Teorema de Luzin

Em matemática, o teorema de Lusin (ou teorema de Luzin, nomeado em homenagem a Nikolai Luzin) é um dos resultados fundamentais da teoria da medida. Ele estabelece uma relação importante entre funções mensuráveis e funções contínuas, mostrando que, sob certas condições, uma função mensurável pode ser aproximada por uma função contínua em quase todo o seu domínio. Na formulação informal de J. E. Littlewood, "toda função mensurável é quase contínua".

Seja ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ uma função mensurável segundo a medida de Lebesgue. Então, para todo ${\displaystyle \delta >0}$, existe uma função ${\displaystyle g:[a,b]\to \mathbb {R} }$ contínua tal que:

${\displaystyle \mu \left(\left\{x\in [a,b]:f(x)\neq g(x)\right\}\right)<\delta }$,

onde ${\displaystyle \mu }$ denota a medida de Lebesgue.

Equivalentemente, para todo ${\displaystyle \varepsilon >0}$, existe um conjunto compacto ${\displaystyle E\subseteq [a,b]}$ tal que ${\displaystyle f}$ restrita a ${\displaystyle E}$ é contínua e:

${\displaystyle \mu ([a,b]\setminus E)<\varepsilon }$,

ou seja, ${\displaystyle \mu (E)>b-a-\varepsilon }$. Aqui, a continuidade de ${\displaystyle f}$ restrita a ${\displaystyle E}$ é entendida na topologia de subespaço herdada de ${\displaystyle [a,b]}$.

Além disso, se uma função ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ é finita quase em toda parte e satisfaz a condição de que, para todo ${\displaystyle \varepsilon >0}$, existe uma função contínua ${\displaystyle \phi :[a,b]\to \mathbb {R} }$ tal que ${\displaystyle \mu (\{x\in [a,b]:f(x)\neq \phi (x)\})<\varepsilon }$, então ${\displaystyle f}$ é mensurável.^[1]

Em um contexto mais amplo, considere ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ um espaço de medida de Radon e ${\displaystyle Y}$ um espaço topológico segundo-contável equipado com uma álgebra de Borel. Seja ${\displaystyle f:X\to Y}$ uma função mensurável. Dado ${\displaystyle \varepsilon >0}$, para todo ${\displaystyle A\in \Sigma }$ de medida finita, existe um conjunto fechado ${\displaystyle E}$ tal que ${\displaystyle \mu (A\setminus E)<\varepsilon }$ e ${\displaystyle f}$ restrita a ${\displaystyle E}$ é contínua. Se ${\displaystyle A}$ é localmente compacto e ${\displaystyle Y=\mathbb {R} ^{d}}$, pode-se escolher ${\displaystyle E}$ compacto e até encontrar uma função contínua ${\displaystyle f_{\varepsilon }:X\to \mathbb {R} ^{d}}$ com suporte compacto que coincide com ${\displaystyle f}$ em ${\displaystyle E}$ e satisfaz:

${\displaystyle \sup _{x\in X}|f_{\varepsilon }(x)|\leq \sup _{x\in X}|f(x)|}$.

Informalmente, funções mensuráveis em espaços com base contável podem ser aproximadas por funções contínuas em porções arbitrariamente grandes de seu domínio.

A demonstração do teorema de Lusin pode ser encontrada em diversos livros clássicos de análise real. Intuitivamente, o resultado segue como uma consequência do teorema de Egorov e da densidade de funções suaves. O teorema de Egorov afirma que a convergência pontual é quase uniforme, e a convergência uniforme preserva a continuidade.

A força do teorema de Lusin pode não ser imediatamente óbvia, mas pode ser ilustrada com um exemplo. Considere a função de Dirichlet, isto é, a função indicadora ${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }:[0,1]\to \{0,1\}}$ no intervalo unitário ${\displaystyle [0,1]}$, que assume valor 1 nos racionais e 0 nos irracionais. Embora os racionais sejam densos nos reais, o teorema garante que é possível encontrar um conjunto ${\displaystyle E}$ onde a função restrita é contínua. Por exemplo, seja ${\displaystyle \{x_{n};n=1,2,\dots \}}$ uma enumeração dos racionais em ${\displaystyle [0,1]}$. Defina:

${\displaystyle G_{n}=(x_{n}-\varepsilon /2^{n},x_{n}+\varepsilon /2^{n})}$ e

${\displaystyle E=[0,1]\setminus \bigcup _{n=1}^{\infty }G_{n}}$.

Os conjuntos abertos ${\displaystyle G_{n}}$ "removem" todos os racionais, deixando ${\displaystyle E}$ como um conjunto fechado e compacto, sem racionais, com medida ${\displaystyle \mu (E)>1-2\varepsilon }$. Em ${\displaystyle E}$, a função é constante (igual a 0), portanto contínua.

Fontes

• N. Lusin. "Sur les propriétés des fonctions mesurables", Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 154 (1912), 1688–1690.
• G. Folland. Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2ª ed., Capítulo 7.
• W. Zygmunt. Scorza-Dragoni property (em polonês), UMCS, Lublin, 1990.
• M. B. Feldman. "A Proof of Lusin's Theorem", American Mathematical Monthly, 88 (1981), 191-192.
• L. C. Evans, R. F. Gariepy. Measure Theory and Fine Properties of Functions, CRC Press, Textbooks in Mathematics, Teorema 1.14.

Citações