Álgebra de Lie semissimples

Teoria de grupos → Grupos de Lie Grupos de Lie
Grupos clássicos Linear geral GL(n) Linear especial SL(n) Ortogonal O(n) Ortogonal especial SO(n) Unitário U(n) Especial unitário SU(n) Simplético Sp(n)
Grupos simples de Lie Lista de grupos simples de Lie Clássicos An Bn Cn Dn Excepcionais G2 F4 E6 E7 E8
Outros grupos de Lie Circular Lorentz Poincaré Grupo conformal Difeomorfismo Euclidiano
Álgebras de Lie Mapa exponencial Representação adjunta (grupo álgebra) Forma de Killing Índice Simetria de ponto de Lie Álgebra simples de Lie
Álgebra de Lie semissimples Diagramas de Dynkin Subálgebra de Cartan Sistema de raízes Grupo de Weyl Forma real Complexificação Álgebra segmentada de Lie Álgebra compacta de Lie
Espaços homogêneos Subgrupo fechado Subgrupo parabólico Espaço simétrico Espaço simétrico hermitiano Sistema de raízes restrito root system
Teoria de representação Representação de grupos de Lie Representação de álgebras de Lie
Grupos de Lie na física Física de partículas e teoria de representação Representações do grupo de Lorentz Representações do grupo de Poincaré Representações do grupo Galileano
Cientistas Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Killing Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Tabela de grupos de Lie

Na matemática, uma álgebra de Lie é semissimples se for uma soma direta de álgebras de Lie simples. (Uma álgebra de Lie simples é uma álgebra de Lie não abeliana sem nenhum ideal próprio não nulo.)

Ao longo do artigo, a menos que seja indicado o contrário, uma álgebra de Lie é uma álgebra de Lie de dimensão finita sobre um corpo de característica 0. Para tal álgebra de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, se não for nula, as seguintes condições são equivalentes:

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ é semissimples;
• a Forma de Killing ${\displaystyle \kappa (x,y)=\operatorname {tr} (\operatorname {ad} (x)\operatorname {ad} (y))}$ é não degenerada;
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ não possui ideais abelianos não nulos;
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ não possui ideais solúveis não nulos;
• o radical (ideal solúvel máximo) de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ é zero.

A importância da semissimplicidade vem primeiramente da Decomposição de Levi, que afirma que toda álgebra de Lie de dimensão finita é o produto semidireto de um ideal solúvel (seu radical) e uma álgebra semissimples. Em particular, não existe nenhuma álgebra de Lie não nula que seja simultaneamente solúvel e semissimples.

As álgebras de Lie semissimples possuem uma classificação muito elegante, em forte contraste com as álgebras de Lie solúveis. As álgebras de Lie semissimples sobre um corpo algebricamente fechado de característica zero são completamente classificadas pelo seu sistema de raízes, que por sua vez são classificados pelos diagramas de Dynkin. As álgebras semissimples sobre corpos não algebricamente fechados podem ser compreendidas em termos daquelas sobre o fecho algébrico, embora a classificação seja um pouco mais intrincada; veja forma real para o caso de álgebras de Lie semissimples reais, que foram classificadas por Élie Cartan.

Além disso, a teoria de representação de álgebras de Lie semissimples é muito mais limpa do que para álgebras de Lie em geral. Por exemplo, a decomposição de Jordan em uma álgebra de Lie semissimples coincide com a decomposição de Jordan na sua representação; este não é o caso para álgebras de Lie em geral.

Se ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ é semissimples, então ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$. Em particular, toda álgebra de Lie linear semissimples é uma subálgebra de ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}}$, a álgebra de Lie linear especial. O estudo da estrutura de ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}}$ constitui uma parte importante da teoria de representação para álgebras de Lie semissimples.

As álgebras de Lie semissimples sobre os números complexos foram classificadas pela primeira vez por Wilhelm Killing (1888–90), embora sua demonstração carecesse de rigor. Sua prova foi tornada rigorosa por Élie Cartan (1894) em sua tese de doutorado, que também classificou as álgebras de Lie semissimples reais. Isso foi posteriormente refinado, e a presente classificação por diagramas de Dynkin foi dada pelo então jovem de 22 anos Eugene Dynkin em 1947. Algumas pequenas modificações foram feitas (notavelmente por J. P. Serre), mas a demonstração permanece inalterada em seus aspectos essenciais e pode ser encontrada em qualquer referência padrão, como (Humphreys 1972).

• Todo ideal, quociente e produto de álgebras de Lie semissimples é novamente semissimples.^[1]
• O centro de uma álgebra de Lie semissimples ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ é trivial (já que o centro é um ideal abeliano). Em outras palavras, a representação adjunta ${\displaystyle \operatorname {ad} }$ é injetiva. Além disso, a imagem acaba sendo^[2] o conjunto ${\displaystyle \operatorname {Der} ({\mathfrak {g}})}$ de derivações em ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Portanto, ${\displaystyle \operatorname {ad}$ :{\mathfrak {g}}{\overset {\sim }{\to }}\operatorname {Der} ({\mathfrak {g}})} é um isomorfismo.^[3] (Este é um caso especial do lema de Whitehead.)
• Como a representação adjunta é injetiva, uma álgebra de Lie semissimples é uma álgebra de Lie linear sob a representação adjunta. Isso pode levar a alguma ambiguidade, já que toda álgebra de Lie já é linear em relação a algum outro espaço vetorial (Teorema de Ado), embora não necessariamente via a representação adjunta. Mas na prática, tal ambiguidade raramente ocorre.
• Se ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ é uma álgebra de Lie semissimples, então ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$ (porque ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$ é semissimples e abeliana).^[4]
• Uma álgebra de Lie de dimensão finita ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ sobre um corpo k de característica zero é semissimples se, e somente se, a extensão de base ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes _{k}F}$ for semissimples para cada extensão de corpo ${\displaystyle F\supset k}$.^[5] Assim, por exemplo, uma álgebra de Lie real de dimensão finita é semissimples se, e somente se, a sua complexificação for semissimples.

Cada endomorfismo x de um espaço vetorial de dimensão finita sobre um corpo de característica zero pode ser decomposto unicamente em uma parte semissimples (ou seja, diagonalizável sobre o fecho algébrico) e uma parte nilpotente

${\displaystyle x=s+n\ }$

tais que s e n comutam entre si. Além disso, cada um de s e n é um polinômio em x. Esta é a decomposição de Jordan de x.

O acima se aplica à representação adjunta ${\displaystyle \operatorname {ad} }$ de uma álgebra de Lie semissimples ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Um elemento x de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ é dito ser semissimples (resp. nilpotente) se ${\displaystyle \operatorname {ad} (x)}$ for um operador semissimples (resp. nilpotente).^[6] Se ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$, então a decomposição abstrata de Jordan afirma que x pode ser escrito unicamente como:

${\displaystyle x=s+n}$

onde ${\displaystyle s}$ é semissimples, ${\displaystyle n}$ é nilpotente e ${\displaystyle [s,n]=0}$.^[7] Além disso, se ${\displaystyle y\in {\mathfrak {g}}}$ comuta com x, então ele também comuta tanto com ${\displaystyle s}$ quanto com ${\displaystyle n}$.

A decomposição abstrata de Jordan fatora através de qualquer representação de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ no sentido de que dada qualquer representação ρ,

${\displaystyle \rho (x)=\rho (s)+\rho (n)\,}$

é a decomposição de Jordan de ρ(x) na álgebra de endomorfismos do espaço de representação.^[8] (Isso é provado como consequência do teorema da redutibilidade completa de Weyl; veja Teorema da redutibilidade completa de Weyl#Aplicação: preservação da decomposição de Jordan.)

Seja ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ uma álgebra de Lie semissimples (de dimensão finita) sobre um corpo algebricamente fechado de característica zero. A estrutura de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ pode ser descrita por uma ação adjunta de uma certa subálgebra distinta sobre ela, uma Subálgebra de Cartan. Por definição,^[9] uma Subálgebra de Cartan (também chamada de subálgebra toral máxima) ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ é uma subálgebra máxima tal que, para cada ${\displaystyle h\in {\mathfrak {h}}}$, ${\displaystyle \operatorname {ad} (h)}$ é diagonalizável. Como se verifica, ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ é abeliana e assim todos os operadores em ${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {h}})}$ são simultaneamente diagonalizáveis. Para cada funcional linear ${\displaystyle \alpha }$ de ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$, seja

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }=\{x\in {\mathfrak {g}}|\operatorname {ad} (h)x:=[h,x]=\alpha (h)x\,{\text{ para todo }}h\in {\mathfrak {h}}\}}$.

(Note que ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$ é o centralizador de ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$.) Então

Predefinição:Math theorem (O item mais difícil de demonstrar é ${\displaystyle \dim {\mathfrak {g}}_{\alpha }=1}$. As provas padrão todas usam alguns fatos da teoria de representação de ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$; ex., Serre usa o fato de que um ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$-módulo com um elemento primitivo de peso negativo tem dimensão infinita, contradizendo ${\displaystyle \dim {\mathfrak {g}}<\infty }$.)

Sejam ${\displaystyle h_{\alpha }\in {\mathfrak {h}},e_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{\alpha },f_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{-\alpha }}$ com as relações de comutação ${\displaystyle [e_{\alpha },f_{\alpha }]=h_{\alpha },[h_{\alpha },e_{\alpha }]=2e_{\alpha },[h_{\alpha },f_{\alpha }]=-2f_{\alpha }}$; ou seja, os ${\displaystyle h_{\alpha },e_{\alpha },f_{\alpha }}$ correspondem à base padrão de ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$.

Os funcionais lineares em ${\displaystyle \Phi }$ são chamados de raízes de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ relativas a ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$. As raízes geram o espaço ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$ (pois se ${\displaystyle \alpha (h)=0,\alpha \in \Phi }$, então ${\displaystyle \operatorname {ad} (h)}$ é o operador nulo; ou seja, ${\displaystyle h}$ está no centro, que é zero). Além disso, a partir da teoria de representação de ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$, deduzem-se as seguintes propriedades de simetria e integralidade de ${\displaystyle \Phi }$: para cada ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi }$,

Note que ${\displaystyle s_{\alpha }}$ tem as propriedades (1) ${\displaystyle s_{\alpha }(\alpha )=-\alpha }$ e (2) o conjunto de pontos fixos é ${\displaystyle \{\gamma \in {\mathfrak {h}}^{*}|\gamma (h_{\alpha })=0\}}$, o que significa que ${\displaystyle s_{\alpha }}$ é a reflexão em relação ao hiperplano correspondente a ${\displaystyle \alpha }$. O acima então diz que ${\displaystyle \Phi }$ é um sistema de raízes.

Segue-se da teoria geral de um sistema de raízes que ${\displaystyle \Phi }$ contém uma base ${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{l}}$ de ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$ tal que cada raiz é uma combinação linear de ${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{l}}$ com coeficientes inteiros do mesmo sinal; as raízes ${\displaystyle \alpha _{i}}$ são chamadas de raízes simples. Seja ${\displaystyle e_{i}=e_{\alpha _{i}}}$, etc. Então os ${\displaystyle 3l}$ elementos ${\displaystyle e_{i},f_{i},h_{i}}$ (chamados geradores de Chevalley) geram ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ como uma álgebra de Lie. Além disso, eles satisfazem as relações (chamadas relações de Serre): com ${\displaystyle a_{ij}=\alpha _{j}(h_{i})}$,

${\displaystyle [h_{i},h_{j}]=0,}$

${\displaystyle [e_{i},f_{i}]=h_{i},[e_{i},f_{j}]=0,i\neq j,}$

${\displaystyle [h_{i},e_{j}]=a_{ij}e_{j},[h_{i},f_{j}]=-a_{ij}f_{j},}$

${\displaystyle \operatorname {ad} (e_{i})^{-a_{ij}+1}(e_{j})=\operatorname {ad} (f_{i})^{-a_{ij}+1}(f_{j})=0,i\neq j}$.

O inverso disso também é verdadeiro: ou seja, a álgebra de Lie gerada pelos geradores e pelas relações como a acima é uma álgebra de Lie semissimples (de dimensão finita) que possui a decomposição de espaços de raízes como acima (desde que ${\displaystyle [a_{ij}]_{1\leq i,j\leq l}}$ seja uma Matriz de Cartan). Este é um teorema de Serre. Em particular, duas álgebras de Lie semissimples são isomorfas se tiverem o mesmo sistema de raízes.

A implicação da natureza axiomática de um sistema de raízes e do teorema de Serre é que se pode enumerar todos os sistemas de raízes possíveis; portanto, "todas as possíveis" álgebras de Lie semissimples (de dimensão finita sobre um corpo algebricamente fechado de característica zero).

O grupo de Weyl é o grupo de transformações lineares de ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}\simeq {\mathfrak {h}}}$ gerado pelos ${\displaystyle s_{\alpha }}$'s. O grupo de Weyl é uma simetria importante do problema; por exemplo, os pesos de qualquer representação de dimensão finita de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ são invariantes sob o grupo de Weyl.^[10]

Para ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C} )}$ e a subálgebra de Cartan ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ das matrizes diagonais, defina ${\displaystyle \lambda _{i}\in {\mathfrak {h}}^{*}}$ por

${\displaystyle \lambda _{i}(d(a_{1},\ldots ,a_{n}))=a_{i}}$,

onde ${\displaystyle d(a_{1},\ldots ,a_{n})}$ denota a matriz diagonal com ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ na diagonal. Então a decomposição é dada por

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \left(\bigoplus _{i\neq j}{\mathfrak {g}}_{\lambda _{i}-\lambda _{j}}\right)}$

onde

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda _{i}-\lambda _{j}}=\operatorname {Span} _{\mathbb {C} }(e_{ij})}$

para o vetor ${\displaystyle e_{ij}}$ em ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C} )}$ com a base canônica (de matrizes), significando que ${\displaystyle e_{ij}}$ representa o vetor da base na ${\displaystyle i}$-ésima linha e ${\displaystyle j}$-ésima coluna. Esta decomposição de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ tem um sistema de raízes associado:

${\displaystyle \Phi =\{\lambda _{i}-\lambda _{j}:i\neq j\}}$

Como notado em #Estrutura, as álgebras de Lie semissimples sobre ${\displaystyle \mathbb {C} }$ (ou mais geralmente um corpo algebricamente fechado de característica zero) são classificadas pelo sistema de raízes associado às suas subálgebras de Cartan, e os sistemas de raízes, por sua vez, são classificados pelos seus diagramas de Dynkin. Exemplos de álgebras de Lie semissimples, as álgebras de Lie clássicas, com notação vinda dos seus diagramas de Dynkin, são:

• ${\displaystyle A_{n}:}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n+1}}$, a álgebra de Lie linear especial.
• ${\displaystyle B_{n}:}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n+1}}$, a álgebra de Lie ortogonal especial de dimensão ímpar.
• ${\displaystyle C_{n}:}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{2n}}$, a álgebra de Lie simplética.
• ${\displaystyle D_{n}:}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n}}$, a álgebra de Lie ortogonal especial de dimensão par (${\displaystyle n>1}$).

A restrição ${\displaystyle n>1}$ na família ${\displaystyle D_{n}}$ é necessária porque ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2}}$ é unidimensional e comutativa e, portanto, não é semissimples.

Estas álgebras de Lie são numeradas de forma que n é o posto. Quase todas essas álgebras de Lie semissimples são na verdade simples e os membros dessas famílias são quase todos distintos, exceto por algumas colisões em posto pequeno. Por exemplo, ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{4}\cong {\mathfrak {so}}_{3}\oplus {\mathfrak {so}}_{3}}$ e ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{2}\cong {\mathfrak {so}}_{5}}$. Essas quatro famílias, juntamente com cinco exceções (E₆, E₇, E₈, F₄ e G₂), são de fato as únicas álgebras de Lie simples sobre os números complexos.

Toda álgebra de Lie semissimples sobre um corpo algebricamente fechado de característica 0 é uma soma direta de álgebras de Lie simples (por definição), e as álgebras de Lie simples de dimensão finita enquadram-se em quatro famílias – A_n, B_n, C_n e D_n – com cinco exceções E₆, E₇, E₈, F₄ e G₂. As álgebras de Lie simples são classificadas pelos diagramas de Dynkin conexos, mostrados à direita, enquanto as álgebras de Lie semissimples correspondem a diagramas de Dynkin não necessariamente conexos, onde cada componente do diagrama corresponde a um termo na decomposição da álgebra de Lie semissimples em álgebras de Lie simples.

A classificação prossegue considerando uma Subálgebra de Cartan (veja abaixo) e sua ação adjunta sobre a álgebra de Lie. O sistema de raízes da ação então tanto determina a álgebra de Lie original quanto deve possuir uma forma muito restrita, que pode ser classificada pelos diagramas de Dynkin. Veja a seção abaixo que descreve as subálgebras de Cartan e os sistemas de raízes para mais detalhes.

A classificação é amplamente considerada como um dos resultados mais elegantes na matemática – uma breve lista de axiomas rende, por meio de uma demonstração relativamente curta, uma classificação completa mas não trivial com estrutura surpreendente. Isso deve ser comparado à classificação dos grupos simples finitos, que é significativamente mais complicada.

A enumeração das quatro famílias é não redundante e consiste apenas de álgebras simples se ${\displaystyle n\geq 1}$ para A_n, ${\displaystyle n\geq 2}$ para B_n, ${\displaystyle n\geq 3}$ para C_n, e ${\displaystyle n\geq 4}$ para D_n. Se a numeração iniciar de baixo, a enumeração é redundante, e há isomorfismos excepcionais entre álgebras de Lie simples, que são refletidos em isomorfismos de diagramas de Dynkin; os E_n também podem ser estendidos para baixo, mas abaixo de E₆ são isomorfos a outras álgebras não excepcionais.

Sobre um corpo não algebricamente fechado, a classificação é mais complicada – classifica-se as álgebras de Lie simples sobre o fecho algébrico e, em seguida, para cada uma destas, classificam-se as álgebras de Lie simples sobre o corpo original que possuem essa forma (sobre o fecho). Por exemplo, para classificar as álgebras de Lie reais simples, classifica-se as álgebras de Lie reais com uma dada complexificação, que são conhecidas como formas reais da álgebra de Lie complexa; isso pode ser feito usando diagramas de Satake, que são diagramas de Dynkin com dados adicionais ("decorações").^[11]

Seja ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ uma álgebra de Lie semissimples (de dimensão finita) sobre um corpo algebricamente fechado de característica zero. Então, como em #Estrutura, ${\textstyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$ onde ${\displaystyle \Phi }$ é o sistema de raízes. Escolha as raízes simples em ${\displaystyle \Phi }$; uma raiz ${\displaystyle \alpha }$ de ${\displaystyle \Phi }$ é então chamada de positiva e é denotada por ${\displaystyle \alpha >0}$ se for uma combinação linear das raízes simples com coeficientes inteiros não negativos. Seja ${\textstyle {\mathfrak {b}}={\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\alpha >0}{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$, que é uma subálgebra solúvel máxima de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, a Subálgebra de Borel.

Seja V um ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-módulo simples (possivelmente de dimensão infinita). Se V por acaso admitir um vetor de peso ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle v_{0}}$,^[12] então ele é único a menos de escala e é chamado de vetor de peso máximo de V. Ele também é um vetor de peso ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ e o peso ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ de ${\displaystyle v_{0}}$, um funcional linear de ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$, é chamado de peso máximo de V. Os fatos básicos, contudo não triviais,^[13] são então (1) para cada funcional linear ${\displaystyle \mu \in {\mathfrak {h}}^{*}}$, existe um ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-módulo simples ${\displaystyle V^{\mu }}$ tendo ${\displaystyle \mu }$ como seu peso máximo e (2) dois módulos simples tendo o mesmo peso máximo são equivalentes. Em suma, existe uma bijeção entre ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$ e o conjunto de classes de equivalência de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-módulos simples que admitem um vetor de peso de Borel.

Para aplicações, geralmente estamos interessados em um ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-módulo simples de dimensão finita (uma representação irredutível de dimensão finita). Esse é especialmente o caso quando ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ é a álgebra de Lie de um Grupo de Lie (ou a complexificação deste), pois, por meio da Correspondência de Lie, uma representação de álgebra de Lie pode ser integrada a uma representação de grupo de Lie quando as obstruções são superadas. O critério a seguir aborda essa necessidade: por câmara de Weyl positiva ${\displaystyle C\subset {\mathfrak {h}}^{*}}$, entende-se o cone convexo ${\displaystyle C=\{\mu \in {\mathfrak {h}}^{*}|\mu (h_{\alpha })\geq 0,\alpha \in \Phi >0\}}$ onde ${\displaystyle h_{\alpha }\in [{\mathfrak {g}}_{\alpha },{\mathfrak {g}}_{-\alpha }]}$ é um vetor único tal que ${\displaystyle \alpha (h_{\alpha })=2}$. O critério então afirma:^[14]

• ${\displaystyle \dim V^{\mu }<\infty }$ se, e somente se, para cada raiz positiva ${\displaystyle \alpha >0}$, (1) ${\displaystyle \mu (h_{\alpha })}$ é um número inteiro e (2) ${\displaystyle \mu }$ reside em ${\displaystyle C}$.

Um funcional linear ${\displaystyle \mu }$ que satisfaz a condição equivalente acima é chamado de peso integral dominante. Portanto, em resumo, existe uma bijeção entre os pesos integrais dominantes e as classes de equivalência de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-módulos simples de dimensão finita, o resultado conhecido como o Teorema do peso máximo. O caráter de um módulo simples de dimensão finita, por sua vez, é calculado pela Fórmula de caráter de Weyl.O teorema devido a Weyl afirma que, sobre um corpo de característica zero, todo módulo de dimensão finita de uma álgebra de Lie semissimples ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ é completamente redutível; ou seja, é uma soma direta de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-módulos simples. Assim, os resultados acima se aplicam às representações de dimensão finita de uma álgebra de Lie semissimples.

Para uma álgebra de Lie semissimples sobre um corpo que tem característica zero mas não é algebricamente fechado, não há uma teoria de estrutura geral como a que existe para as sobre um corpo algebricamente fechado de característica zero. Porém, sobre o corpo dos números reais, ainda existem os resultados estruturais.

Seja ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ uma álgebra de Lie semissimples real de dimensão finita e ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }={\mathfrak {g}}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ a complexificação dela (que é novamente semissimples). A álgebra de Lie real ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ é chamada de uma forma real de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }}$. Uma forma real é chamada de forma compacta se a forma de Killing nela for negativa definida; ela é necessariamente a álgebra de Lie de um grupo de Lie compacto (daí o nome).

Se ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\mathrm {sl} (n,\mathbb {C} )}$, então ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ pode ser considerada a subálgebra diagonal de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, consistindo em matrizes diagonais cujas entradas na diagonal somam zero. Como ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ tem dimensão ${\displaystyle n-1}$, vemos que ${\displaystyle \mathrm {sl} (n;\mathbb {C} )}$ tem posto ${\displaystyle n-1}$.

Os vetores raiz ${\displaystyle X}$ neste caso podem ser as matrizes ${\displaystyle E_{i,j}}$ com ${\displaystyle i\neq j}$, onde ${\displaystyle E_{i,j}}$ é a matriz com um 1 na posição ${\displaystyle (i,j)}$ e zeros no restante.^[17] Se ${\displaystyle H}$ for uma matriz diagonal com entradas na diagonal ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$, então temos

${\displaystyle [H,E_{i,j}]=(\lambda _{i}-\lambda _{j})E_{i,j}}$.

Dessa forma, as raízes para ${\displaystyle \mathrm {sl} (n,\mathbb {C} )}$ são os funcionais lineares ${\displaystyle \alpha _{i,j}}$ dados por

${\displaystyle \alpha _{i,j}(H)=\lambda _{i}-\lambda _{j}}$.

Após identificar ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ com seu dual, as raízes tornam-se os vetores ${\displaystyle \alpha _{i,j}:=e_{i}-e_{j}}$ no espaço de ${\displaystyle n}$-uplas que somam zero. Este é o sistema de raízes conhecido como ${\displaystyle A_{n-1}}$ na rotulação convencional.

A reflexão associada à raiz ${\displaystyle \alpha _{i,j}}$ age sobre ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ permutando as entradas diagonais ${\displaystyle i}$ e ${\displaystyle j}$. O grupo de Weyl é então apenas o grupo de permutações em ${\displaystyle n}$ elementos, agindo pela permutação das entradas diagonais de matrizes em ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$.== Generalizações ==

As álgebras de Lie semissimples admitem certas generalizações. Em primeiro lugar, muitas afirmações que são verdadeiras para álgebras de Lie semissimples são verdadeiras de forma mais geral para as álgebras de Lie redutivas. Abstratamente, uma álgebra de Lie redutiva é uma cuja representação adjunta é completamente redutível, enquanto concretamente, uma álgebra de Lie redutiva é uma soma direta de uma álgebra de Lie semissimples e uma álgebra de Lie abeliana; por exemplo, ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}}$ é semissimples e ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$ é redutiva. Muitas propriedades de álgebras de Lie semissimples dependem apenas da redutibilidade.

Muitas propriedades das álgebras de Lie semissimples/redutivas complexas são verdadeiras não apenas para álgebras de Lie semissimples/redutivas sobre corpos algebricamente fechados, mas de forma mais geral para álgebras de Lie semissimples/redutivas cindidas (split) sobre outros corpos: álgebras de Lie semissimples/redutivas sobre corpos algebricamente fechados são sempre cindidas, mas sobre outros corpos isso nem sempre é o caso. Álgebras de Lie cindidas possuem essencialmente a mesma teoria de representação que as álgebras de Lie semissimples sobre corpos algebricamente fechados, com, por exemplo, a subálgebra de Cartan cindida desempenhando o mesmo papel que a Subálgebra de Cartan desempenha sobre corpos algebricamente fechados. Esta é a abordagem adotada em (Bourbaki 2005), por exemplo, que classifica representações de álgebras de Lie semissimples/redutivas cindidas.

Ver artigos principais: Grupo de Lie semissimples e Grupo redutivo

Um grupo de Lie conexo é chamado de semissimples se sua álgebra de Lie for uma álgebra de Lie semissimples, isto é, uma soma direta de álgebras de Lie simples. É chamado de redutivo se sua álgebra de Lie for uma soma direta de álgebras de Lie simples e triviais (unidimensionais). Grupos redutivos ocorrem naturalmente como simetrias de diversos objetos matemáticos em álgebra, geometria e física. Por exemplo, o grupo ${\displaystyle GL_{n}(\mathbb {R} )}$ das simetrias de um espaço vetorial real n-dimensional (equivalentemente, o grupo de matrizes invertíveis) é redutivo.

• Álgebra de Lie
• Grupo compacto