreviveu de Arquimedes.^[16] Neste trabalho, Arquimedes provou três teoremas fundamentais:

1. A área de um círculo é igual à área de um triângulo retângulo onde o raio do círculo é um cateto e a circunferência do círculo é o outro cateto. Portanto, a área do círculo pode ser calculada como ½ · raio · circunferência.
2. A área de um círculo é proporcional ao quadrado do seu diâmetro, num rácio próximo de 11⁄14.
3. A circunferência de um círculo é maior que 3+10⁄71 e menor que 3+10⁄70 do diâmetro.

Com o primeiro teorema, o problema da quadratura do círculo foi reduzido à questão da construtibilidade da circunferência de um círculo a partir do raio dado e, consequentemente, à construtibilidade de ${\displaystyle \pi }$. No terceiro teorema, Arquimedes apresentou de imediato uma aproximação para esse número, tão simples quanto exata, nomeadamente 22⁄7, um valor (≈ 3,143) que ainda é utilizado atualmente para fins práticos. O segundo teorema é um Corolário simples dos outros dois; que a área de um círculo é proporcional ao quadrado de seu diâmetro já era conhecido por Euclides.^[17] Arquimedes forneceu o valor da constante de proporcionalidade aqui.

Para provar as suas afirmações, Arquimedes utilizou a ideia de Bríson de Heracleia, com a qual se obtém uma aproximação arbitrária do círculo através da inscrição e circunscrição de polígonos regulares. Partindo do hexágono inscrito e do triângulo circunscrito, Arquimedes chegou sucessivamente ao polígono de 96 lados, duplicando o número de lados. Uma estimativa inteligente das raízes quadradas que surgem nas etapas individuais do cálculo resultou nos limites mencionados no Teorema 3.^[18][19]

Em outra obra Sobre as Espirais,^[20] Arquimedes descreveu a construção da Espiral de Arquimedes, mais tarde batizada em sua honra, a qual, de forma semelhante à quadratriz de Hípias, é obtida sobrepondo um movimento circular a um movimento linear. Ele mostrou que, traçando a tangente a esta espiral, a circunferência de um círculo pode ser transposta para uma linha reta, tornando assim possível a quadratura do círculo. A solução (não-clássica) com sua espiral é descrita na seção Quadratura do círculo através da espiral de Arquimedes. No entanto, como no caso da quadratriz, nem a própria espiral nem a sua tangente são construtíveis com régua e compasso.^[21]

Como resultado de um interesse renovado pela matemática antiga na Europa cristã a partir do século XI, surgiram numerosos tratados sobre a quadratura do círculo, sem que, no entanto, tivessem sido feitas contribuições essenciais para a solução real. Considera-se um retrocesso que, durante a Idade Média, o valor de aproximação de Arquimedes de 22⁄7 tenha sido considerado exato durante um longo período.^[22]

Um dos primeiros autores da Idade Média a retomar o problema da quadratura do círculo foi Franco de Liège. Por volta de 1050, a sua obra De quadratura circuli foi escrita.^[23] Franco começa por apresentar três quadraturas, as quais ele rejeita. As duas primeiras sugerem 7⁄8 para o comprimento do lado do quadrado, ou 10⁄8 para a diagonal do diâmetro do círculo, respetivamente, o que corresponde a aproximações relativamente más para ${\displaystyle \pi }$, como 3+1⁄16 e 3+1⁄8. A terceira sugestão, por sua vez, iguala o perímetro do quadrado à circunferência do círculo, exigindo assim a retificação deste último.

A própria solução de Franco parte de um círculo com diâmetro 14. Ele fixa a sua área como sendo exatamente 7² × 22⁄7 = 154. De acordo com a argumentação de Franco, nenhum quadrado da mesma área pode ser encontrado por cálculo, uma vez que a raiz quadrada de 22⁄7 é irracional, mas como um segmento de reta incomensurável construtível geometricamente (ver Antecedentes), a raiz quadrada de 22⁄7 fornece a quadratura. Para o fazer, divide o círculo em 44 setores iguais, que junta num retângulo com os lados 11 e 14. No entanto, Franco não explica o truque necessário, em que substitui os setores circulares por triângulos retângulos com catetos de comprimento 1 e 7.^[24] Igualmente problemático é o seu esforço pouco bem-sucedido de converter posteriormente o retângulo num quadrado através de uma divisão adequada. É evidente que Franco não estava familiarizado com o método grego antigo.^[24]

Tratados posteriores da Escolástica esgotaram-se, mais ou menos, na avaliação dos argumentos dos clássicos conhecidos. Apenas com a disseminação das traduções latinas das obras de Arquimedes na Baixa Idade Média é que o valor 22⁄7 voltou a ser reconhecido como uma aproximação e procuraram-se novas soluções para o problema, como, por exemplo, por Nicolau de Cusa. Este retomou a ideia de aproximar o círculo por meio de uma sequência de polígonos regulares com um número crescente de lados, mas, ao contrário de Arquimedes, procurou determinar o raio do círculo assumindo um perímetro constante para os polígonos. Numa carta ao médico e naturalista Paolo dal Pozzo Toscanelli, Cusa apresentou uma tal solução que considerou ser exata. O valor para a constante do círculo assim determinado encontrava-se pelo menos entre os limites estabelecidos por Arquimedes. Os verdadeiros trabalhos de Cusa sobre o assunto forneciam aproximações significativamente piores e tornaram-se o alvo de uma polêmica por Regiomontanus, que comprovou a imprecisão dos cálculos e caracterizou as provas "como filosóficas, mas não como matemáticas".^[25]

A partir do século XVI, o desenvolvimento do método de aproximação de Arquimedes e o surgimento dos modernos métodos analíticos trouxeram novos progressos no cálculo do círculo.

No método original de Arquimedes, a circunferência do círculo é estimada pelo perímetro de um polígono inscrito e de um polígono circunscrito. Obter limites mais precisos resulta do aumento do número de vértices. O matemático holandês Willebrord Snellius (Snell) descobriu que, mesmo sem aumentar o número de lados, limites mais finos poderiam ser especificados para o comprimento de um arco do que apenas as cordas dos polígonos. No entanto, ele não conseguiu provar esse resultado com rigor matemático.^[26] A elaboração e o aperfeiçoamento da abordagem de Snellius foram realizados por Christiaan Huygens em seu trabalho De circuli magnitudine inventa,^[27] onde ele também forneceu as provas para os teoremas apresentados por Snellius.^[28] Por via puramente elementar geométrica, Huygens obteve uma limitação tão boa da área entre o polígono e o círculo, que ele conseguiu determinar o valor do pi com pelo menos quatro vezes mais casas decimais de exatidão do que Arquimedes, ao utilizar polígonos com o mesmo número de lados.^[29]

A abordagem puramente geométrica para a determinação da constante do círculo havia se esgotado substancialmente com o trabalho de Huygens. Melhores aproximações resultaram do uso de séries infinitas, em especial das expansões em séries de funções trigonométricas.^[28] É certo que no final do século XVI, François Viète já havia encontrado uma primeira representação exata de ${\displaystyle \pi }$ através de um produto infinito, considerando certas relações de segmentos de polígonos consecutivos, mas essa fórmula revelou-se pouco prática. Uma série mais simples, que além do mais só utiliza multiplicações e divisões, foi criada por John Wallis,^[30] e uma outra representação da constante do círculo como uma fração contínua provém de William Brouncker.^[31] Mais importante para a prática foi a série encontrada por James Gregory e, independentemente, por Gottfried Wilhelm Leibniz, para o Arco-tangente.^[32] Embora essa série em si tenha um limite convergente lento, é possível derivar dela outras séries que, por sua vez, são muito adequadas para o cálculo da constante do círculo. No início do século XVIII, mais de 100 casas decimais de ${\displaystyle \pi }$ haviam sido calculadas com a ajuda de tais séries,^[33] todavia, nenhuma nova perspectiva para o problema da quadratura do círculo pôde ser obtida com isso.

Para a solução do problema, era necessário, por um lado, ser capaz de dar ao conceito geométrico de "construtibilidade" um significado algébrico e, por outro lado, uma compreensão mais exata das propriedades da constante do círculo.

Uma construção geométrica com régua e compasso baseia-se em um número finito de pontos dados e, em um número finito de passos, determina novos pontos através da intersecção de duas retas, de dois círculos ou de uma reta e um círculo. A tradução dessa abordagem para a linguagem da álgebra foi viabilizada com a introdução do sistema de coordenadas cartesiano no escopo da Geometria analítica, desenvolvida principalmente por Pierre de Fermat e René Descartes no século XVII.^[34] Retas e círculos podiam ser descritos através de equações utilizando estas novas ferramentas, e pontos de intersecção podiam ser determinados resolvendo os sistemas de equações. Demonstrou-se que as distâncias que podem ser construídas a partir de uma reta de comprimento 1 usando apenas régua e compasso correspondem exatamente aos números que podem ser deduzidos através de um número finito de operações (básicas) racionais (adição, subtração, multiplicação e divisão), além de um número finito de raízes quadradas resultantes da operação inversa do quadrado aplicado ao número 1.^[35] Especialmente, esses comprimentos correspondem a números algébricos, isto é, um Subconjunto de números que formam a solução de uma Equação algébrica de qualquer grau com coeficientes racionais. Os números que não são algébricos denominam-se transcendentes. Desta forma, extensões transcendentes a partir do comprimento 1 não são passíveis de ser construídas em um número finito de passos usando régua e compasso.^[36][37]

O ponto de partida para outras investigações sobre a constante do círculo repousou em algumas descobertas fundamentais de Leonhard Euler, publicadas em 1748 em sua obra Introductio in analysin infinitorum.^[38] Euler, entre outras coisas, foi o primeiro a relacionar funções trigonométricas e a Função exponencial com a sua epônima Fórmula de Euler

${\displaystyle {\mathrm {e} }^{\mathrm {i} \,z}=\cos z+\mathrm {i} \sin z}$

e ademais ofereceu algumas representações através de frações contínuas e séries da constante ${\displaystyle \pi }$ e do que mais tarde viria a ser denominado Número de Euler, o número ${\displaystyle \mathrm {e} }$.^[39]

Esses trabalhos preparatórios serviram para Johann Heinrich Lambert, que, usando as expressões de frações contínuas eulerianas, provou pela primeira vez em 1766 que ${\displaystyle \mathrm {e} }$ e ${\displaystyle \pi }$ são números irracionais, isto é, de modo que nenhum dos números pudesse ser formulado como uma Fração dotada de numerador e denominador inteiros.^[40][41]

Uma ligeira lacuna no percurso argumentativo da prova de Lambert foi resolvida por Adrien-Marie Legendre em 1806, que simultaneamente elaborou a comprovação da irracionalidade de ${\displaystyle \pi ^{2}}$.^[42]

A suposição de que o ${\displaystyle \pi }$ poderia não ser algébrico foi expressada, ao menos, por Euler, Lambert e Legendre. Não obstante, o facto de que os números transcendentes deveriam sequer existir, ainda não tinha plena clareza em meados do século XIX. A demonstração sobre esse tema partiu de Joseph Liouville, em 1844/1851, procedendo à construção explícita dos que se autodenominaram de números de Liouville transcendentes.^[43]

Ferdinand von Lindemann demonstrou com sucesso em 1882, que o ${\displaystyle \pi }$ não seria algébrico, constituindo sim um Número transcendente. Portanto, a construtibilidade reta do ${\displaystyle \pi }$ provava a impossibilidade da quadratura do círculo.^[44]

Na sua pesquisa, Lindemann adotou o veredicto do matemático francês Charles Hermite. O francês apontara para a premissa de que o número de Euler e era transcendente ainda em 1873.^[45] Baseado nessa conclusão, Lindemann teve por aptidão demonstrar o que viria a denominar-se Teorema de Lindemann–Weierstrass. A proposição determinava que, dados números algébricos arbitrários e dessemelhantes ${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{r}}$, associando mais números algébricos arbitrários ${\displaystyle n_{1},\dots ,n_{r}}$, a equação

${\displaystyle \sum _{i=1}^{r}n_{i}\mathrm {e} ^{z_{i}}=0}$

só será capaz de surtir o devido efeito estritamente na eventualidade em que cada ${\displaystyle n_{i}}$ valesse o número zero.^[46] Particularmente, os termos algébricos dissimilares de zero de um z numérico, de maneira nenhuma produzem perante a expressão ${\displaystyle \mathrm {e} ^{z}}$ uma grandeza racional de resposta. Terminada a preliminar teórica, Lindemann formulou a objeção e a negação à premissa de que ${\displaystyle \pi }$ ostentava propriedade algébrica, refutando com a Identidade de Euler ${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \pi }=-1}$; ${\displaystyle \pi }$ teria logo que representar necessariamente uma condição transcendente.^[45]

O argumento para a constatação do caráter transcendente do ${\displaystyle \pi }$ desenhado por Lindemann seria facilitado por grande escala ao longo dos anos e décadas vindouras, particularmente por David Hilbert no decorrer de 1893.^[47]```

Um exemplo proeminente de um matemático amador que acreditava ter encontrado a quadratura do círculo foi o filósofo inglês Thomas Hobbes. A sua solução, publicada em 1665 na sua obra De corpore – na realidade, uma construção de aproximação –, foi refutada por John Wallis no mesmo ano. Nos anos que se seguiram, desenvolveu-se entre os dois uma disputa num tom amargo que só viria a terminar com a morte de Hobbes em 1679.^[54]

Lambert relata a existência de três quadraturas do círculo mediante um determinado valor racional. Os trabalhos publicados em meados do século XVIII baseiam-se na aproximação de 35⁄31 para a razão entre o diâmetro do círculo e o lado do quadrado da mesma área. Para a constante do círculo, obtém-se a partir daí a aproximação

${\displaystyle \pi \approx {\frac {3844}{1225}}=3{,}1{\color {red}37\;9\;\ldots }\;.}$^[55]

A um dos três autores, o pregador Merkel de Ravensburg, Gotthold Ephraim Lessing dedicou o poema "Ao Senhor M**, o inventor da quadratura do círculo".^[56]

A quadratura do círculo do médico americano Edward J. Goodwin apareceu até mesmo no primeiro volume do American Mathematical Monthly em 1894, embora apenas como um anúncio do autor. O trabalho em si é contraditório e admite, consoante a leitura, vários valores para ${\displaystyle \pi }$. Serviu de base a um projeto de lei submetido ao parlamento do Indiana em 1897, o chamado Indiana Pi Bill, através do qual as conclusões de Goodwin seriam convertidas em lei.^[57]

Como a mais antiga prova do aparecimento de um chamado "quadrador do círculo", é ocasionalmente citada uma passagem da comédia de Aristófanes, As Aves, do século V a.C., em que Méton surge como agrimensor e tenciona estabelecer a planta de uma nova cidade com instrumentos geométricos de forma a que "o círculo se torne um quadrado". Contudo, isto não se refere à quadratura de um círculo, mas sim ao traçado de duas ruas que se cruzam em ângulo reto, mesmo que a expressão pareça uma alusão à quadratura do círculo.^[58][59]

No ano de 1321, Dante Alighieri apresentou na sua obra A Divina Comédia a quadratura do círculo como uma tarefa que transcende a compreensão humana, comparando-a com a sua própria incapacidade de compreender o Paraíso:

Como o geômetra que em vão se esforça

Ao aplicar todo o seu pensamento para medir o círculo,
Pois lhe falta o princípio de que carece:   135

Assim estava eu perante esta nova visão.
Queria ver de que modo a imagem ao círculo
Se unia e onde ali encontrava o seu lugar;

Mas as minhas asas não eram suficientes para tanto,
A não ser que o meu espírito fosse atingido por um clarão,
No qual a satisfação do meu desejo veio.

— Dante Alighieri, A Divina Comédia – Paraíso – Canto 33, versos 133 a 141

No romance inovador de James Joyce, Ulysses, de 1922, o personagem principal é Leopold Bloom, um angariador de anúncios. No verão de 1882, ele trabalhou arduamente numa solução para o problema da quadratura do círculo a fim de obter a supostamente avultada fortuna de recompensa. Perto do fim do romance, ele teve de admitir a si próprio, triste e desapontado, num longo diálogo com o seu pai, Rudolf Virág, que havia falhado.^[60][61]

VIRAG […] Afinal, tinhas a intenção de dedicar um ano inteiro ao estudo do problema da religião e os meses de verão do ano de 1882 à quadratura do círculo e ao ganho daquele milhão. Romã! Do sublime ao ridículo vai apenas um passo. Pijamas, poderíamos nós dizer? […]

BLOOM   Eu queria que fosse o fim agora. Roupa de dormir nunca foi. Daí esta. Mas amanhã é um novo dia, será. Passado foi, é hoje. O que agora é, será então amanhã, como agora foi, o ontem passado.

— James Joyce, Ulysses: Romance

A construção por aproximação já descrita no Papiro de Rhind, por volta do século XVI a.C., e reproduzida na figura ao lado, é uma das mais antigas. O autor – um egípcio – do papiro matemático adota a determinação de ${\displaystyle {\tfrac {8}{9}}}$ do diâmetro do círculo ${\displaystyle d}$ para o lado do quadrado.^[62]

Após o traçado do círculo com um diâmetro arbitrário, os dois eixos centrais perpendiculares entre si do círculo são desenhados. De seguida, um eixo central é dividido em nove partes iguais. Sobre o segundo eixo central são marcados duas vezes quatro nonos do diâmetro, a partir do centro do círculo em cada caso. Finalmente, só é necessário desenhar o quadrado com um comprimento de lado igual a oito nonos do diâmetro. A relação do diâmetro para o lado do quadrado corresponde, portanto, ao valor de ${\displaystyle {\tfrac {8}{9}}}$.

A área aproximada do círculo tem o valor ${\displaystyle ({\tfrac {8}{9}}\cdot d)^{2}}$ ou ${\displaystyle {\tfrac {64}{81}}\cdot d^{2}}$. Comparando isto com uma determinação presentemente possível da área ${\displaystyle A_{C}}$, verifica-se^[62]

${\displaystyle A_{C}={\frac {\pi }{4}}\cdot d^{2}\approx {\frac {64}{81}}\cdot d^{2}}$.

Referindo-se ao círculo unitário (raio ${\displaystyle r=1}$), obtém-se para a aproximação da constante do círculo

${\displaystyle \pi \approx {\frac {256}{81}}=3{,}1{\color {red}60\ldots }}$,

assim como para o valor construído do lado do quadrado

${\displaystyle {\sqrt {\frac {256}{81}}}=1{,}{\overline {7}}\approx {\sqrt {\pi }}}$.

Isto significa que, no círculo unitário, duas casas decimais do comprimento do lado do quadrado são iguais àquelas de ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}=1{,}772\ldots }$.

Exemplo para ilustrar os erros:

Num círculo com um raio de r = 1 m, o erro do comprimento do lado seria ≈ 5,3 mm.

Num círculo com um raio de r = 1 m, o erro da área seria ≈ 1,89 dm².

A construção seguinte encontra-se por um lado nos Babilónios e, por outro lado, é insinuada nas publicações do agrimensor romano Vitrúvio.^[22] Ela fornece o valor 3+1⁄8 para ${\displaystyle \pi }$. Para indicar um método gráfico conveniente, Albrecht Dürer retoma esta construção em 1525 na sua obra Underweysung der Messung mit dem Zirckel und Richtscheyt (Instrução de Medição com o Compasso e a Régua). Dürer tem consciência de que esta é uma mera solução aproximada e escreve explicitamente que uma solução exata ainda não tinha sido encontrada:

Seria necessário conhecer Quadratura circuli, ou seja, a igualdade de um compasso e de um quadrado, para que um tivesse tanto conteúdo como o outro. Mas tal coisa ainda não foi demonstrada pelos eruditos. Mechanice, ou seja, de forma casual, de modo que na obra não falhe ou falte apenas por um pouco, esta igualdade pode ser feita da seguinte forma. Desenha um quadrado e divide a linha do lugar em dez partes e, de seguida, desenha um compasso cujo diâmetro deve ter oito partes, como a quadratura os seus 10; como eu o desenhei em baixo.

— Albrecht Dürer, Underweysung der Messung mit dem Zirckel und Richtscheyt

Uma solução aproximada clássica para metade do perímetro do círculo foi descoberta pelo matemático polaco Adam Adamandy Kochański no ano de 1685. Apenas necessita de uma única abertura de compasso. A construção em si consiste na retificação do semicírculo. A partir de um raio ${\displaystyle r}$ dado, Kochanski construiu aproximadamente um segmento reto de comprimento ${\displaystyle r\cdot \pi ,}$ ou seja, aproximadamente metade do perímetro do círculo ${\displaystyle {\tfrac {P}{2}}.}$ O retângulo desenhado a vermelho no diagrama ao lado tem consequentemente, com ${\displaystyle {\overline {AZ}}\cdot r=r\;\cdot \approx \pi \cdot r}$, quase a mesma área que o círculo. A quadratura aproximada segue elementarmente através de leis matemáticas do triângulo retângulo, descritas em Quadratura do retângulo. A constante do círculo é aproximada por Kochański a quatro casas decimais de precisão:^[63]

${\displaystyle \pi =3{,}141\;592\ldots \approx {\overline {AZ}}=r\cdot {\sqrt {(3-\tan 30^{\circ })^{2}+4\,}}\ \approx \ 3{,}141\;5{\color {red}33}\cdot r}$

Exemplos para ilustrar os erros:

Num círculo com um raio de r = 100 m, o erro do comprimento do lado a seria ≈ −1,7 mm.

Num círculo com um raio de r = 1 m, o erro da área A seria ≈ −59 mm².

No ano de 1828, C. G. Specht publicou a sua Segunda Construção de Aproximação da Circunferência do Círculo (Zweite Annäherungs-Construction des Kreis-Umfanges) no periódico alemão Journal für die reine und angewandte Mathematik. Para a aproximação ele encontrou o valor^[64]

${\displaystyle 5\cdot {\sqrt {\frac {439}{278}}}=6{,}28318528\ldots }$

Dividindo este valor por dois, resulta num número decimal em que sete casas decimais coincidem com as da constante do círculo ${\displaystyle \pi }$:^[65]

${\displaystyle 3{,}141\;592\;6{\color {red}40\;1\ldots }\;\approx \pi }$

Exemplos para ilustrar os erros:

Num círculo com um raio de r = 1.000 km, o erro do comprimento do lado ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$ seria ≈ −3,8 mm.

Num círculo com um raio de r = 10 m, o erro da área A seria ≈ −1,3 mm².

Em 1849, foi publicada uma construção elegante e aparentemente simples de Jacob de Gelder (1765-1848) na revista Grünerts Archiv. Isto foi 64 anos antes da publicação da comparável Construção de S. A. Ramanujan no ano de 1913.^[66]

Baseia-se na aproximação^[66]

${\displaystyle \pi \approx {\frac {355}{113}}=3{,}141\;592{\color {red}\;9\;\ldots }}$

e na divisão do valor em duas parcelas

${\displaystyle 3+0{,}141\;592{\color {red}\;9\;\ldots }.}$

O valor desta fração tem já seis casas decimais em comum com a constante do círculo ${\displaystyle \pi }$. Vem do matemático chinês Zu Chongzhi do século V e por isso também é chamada de Fração de Zu Chongzhi.^[67]

Jacob de Gelder não construiu o lado do quadrado; era suficiente para ele encontrar o seguinte valor:

${\displaystyle {\overline {AH}}={\frac {4^{2}}{7^{2}+8^{2}}}=0{,}141\;592{\color {red}\;9\;\ldots }}$.

A figura ao lado – descrita abaixo – mostra a construção de Jacob de Gelder com a continuação.

Desenhar duas linhas centrais de um círculo perpendiculares entre si com raio CD = 1 e determinar os pontos de interseção A e B. Estabelecer o segmento CE = ${\displaystyle {\tfrac {7}{8}}}$ e ligar E a A. Determinar em AE e a partir de A o segmento AF = ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$. Desenhar FG paralelamente a CD e ligar E a G. Desenhar FH paralelamente a EG, logo é AH = ${\displaystyle {\tfrac {4^{2}}{7^{2}+8^{2}}}.}$ Determinar BJ = CB e de seguida JK = AH. Bissetar AK em L e desenhar o Círculo de Tales sobre L a partir de A, que resulta no ponto de interseção M. O segmento BM é a raiz de AK e, portanto, o comprimento do lado a do quadrado pretendido com quase a mesma área.

Exemplos para ilustrar os erros:

Num círculo com um raio de r = 100 km, o erro do comprimento do lado a seria ≈ 7,5 mm

Num círculo com um raio de r = 1 m, o erro da área A seria ≈ 0,3 mm²

Uma construção particularmente simples e bem compreensível vem de E. W. Hobson do ano de 1913. Esta necessita apenas de três semicírculos e de dois segmentos perpendiculares um ao outro para formar o lado do quadrado.^[68]

A figura ao lado mostra a construção com o círculo desenhado e o quadrado pretendido.

Especificações e descrição:

• Círculo com diâmetro ${\displaystyle AOB}$
• ${\displaystyle {\overline {OD}}={\frac {3}{5}}\cdot r,\;{\overline {OF}}={\frac {3}{2}}\cdot r,\;{\overline {OE}}={\frac {1}{2}}\cdot r.}$

Desenhar os semicírculos ${\displaystyle DGE,AHF}$ com ${\displaystyle {\overline {DE}}}$ e ${\displaystyle {\overline {AF}}}$ como diâmetro. Finalmente, erigir a perpendicular a ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ passando por ${\displaystyle O.}$ Os pontos de interseção resultantes ${\displaystyle G}$ e ${\displaystyle H}$ fornecem o comprimento do lado do quadrado procurado

${\displaystyle {\overline {GH}}=r\cdot 1{,}772\;4{\color {red}67\ldots }\;[LE].}$ e portanto ${\displaystyle {\pi }\approx 3{,}141\;{\color {red}63}\ldots }$

No caso de um círculo com o raio ${\displaystyle r=1\;[LE]}$, quatro casas decimais do comprimento do lado do quadrado coincidem com as de ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}=1{,}772\;453\ldots }$^[68]

Exemplo para ilustrar os erros:

Num círculo com o raio r = 100 m, o erro do comprimento do lado a seria ≈ 1,4 mm

Num círculo com o raio r = 1 m, o erro da área A seria ≈ 46 mm².

Também no ano de 1913, apareceu uma construção do matemático indiano Srinivasa Ramanujan,^[69] que se baseia de igual forma na aproximação

${\displaystyle \pi \approx {\frac {355}{113}}=3{,}141\;592{\color {red}\;9\;\ldots }}$.

Ramanujan referiu, a respeito da precisão do seu método, que, para uma área circular de 140 000 milhas quadradas, o lado construído do quadrado divergia do valor verdadeiro por apenas cerca de uma polegada.

Descrição (Tradução):^[69]

Seja PQR um círculo com o centro O, do qual PR é o diâmetro. Bissectar PO em H e T ser o ponto da trissecção de OR perto de R. Desenhar TQ perpendicular a PR e definir a corda RS = TQ.

Ligar P a S e desenhar OM e TN paralelos a RS. Definir uma corda PK = PM e desenhar a tangente PL = MN. Ligar R a L, R a K e K a L. Secção RC = RH. Desenhar CD paralelamente a KL, [CD] encontra-se com RL em D.

Então o quadrado sobre RD é aproximadamente igual ao círculo PQR.

Pois ${\displaystyle RS^{2}={\frac {5}{36}}d^{2},}$

onde ${\displaystyle d}$ é o diâmetro do círculo.

Então ${\displaystyle PS^{2}={\frac {31}{36}}d^{2}.}$

Mas ${\displaystyle PL}$ e ${\displaystyle PK}$ são iguais a ${\displaystyle MN}$ e ${\displaystyle PM.}$

Então ${\displaystyle PK^{2}={\frac {31}{144}}d^{2},}$ e ${\displaystyle PL^{2}={\frac {31}{324}}d^{2}.}$

Consequentemente ${\displaystyle RK^{2}=PR^{2}-PK^{2}={\frac {113}{144}}d^{2},}$

e ${\displaystyle RL^{2}=PR^{2}+PL^{2}={\frac {355}{324}}d^{2}.}$

Mas ${\displaystyle {\frac {RK}{RL}}={\frac {RC}{RD}}={\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {113}{355}}},}$

e ${\displaystyle RC={\frac {3}{4}}d.}$

Portanto ${\displaystyle RD={\frac {d}{2}}{\sqrt {\frac {355}{113}}}=r{\sqrt {\pi }},}$ quase igual.

Nota: Se a área do círculo for 140 000 milhas quadradas, então RD é maior que o comprimento verdadeiro por cerca de uma polegada.

Em um trabalho do ano seguinte (1914), Ramanujan forneceu, juntamente com outros métodos de aproximação, uma outra quadratura com régua e compasso. Esta assenta no valor de

${\displaystyle \pi \approx {\sqrt[{4}]{9^{2}+{\frac {19^{2}}{22}}}}=3{,}141\;592\;65{\color {red}2\;\ldots }}$,

o qual se aproxima de ${\displaystyle \pi }$ com a precisão de oito casas decimais.^[70] Nesta quadratura, Ramanujan não construiu o comprimento do lado do quadrado procurado; bastava-lhe representar o segmento OS. Na continuação adjacente da construção, o segmento OS é utilizado, em conjunto com o segmento OB, para representar a média proporcional (segmento vermelho OE).

Descrição (Tradução):^[71]

Seja AB (Fig. 2.) o diâmetro de um círculo, cujo centro é O. Bissectar o arco ACB em C e trissectar AO em T. Juntar B a C e marcar nele CM e MN do mesmo comprimento de AT. Ligar A a M e também A a N e neste último marcar AP do mesmo comprimento que AM. Desenhar PQ paralelamente a MN, e assim Q encontra-se com AM. Ligar O a Q e desenhar TR paralelamente a OQ, e assim R encontra-se com AQ. Desenhar AS perpendicular a AO e com o mesmo comprimento que AR, de seguida ligar O a S. Então a média proporcional entre OS e OB será muito próxima de um sexto da circunferência do círculo, onde o erro será inferior a um doze avos de uma polegada se o diâmetro tiver 8000 milhas de comprimento.

Continuação da construção até ao procurado comprimento de lado ${\displaystyle a}$ do quadrado:

Prolongar AB além de A e traçar o arco circular b₁ ao redor de O com raio OS, resultando em S'. Bissectar BS' em D e traçar o círculo de Tales b₂ sobre D. Desenhar uma linha reta a partir de O passando por C até ao círculo de Tales b₂, intersecionando b₂ em E. O segmento de linha OE é a média proporcional entre OS e OB descrita acima, também designada como média geométrica,^[72] resultante do teorema da altura de Euclides. Prolongar a linha EO além de O e transferir nela EO mais duas vezes, gerando F e A₁ e assim o comprimento da linha EA₁ com o valor aproximado acima descrito de ${\displaystyle \pi }$, a meia circunferência do círculo. Bissectar a linha EA₁ em G e traçar o círculo de Tales b₃ sobre G. Transferir a linha OB a partir de A₁ para a linha EA₁, originando H. Erguer uma perpendicular sobre EA₁ a partir de H até ao círculo de Tales b₃, resultando em B₁. Ligar A₁ a B₁, e deste modo está construído o comprimento pretendido ${\displaystyle a}$ do lado de um quadrado A₁B₁C₁D₁ com uma área quase idêntica.

Exemplos para ilustrar os erros:

Num círculo com um raio de r = 10 000 km o erro do comprimento do lado a seria ≈ −2,8 mm

Num círculo com um raio de r = 100 m o erro da área A seria ≈ −10 mm²

Eduard Gregori, um comerciante do sul do Tirol, desenhou pouco depois da Segunda Guerra Mundial uma construção de aproximação que é notável em termos de simplicidade, estética e precisão. Foi publicada pela primeira vez no ano de 1947 por Georg Innerebner na Der Schlern, uma revista mensal de estudos regionais do sul do Tirol.^[73] Em 2020, Heinrich Hemme descreveu e comprovou a construção na revista mensal Spektrum der Wissenschaft.^[74]

Descrição da construção:

Começa com um círculo com raio ${\displaystyle r}$ arbitrário em torno do centro ${\displaystyle M}$. Depois, desenha-se o Quadrado ${\displaystyle ABCD}$ de tal modo que os seus lados formem as Tangentes do círculo. Depois de desenhar as duas diagonais ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ e ${\displaystyle {\overline {BD}}}$, resulta no ponto de interseção ${\displaystyle E}$ junto ao vértice ${\displaystyle A}$. O arco circular a seguir em torno de ${\displaystyle A}$ com raio ${\displaystyle {\overline {AE}}}$ produz o ponto de interseção ${\displaystyle F}$ no lado do quadrado ${\displaystyle {\overline {AD}}}$. O processo continua com um pequeno arco circular em torno de ${\displaystyle F}$ com o raio ${\displaystyle {\overline {EM}}}$, o ponto de interseção ${\displaystyle G}$ situa-se no lado do quadrado ${\displaystyle {\overline {AB}}}$. Agora só é necessária a construção do ponto ${\displaystyle H}$ sobre ${\displaystyle {\overline {AB}}}$, cuja distância em relação ao vértice ${\displaystyle A}$ perfaz um quarto do segmento de linha ${\displaystyle {\overline {AG}}}$. A paralela final ao lado do quadrado ${\displaystyle {\overline {AD}}}$ a partir de ${\displaystyle H}$ para a diagonal ${\displaystyle BD}$ produz o lado ${\displaystyle {\overline {HK}}}$ do quadrado ${\displaystyle HBIK}$ que se procura.

${\displaystyle {\overline {HK}}=r\cdot 1{,}772\;45{\color {red}5\ldots }\;[LE].}$

No caso de um círculo com o raio de ${\displaystyle r=1\;[LE]}$, cinco casas decimais do comprimento do lado do quadrado igualam as do ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}\approx 1{,}772\;453\ldots }$ e logo ${\displaystyle {\pi }\approx (2-0.25{\sqrt {2{\sqrt {2}}-2}})^{2}=3{,}141\;59{\color {red}6}\ldots }$

Exemplos para ilustrar os erros:

Num círculo com um raio de r = 1 km o erro do comprimento do lado a seria ≈ 1,2 mm

Num círculo com um raio de r = 1 m o erro da área A seria ≈ 4,3 mm².

Um método simples foi publicado por Louis Loynes em 1961.^[75] Baseia-se no facto de a área do círculo circunscrito de um triângulo retângulo ser igual ao quadrado do cateto maior, desde que a Tangente do ângulo mais pequeno, ou seja, a relação entre o cateto mais pequeno e o maior, perfaz:

${\displaystyle {\sqrt {{\frac {4}{\pi }}-1}}=0{,}5227232\dots }$

um valor que está muito próximo da fração

${\displaystyle {\frac {23}{44}}=0{,}5227272\dots }$.

Isto resulta numa simples aproximação utilizando o triângulo retângulo (construtível) com o rácio do cateto 23:44 para a quadratura. O valor aproximado para a constante do círculo de

${\displaystyle \pi \approx {\frac {7744}{2465}}=3{,}141\;5{\color {red}82\;\ldots }}$

é ligeiramente melhor do que a construção de Kochański.

Exemplos para ilustrar os erros:

Num círculo com um raio de r = 1 km o erro do comprimento do lado a seria ≈ −3 mm.

Num círculo com um raio de r = 1 m o erro da área A seria ≈ −11 mm².

Se uma fração, cujo valor corresponda aproximadamente à constante do círculo ${\displaystyle \pi }$, for construída sobre um feixe com a ajuda do Teorema de Tales, é possível com um esforço de construção maior ou menor, representar qualquer número desejado de casas decimais de ${\displaystyle \pi }$. Por exemplo, a fração

${\displaystyle {\frac {245850922}{78256779}}=3{,}141\;592\;653\;589\;793{\color {red}\;160\;\ldots }}$

pode ser utilizada para determinar o comprimento do lado do quadrado. Como um valor de aproximação para o número circular ${\displaystyle \pi }$, isto produz uma quantidade substancial de quinze casas decimais iguais. A fração recíproca desta fração é da autoria de Johann Heinrich Lambert, que publicou este e outros valores já em 1770 no seu livro Beyträge zum Gebrauche der Mathematik und deren Anwendung.^[76]

A Figura 1 mostra a quadratura do círculo unitário usando a quadratriz de Hípias, cujo gráfico passa por ${\displaystyle E,\;{\tfrac {2}{\pi }}}$ e ${\displaystyle D}$.^[78]

Após a construção da constante do círculo ${\displaystyle \pi }$ com a quadratriz de Hípias como ferramenta adicional, o prolongamento do segmento ${\displaystyle {\overline {BH}}}$ – segundo o círculo de Tales – resulta na raiz de ${\displaystyle {\overline {A\pi }}}$ igual a ${\displaystyle {\overline {AI}}={\sqrt {\pi }}.}$ O quadrado desenhado com o comprimento do lado ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$ tem exatamente a mesma área que o círculo em torno de ${\displaystyle A.}$

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  Figura 1 Quadratura do círculo com a quadratriz de Hípias como auxílio adicional
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  Figura 2 Quadratura do círculo com a espiral de Arquimedes como auxílio adicional

Na Figura 2 é mostrada a quadratura do círculo unitário usando a espiral de Arquimedes. A sua distância de enrolamento (com ${\displaystyle a=2}$) é de ${\displaystyle a\cdot {\tfrac {\pi }{2}}}$. O gráfico da espiral interseta o eixo ${\displaystyle y}$ em ${\displaystyle B}$ e fornece assim a constante do círculo como o segmento ${\displaystyle {\overline {OB}}.}$^[79]

Agora só é necessário projetar a constante do círculo ${\displaystyle \pi }$ no eixo ${\displaystyle x}$ e fazer a construção da raiz ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}.}$ O quadrado desenhado por último com o comprimento do lado ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$ tem exatamente a mesma área que o círculo em torno de ${\displaystyle O.}$

A Figura 3 mostra a quadratura do círculo unitário com a ajuda do gráfico da função ${\displaystyle f(x)=\sin(x)}$, vulgarmente conhecida como "curva senoidal".^[80] A curva senoidal passa pelo centro ${\displaystyle A}$ do círculo unitário e interseta o eixo ${\displaystyle x}$ em ${\displaystyle \pi }$.

O comprimento do lado ${\displaystyle a={\sqrt {\pi }}}$ do quadrado procurado, cuja área é igual à do círculo unitário, é obtido de forma elementar por meio do círculo de Tales sobre ${\displaystyle {\overline {A\pi }}}$ e da perpendicular erguida a ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ em ${\displaystyle B}$ com o ponto de interseção ${\displaystyle D}$ no círculo de Tales. A bissecção de ${\displaystyle {\overline {AD}}}$ em ${\displaystyle E}$ fornece, com ${\displaystyle {\overline {AE}}={\tfrac {\sqrt {\pi }}{2}}={\tfrac {a}{2}}}$, o raio do círculo inscrito do quadrado procurado ${\displaystyle JKLM}$.

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  Figura 3 Quadratura do círculo usando a curva senoidal como auxílio adicional

Alfred Tarski propôs em 1925 a tarefa de dividir um círculo num número arbitrário de partes e depois deslocá-las apenas através de movimentos rígidos (ou seja, sem ampliação ou redução) de modo a que se forme um quadrado.^[81]

Miklós Laczkovich publicou uma solução em 1990: Ele provou que é possível dividir um círculo num número finito de partes e deslocá-las apenas por meio de movimentos rígidos para formar um quadrado.^[82] Ele dividiu o círculo em 10⁵⁰ pedaços. Para a prova, no entanto, ele necessita do Axioma da escolha, que, embora seja aceite pela maioria dos cientistas hoje em dia, não é por si só evidente. A prova assemelha-se fortemente ao Paradoxo de Banach-Tarski.

Embora Laczkovich tenha provado que (assumindo o axioma da escolha) tal decomposição existe, esta decomposição não pode ser especificada de forma explícita.^[81]

Ver artigo principal: Lemniscata de Bernoulli

Ao contrário do círculo, é possível construir, para uma Lemniscata (∞), dois quadrados que englobam a mesma área. Os seus comprimentos de lado correspondem ao maior raio da lemniscata a.^[83]

Embora a quadratura de um círculo completo não seja possível, existem, além das já mencionadas lúnulas de Hipócrates, outras áreas delimitadas por arcos circulares que podem perfeitamente ser quadradas. As figuras mostram a área da secção longitudinal de um corpo em forma de vaso com a respetiva quadratura e ilustram a construção. A parte inferior da figura do vaso é contornada por três quartos de círculo e a parte superior por três quadrantes de círculo.

Todos os arcos circulares são, sem restrição de generalidade, parte de um Círculo unitário.^[84]

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  A figura em forma de vaso e o quadrado têm a mesma área.
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  Construção