Princípio da Escolha Dependente

Em matemática, mais especificamente em teoria dos conjuntos, o Princípio da Escolha Dependente ou Axioma da Escolha Dependente (abreviado DC, do inglês Dependent Choice) afirma que, dados um conjunto não-vazio ${\displaystyle A}$ e uma relação binária ${\displaystyle R\subseteq A\times A}$ sobre ${\displaystyle A}$ que satisfaz a condição de que para todo ${\displaystyle x\in A}$ existe ${\displaystyle y\in A}$ para o qual ${\displaystyle \langle x,y\rangle \in R}$, existe uma seqüência ${\displaystyle \langle x_{n}\rangle _{n\in \omega }}$ de elementos de ${\displaystyle A}$ tal que ${\displaystyle \langle x_{i},x_{i+1}\rangle \in R}$ para todo ${\displaystyle i\in \omega }$. Em linguagem simbólica de primeira ordem, temos

${\displaystyle \forall A\left((\exists R\left(R\subseteq A\times A\wedge \forall x(x\in A\rightarrow \exists y(y\in A\wedge \langle x,y\rangle \in R))\right)\rightarrow \exists \langle x_{n}\rangle _{n\in \omega }(\forall i(i\in \omega \rightarrow \langle x_{i},x_{i+1}\rangle \in R)))\right)}$

O princípio da escolha dependente é demonstrável em ZF, admitindo o axioma da escolha; com efeito, seja ${\displaystyle A}$ um conjunto não-vazio e ${\displaystyle R\subseteq A\times A}$ uma relação binária sobre ${\displaystyle A}$ satisfazendo

${\displaystyle \forall x(x\in A\rightarrow \exists y(y\in A\wedge \langle x,y\rangle \in R)).}$

Dado ${\displaystyle x\in A}$, defina ${\displaystyle r(x)=\{y\in A:\langle x,y\rangle \in R\}}$; da hipótese, temos ${\displaystyle r(x)\neq \emptyset }$. Tome a família ${\displaystyle \langle r(x)\rangle _{x\in A}}$, admitindo o axioma da escolha, existe uma função

${\displaystyle f:A\to \bigcup _{x\in A}r(x)}$

satisfazendo ${\displaystyle f(x)\in r(x)}$ para cada ${\displaystyle x\in A}$. É evidente, portanto, que ${\displaystyle \langle f^{n}(x)\rangle _{n\in \omega }}$ satisfaz ${\displaystyle \langle f^{i}(x),f^{i+1}(x)\rangle \in R}$ para todo ${\displaystyle i\in \omega }$ e todo ${\displaystyle x\in A}$.

Porém, DC não implica o axioma da escolha^[1] , sendo portanto uma forma mais fraca de AC. É evidente que DC implica o Axioma da Escolha Enumerável, AC${\displaystyle _{\omega }}$; com efeito seja ${\displaystyle \langle A_{n}\rangle _{n\in \omega }}$ uma família enumerável de conjuntos não-vazios; defina

${\displaystyle S_{n}=\{s\in (\bigcup _{k=0}^{n}A_{k})^{n}:\pi _{i}(s)\in A_{i},\forall i\leq n\}}$

Onde ${\displaystyle \pi _{i}}$ é a projeção à i-ésima coordenada. Defina também

${\displaystyle S=\bigcup _{n\in \omega }S_{n}}$

Assim, seja ${\displaystyle R\subseteq S\times S}$ tal que, dados ${\displaystyle s,t\in S}$, ${\displaystyle \langle s,t\rangle \in R}$ se, e somente se, existir ${\displaystyle n\in \omega }$ para o qual tenhamos ${\displaystyle s\in S_{n}}$, ${\displaystyle t\in S_{n+1}}$ e ${\displaystyle \pi _{i}(s)=\pi _{i}(t)}$ para todo ${\displaystyle i\leq n}$, isto é

${\displaystyle \forall s\forall t(((s\in S)\wedge (t\in S))\rightarrow (\langle s,t\rangle \in R\leftrightarrow \exists n((n\in \omega )\wedge (s\in S_{n})\wedge (t\in S_{n+1})\wedge (\forall i(i\in n\cup \{n\}\rightarrow (\pi _{i}(s)=\pi _{i}(t)\,)))))).}$

É evidente que ${\displaystyle R}$ satisfaz

${\displaystyle \forall x(x\in S\rightarrow \exists y(y\in S\wedge \langle x,y\rangle \in R)).}$

Portanto, existe uma seqüência ${\displaystyle \langle s_{n}\rangle _{n\in \omega }}$ tal que

${\displaystyle \langle s_{i},s_{i+1}\rangle \in R}$

para todo natural ${\displaystyle i}$. Basta agora definir ${\displaystyle f:\omega \to \bigcup A_{n}}$ por ${\displaystyle f(i)=\pi _{i}(s_{i})}$. É evidente que ${\displaystyle f}$ é uma função escolha em ${\displaystyle \langle A_{n}\rangle _{n\in \omega }}$.

Outra aplicação importante do princípio da escolha dependente é na demonstração do Lema de Urysohn e do Teorema de Baire ^[2]. De fato, Charles E. Blair demonstrou em 1977 ^[3] que o Teorema de Baire é equivalente a DC, isto é

${\displaystyle ZF+DC\leftrightarrow ZF+({\text{Teorema de Baire}}).}$

Referências

• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.