Mapa (matemática)

Na matemática, um mapa, mapeamento ou aplicação é uma função em seu sentido geral.^[1] Esses termos podem ter se originado do processo de fazer um mapa geográfico: mapear a superfície da Terra para uma folha de papel.^[2]

O termo aplicação ou mapa pode ser usado para distinguir alguns tipos especiais de funções, como os homomorfismos. Por exemplo, uma transformação linear (ou aplicação linear) é um homomorfismo de espaços vetoriais, enquanto o termo função linear pode ter esse significado ou pode significar um polinômio linear.^[3][4] Na teoria das categorias, um mapa pode referir-se a um morfismo.^[2] O termo transformação pode ser usado de forma intercambiável,^[2] mas transformação geralmente se refere a uma função de um conjunto para si mesmo. Existem também alguns usos menos comuns na lógica e na teoria dos grafos.

Ver artigo principal: Função (matemática)

Em muitos ramos da matemática, o termo mapa ou aplicação é usado para significar uma função,^[5][6][7] às vezes com uma propriedade específica de particular importância para aquele ramo. Por exemplo, uma "aplicação" é uma "função contínua" na topologia, uma "transformação linear" na álgebra linear, etc.

Alguns autores, como Serge Lang,^[8] usam "função" apenas para se referir a aplicações nas quais o contradomínio é um conjunto de números (ou seja, um subconjunto dos reais R ou dos complexos C), e reservam o termo aplicação ou mapeamento para funções mais gerais.

Aplicações de certos tipos receberam nomes específicos. Estes incluem homomorfismos na álgebra, isometrias na geometria, operadores na análise e representações na teoria dos grupos.^[2]

Na teoria dos sistemas dinâmicos, um mapa denota uma função de evolução usada para criar sistemas dinâmicos discretos.

Um mapa parcial é uma função parcial. Terminologias relacionadas, como domínio, contradomínio, injetiva e contínua, podem ser aplicadas igualmente a mapas e funções, com o mesmo significado. Todos esses usos podem ser aplicados a "mapas" como funções gerais ou como funções com propriedades especiais.

Ver artigo principal: Morfismo

Na teoria das categorias, "mapa" é frequentemente usado como sinônimo de "morfismo" ou "seta", que é uma função que respeita a estrutura e, portanto, pode implicar mais estrutura do que uma simples "função".^[9] Por exemplo, um morfismo ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ em uma categoria concreta (isto é, um morfismo que pode ser visto como uma função) carrega consigo a informação de seu domínio (a origem ${\displaystyle X}$ do morfismo) e de seu contradomínio (o destino ${\displaystyle Y}$). Na definição amplamente utilizada de uma função ${\displaystyle f\colon X\to Y}$, ${\displaystyle f}$ é um subconjunto de ${\displaystyle X\times Y}$ consistindo de todos os pares ${\displaystyle {\big (}x,f(x){\big )}}$ para ${\displaystyle x\in X}$. Neste sentido, a função não captura o conjunto ${\displaystyle Y}$ que é usado como o contradomínio; apenas a imagem ${\displaystyle f(X)}$ é determinada pela função.

• Aplicação de função
• Notação de seta – ex., ${\displaystyle x\mapsto x+1}$, também conhecido como mapa
• Bijeção, injeção e sobrejeção
• Homeomorfismo
• Lista de mapas caóticos
• Seta de mapeamento (↦) – comumente pronunciada como "mapeia em" ou "leva a"
• Grupo de classes de mapeamento
• Grupo de permutações
• Aplicação regular (geometria algébrica)