Teorema de Cantor

Na teoria dos espaços métricos completos, o teorema de Cantor, em referência ao matemático alemão Georg Cantor, possui fundamental importância.^[1][2]

Sua particularização na reta real recebe o nome de teorema dos intervalos encaixantes.

Seja ${\displaystyle \left\{F_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$ uma seqüência de conjuntos fechados limitados não-vazios encaixados, ou seja, ${\displaystyle F_{n+1}\subseteq F_{n}}$. Assuma, ainda, que ${\displaystyle {\mbox{diam}}(F_{n})\to 0}$, ou seja, que o diâmetro dos conjuntos esteja convergindo para zero. O diâmetro é definido como:

${\displaystyle {\mbox{diam(F)}}=\sup _{x,y\in F}d(x,y)}$

Então a intersecção ${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }F_{n}}$ é não vazia. Mais ainda, esta intersecção é formada por apenas um ponto.

Como cada ${\displaystyle F_{n}}$ é não-vazio, podemos escolher um ponto ${\displaystyle x_{n}}$ pertencente a ele:

${\displaystyle x_{n}\in F_{n}}$

Como ${\displaystyle x_{n+k}\in F_{n+k}\subseteq F_{n}}$, temos que toda a seqüência ${\displaystyle \{x_{j}\}_{j=n}^{\infty }}$ está contida em ${\displaystyle F_{n}\,}$.

Mas ${\displaystyle \{x_{j}\}_{j=n}^{\infty }}$ é uma Sucessão de Cauchy, pois:

${\displaystyle {\mbox{d}}(x_{n},x_{n+k})\leq {\mbox{diam}}(F_{n})\to 0}$, pois ${\displaystyle x_{n},x_{n+k}\in F_{n}}$.

Dado que toda Sucessão de Cauchy é convergente num espaço métrico completo, existe um ponto limite ${\displaystyle x}$ tal que:

${\displaystyle x_{n}\to x}$

Como os conjuntos ${\displaystyle F_{n}}$ são fechados e o limite de uma seqüência é invariante por cortes finitos, temos:

${\displaystyle x\in F_{n},\forall n}$

Assim ${\displaystyle x\in \bigcap _{n=1}^{\infty }F_{n}}$.

Para provar que ${\displaystyle x\,}$ é, de fato, o único elemento pertencente à intersecção, considere, por absurdo que existam mais de um ponto nela, ou seja:

${\displaystyle x,y\in \bigcap _{n=1}^{\infty }F_{n}}$, com ${\displaystyle x\neq y\,}$

O fato que ${\displaystyle x\neq y\,}$ implica ${\displaystyle d(x,y)>0\,}$

Escolha ${\displaystyle N\,}$ tal que:

${\displaystyle {\mbox{diam}}(F_{n})<d(x,y)\,}$

Da definição de diâmetro e do fato que ${\displaystyle x,y\in F_{n}}$, deve valer:

${\displaystyle d(x,y)\leq {\mbox{diam}}(F_{n})<d(x,y)}$, um absurdo.

• É utilizado na demonstração do teorema da categoria de Baire.

Referências