Lei dos senos
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Em trigonometria, a lei dos senos é uma relação matemática de proporção sobre a medida de triângulos arbitrários em um plano. Em um triângulo qualquer, inscrito em uma circunferência de raio , de lados , e , que medem respectivamente , e , com ângulos internos , e vale a seguinte relação:
Demonstração
Para demonstrar a lei dos senos, tomamos um triângulo ABC qualquer inscrito em uma circunferência de raio r. A partir do ponto B pode-se encontrar um ponto diametralmente oposto D, e, ligando D a C, formamos um novo triângulo BCD retângulo em C.
Da figura, pelo teorema do ângulo inscrito podemos chegar à conclusão que , porque determinam na circunferência uma mesma corda . Desta forma, podemos relacionar:
Fazendo todo este mesmo processo para os ângulos e teremos as relações:
- e
em que b é a medida do lado AC, oposto a , c é a medida do lado AB, oposto a , e 2r é uma constante.
Logo, podemos concluir que:
Outro modo de demonstrar é usando geometria analítica com vetores:
Definimos um triângulo formado pela soma e o resultante e os ângulos , e correspondendo respectivamente aos vetores e , e , e . Sabendo que o dobro da área, representada por , do triângulo formado entre os vetores e é calculada com o módulo do produto vetorial entre eles e que:
Sendo o ângulo entre os vetores e , dessa forma temos o seguinte desenvolvimento:
Que pode ser representado como a lei dos senos que conhecemos:
Pois é uma relação possível de se inverter.
Trigonometria esférica
Ver artigo principal: Trigonometria esférica
Em um triângulo esférico existe uma lei muito parecida:
A lei dos senos na trigonometria plana é o caso limite desta lei; o triângulo plano é o limite de um triângulo esférico quando os lados tendem a zero, e, no limite, .
História
Uma proposição equivalente à lei dos senos foi desenvolvida no século II pelo astrônomo Ptolemeu e foi utilizada em seu tratado Almagesto. A proposição dizia que os comprimentos dos lados do triângulo eram proporcionais às cordas do dobro dos ângulos.[2]:7
Argumentos que relacionam a lei dos senos com trabalhos de astronomia e de trigonometria aparecem no século XVII através dos estudos do matemático hindu Brahmagupta. Na obra Brāhmasphuṭasiddhānta, o matemático expressa o raio da circunferência circunscrita do triângulo como o produto de dois lados divididos pela altura. A lei dos senos pode ser obtida ao expressar alternadamente as alturas como o seno de uma ou de outro ângulo da base vezes o lado oposto, depois, igualar os dois resultados obtidos.[3]:46[4]:299-300 Uma equação ainda mais próxima a lei dos senos moderna surgiu na obra de Brahmagupta Khandakhadyaka, buscando expressar a distância entre aTerra e um planeta percorrendo seu epiciclo. Contudo, Brahmagupta nunca estudou a fórmula de maneira independente como conteúdo nem a utilizou de forma sistemática para resolver problemas de triângulos.[5]:109-111[6]
A lei dos senos esférica é, por vezes, creditada aos estudiosos do século X Abu-Mahmud Khujandi ou a Abu al-Wafa' Buzjani, apesar de também serem oferecidos reconhecimentos às contribuições de Abu Nasr Mansur por Treatise on the Determination of Spherical Arcs, principalmente pelo seu estudante Albiruni em seu trabalho Keys to Astronomy.[7]:137-157[8]:183-185 No livro do século XI de Ibne Muade Aljaiani Book of Unknown Arcs of a Sphere também contém a lei dos senos para trigonometria esférica.[9]
O matemático persa do século XIII Naceradim de Tus documentou e provou a lei dos senos.[10] Ao elaborar tal relação, de Tus passou a se tornar capaz de solucionar triângulos que conhecia dois lados, incluindo o ângulo; ele dividia a figura em triângulos retângulos que era capaz de solucionar.[11]
De acordo com o historiador da matemática canadense Glen Van Brummelen, a lei dos senos seria a base para muitos estudos de Regiomontanus.[12]
Ver também
Referências
- 1 2 Tavares, João Nuno; Geraldo, Ângela (30 de março de 2014). «Lei dos senos». Revista de Ciência Elementar (em inglês) (1). ISSN 2183-1270. doi:10.24927/rce2014.113. Consultado em 5 de maio de 2025
- ↑ Ptolemy; Toomer (1984). Ptolemy's Almagest Toomer. [S.l.: s.n.] Consultado em 13 de março de 2026
- ↑ Winter, Henry James Jacques (1952). Eastern science; an outline of its scope and contribution. Internet Archive. [S.l.]: London, J. Murray. Consultado em 13 de março de 2026
- ↑ Brahmagupta, 7th cent; Bhaskaracarya, b 1114; Colebrooke, H. T. (Henry Thomas) (1817). Algebra, with Arithmetic and mensuration, from the Sanscrit of Brahmegupta and Bháscara. Translated by Henry Thomas Colebrooke. Gerstein - University of Toronto. [S.l.]: London J. Murray. Consultado em 13 de março de 2026
- ↑ Van Brummelen, Glen (2009). The mathematics of the heavens and the earth: the early history of trigonometry. Princeton ; Oxford: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-12973-0
- ↑ Prabodh Chandra Sengupta, M. A. (1934). The Khandakhadyaka an astronomical treatise of Brahmagupta. [S.l.: s.n.] Consultado em 13 de março de 2026
- ↑ Selin, Helaine, ed. (2001). Mathematics across cultures: the history of non-Western mathematics. Col: Science across cultures. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN 978-1-4020-0260-1
- ↑ Van Brummelen, Glen (2009). The mathematics of the heavens and the earth: the early history of trigonometry. Princeton ; Oxford: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-12973-0
- ↑ «al-Jayyani - Biography». Maths History (em inglês). Consultado em 13 de março de 2026
- ↑ «Nasir al-Din al-Tusi - Biography». Maths History (em inglês). Consultado em 13 de março de 2026
- ↑ Katz, Victor J. (2018). A history of mathematics: an introduction. Col: Pearson modern classic Third edition ed. New York, NY: Pearson. ISBN 978-0-13-468952-4
- ↑ Van Brummelen, Glen (2009). The mathematics of the heavens and the earth: the early history of trigonometry. Princeton (N.J.): Princeton University press. ISBN 978-0-691-12973-0
