Espaço vectorial gerado

Seja ${\displaystyle V}$ um espaço vetorial sobre um corpo ${\displaystyle F,}$ e seja ${\displaystyle S}$ um subconjunto de ${\displaystyle V.}$ Define-se o espaço gerado por ${\displaystyle S}$ como sendo a interseção ${\displaystyle [S]}$ de todos os subespaços de ${\displaystyle V}$ que contém ${\displaystyle S.}$^[1] Neste caso, diz-se que ${\displaystyle S}$ gera ${\displaystyle [S]}$ ou ainda, que ${\displaystyle S}$ é um conjunto gerador de ${\displaystyle [S]}$.

Alternativamente, o espaço gerado por ${\displaystyle S}$ pode ser definido como sendo o conjunto de todas as combinações lineares (finitas) de elementos de ${\displaystyle S,}$^[2] isto é,

$${\displaystyle [S]=\left\{{\left.\sum _{i=1}^{k}a_{i}v_{i}\right|k\in \mathbb {N} ,v_{i}\in S,a_{i}\in F}\right\}.}$$

Segue da definição que S é, de fato, um subespaço vetorial de V.^[1]

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