Teorema de Egorov

Em matemática, o teorema de Egorov é um dos principais teoremas da teoria da medida. Recebe o nome em honra ao físico e geômetra russo Dmitri Egorov.

O teorema estabelece um relação entre convergência quase-sempre e convergência uniforme em um espaço de medida finita.

Seja ${\displaystyle \mu \,}$ uma medida positiva, ${\displaystyle E\,}$ um conjunto mensurável de medida finita e ${\displaystyle f_{n}:E\to \mathbb {R} \,}$ uma seqüência de funções reais convergindo quase-sempre para um função ${\displaystyle f\,}$, então para todo ${\displaystyle \delta >0\,}$ existe um conjunto mensurável ${\displaystyle F\subseteq E\,}$ tal que ${\displaystyle \mu (E\backslash F)\leq \delta \,}$ e ${\displaystyle f_{n}\to f\,}$ uniformemente em ${\displaystyle F\,}$.

Defina os subconjuntos ${\displaystyle E_{k,n}\,}$ de ${\displaystyle E\,}$:

${\displaystyle E_{k,n}=\bigcap _{i\geq n}\left\{x\in E:|f_{i}(x)-f(x)|\leq {\frac {1}{k}}\right\}}$

Como ${\displaystyle \forall k\geq 1}$, ${\displaystyle E_{k,1}\subseteq E_{k,2}\subseteq \ldots E_{k,n}\subseteq \ldots }$:

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n\geq 1}E_{k,n}\right)=\lim _{n\to \infty }\mu (E_{k,n})}$.

Ainda, como as funções ${\displaystyle f_{n}\,}$ convergem ${\displaystyle \mu \,}$-quase-sempre para ${\displaystyle f\,}$, temos que, para todo ${\displaystyle k\geq 1\,}$:

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n\geq 1}E_{k,n}\right)=\mu (E)\,}$.

Fixe ${\displaystyle \delta >0\,}$. Dado que ${\displaystyle \mu (E)<\infty \,}$, existe para cada ${\displaystyle k\geq 1\,}$ um inteiro ${\displaystyle n_{k}\,}$ positivo tal que

${\displaystyle \mu (E_{k,n_{k}})\geq \mu (E)-2^{-k}\delta \,}$.

Definindo:

${\displaystyle F=\bigcap _{k\geq 1}E_{k,n_{k}}}$

tem-se:

${\displaystyle \mu (E\backslash F)=\mu \left(E\backslash \bigcap _{k\geq 1}E_{k,n_{k}}\right)\leq \sum _{k=1}^{\infty }\delta 2^{-k}=\delta }$

Para mostrar que ${\displaystyle f_{n}\,}$ de fato converge uniformemente para ${\displaystyle f\,}$ em ${\displaystyle F\,}$, escolha ${\displaystyle \varepsilon >0\,}$, e ${\displaystyle k\,}$ inteiro positivo tal que ${\displaystyle {\frac {1}{k}}<\varepsilon \,}$, escolha ${\displaystyle n=n_{k}\,}$ e o resultado segue pois ${\displaystyle F\subseteq E_{k,n_{k}}\,}$

• Stein, Elias M.; Shakarchi, Rami (28 de novembro de 2009). Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces (em inglês). [S.l.]: Princeton University Press