Colchete de Lie de campos vetoriais

No campo matemático da topologia diferencial, o colchete de Lie de campos vetoriais, também é conhecido como colchete de Jacobi – Lie ou comutador de campos vetoriais. O Colchete de Lie é um operador que atribui a quaisquer dois campos vetoriais ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ de uma variedade suave ${\displaystyle M}$ um terceiro campo vetorial denotado por ${\displaystyle [X,Y]}$.

Conceitualmente, o colchete de Lie ${\displaystyle [X,Y]}$ pode ser interpretado como a derivada de ${\displaystyle Y}$ ao longo do fluxo gerado por ${\displaystyle X}$, e às vezes também é denotado por ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y}$ ("Derivada de Lie de Y ao longo de X"). Isso pode ser generalizado como a derivada de Lie de qualquer campo tensorial ao longo do fluxo gerado por ${\displaystyle X}$ .

O colchete de Lie é uma operação R - bilinear que transforma o conjunto de todos os campos vetoriais suaves de uma variedade ${\displaystyle M}$ em uma álgebra de Lie (de dimensão infinita).

O Colchete de Lie desempenha um papel importante em áreas como geometria diferencial e na topologia diferencial, por exemplo no teorema de integrabilidade de Frobenius, e também é fundamental na teoria geométrica de sistemas de controle não lineares .

VI Arnold se refere a esse fenômeno como a "derivada do pescador", pois podemos imaginar um pescador segurando uma vara de pescar, sentado em um barco. Tanto o barco quanto a bóia de pesca estão fluindo de acordo com um campo vetorial ${\displaystyle X}$, e o pescador alonga/encolhe e gira a vara de pescar de acordo com o campo vetorial ${\displaystyle Y}$. O colchete de Lie é a quantidade de arrasto do flutuador de pesca em relação à água ao redor. ^[1]

Existem três maneiras conceitualmente distintas, embora equivalentes, para definir o colchete de Lie:

Cada campo vetorial suave ${\displaystyle X:M\rightarrow TM}$ em uma variedade ${\displaystyle M}$ pode ser considerado um operador diferencial atuando em funções suaves ${\displaystyle f(p)}$ (onde ${\displaystyle p\in M}$ e ${\displaystyle f}$ é de classe ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ ) quando nós definimos ${\displaystyle X(f)}$ como outra função cujo valor em um ponto ${\displaystyle p}$ é a derivada direcional de ${\displaystyle f}$ no ponto ${\displaystyle p}$ na direção ${\displaystyle X(p)}$. Desta forma, cada campo vetorial suave ${\displaystyle X}$ torna-se uma derivação em ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$. Além disso, qualquer derivação sobre ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ surge de um campo vetorial suave único ${\displaystyle X}$.

Em geral, o comutador ${\displaystyle \delta _{1}\circ \delta _{2}-\delta _{2}\circ \delta _{1}}$ de quaisquer duas derivações ${\displaystyle \delta _{1}}$ e ${\displaystyle \delta _{2}}$ também é uma derivação, em que ${\displaystyle \circ }$ denota a composição de operadores. Isso pode ser usado para definir o colchete de Lie como o campo vetorial correspondente à derivação do comutador:

${\displaystyle [X,Y](f)=X(Y(f))-Y(X(f))\;\;{\text{ para toda }}f\in C^{\infty }(M).}$

Seja ${\displaystyle \Phi _{t}^{X}}$ o fluxo associado ao campo vetorial ${\displaystyle X}$, e ${\displaystyle D}$ denote o pushforward . Então o Colchete de Lie de ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ no ponto ${\displaystyle x\in M}$ pode ser definido como a Derivada de Lie :

${\displaystyle [X,Y]_{x}\ =\ ({\mathcal {L}}_{X}Y)_{x}\ :=\ \lim _{t\to 0}{\frac {(\mathrm {D} \Phi _{-t}^{X})Y_{\Phi _{t}^{X}(x)}\,-\,Y_{x}}{t}}\ =\ \left.{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}(\mathrm {D} \Phi _{-t}^{X})Y_{\Phi _{t}^{X}(x)}.}$

Isso também é uma forma de medida da falha do fluxo nas direções ${\displaystyle X,Y,-X,-Y}$ para voltar ao ponto ${\displaystyle x}$ :

${\displaystyle [X,Y]_{x}\ =\ \left.{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\right|_{t=0}(\Phi _{-t}^{Y}\circ \Phi _{-t}^{X}\circ \Phi _{t}^{Y}\circ \Phi _{t}^{X})(x)\ =\ \left.{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}(\Phi _{\!-{\sqrt {t}}}^{Y}\circ \Phi _{\!-{\sqrt {t}}}^{X}\circ \Phi _{\!{\sqrt {t}}}^{Y}\circ \Phi _{\!{\sqrt {t}}}^{X})(x).}$

Embora as definições acima do Colchete de Lie sejam intrínsecas, isto é, independem da escolha das coordenadas na variedade ${\displaystyle M}$, na prática, muitas vezes deseja-se calcular o colchete de lie em termos de um sistema de coordenadas específico ${\displaystyle \{x^{i}\}}$. E, para isso, escrevemos ${\displaystyle \partial _{i}={\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}}$ para a base local associada do fibrado tangente, de modo que campos vetoriais gerais possam ser escritos ${\displaystyle \textstyle X=\sum _{i=1}^{n}X^{i}\partial _{i}}$ e ${\displaystyle \textstyle Y=\sum _{i=1}^{n}Y^{i}\partial _{i}}$ para funções suaves ${\displaystyle X^{i},Y^{i}:M\to \mathbb {R} }$ . Então o Colchete de Lie pode ser obtido como:

${\displaystyle [X,Y]:=\sum _{i=1}^{n}\left(X(Y^{i})-Y(X^{i})\right)\partial _{i}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left(X^{j}\partial _{j}Y^{i}-Y^{j}\partial _{j}X^{i}\right)\partial _{i}.}$

Se ${\displaystyle M}$ é (um subconjunto aberto de) ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, então os campos vetoriais ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ podem ser escritos como mapas suaves da forma ${\displaystyle X:M\to \mathbb {R} ^{n}}$ e ${\displaystyle Y:M\to \mathbb {R} ^{n}}$, e o colchete de Lie ${\displaystyle [X,Y]:M\to \mathbb {R} ^{n}}$ é dado por:

${\displaystyle [X,Y]:=J_{Y}X-J_{X}Y}$

em que ${\displaystyle J_{Y}}$ e ${\displaystyle J_{X}}$ são Matrizes Jacobianas de dimensão ${\displaystyle n\times n}$ ( ${\displaystyle \partial _{j}Y^{i}}$ e ${\displaystyle \partial _{j}X^{i}}$ respectivamente) multiplicando o ${\displaystyle n\times 1}$ vetores de coluna ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ .

O colchete de Lie dos campos vetoriais mune o espaço vetorial real ${\displaystyle V=\Gamma (TM)}$ de todos os campos vetoriais em ${\displaystyle M}$ (ou seja, seções suaves do fibrado tangente ${\displaystyle TM\to M}$ ) com a estrutura de uma álgebra de Lie, o que significa que [ •, • ] é um mapa ${\displaystyle V\times V\to V}$ com:

• R - bilinearidade
• Anti-simetria, ${\displaystyle [X,Y]=-[Y,X]}$
• Identidade de Jacobi, ${\displaystyle [X,[Y,Z]]+[Z,[X,Y]]+[Y,[Z,X]]=0.}$

Uma consequência imediata da segunda propriedade é que ${\displaystyle [X,X]=0}$ para qualquer ${\displaystyle X}$ .

Além disso, existe uma " regra do produto " para colchetes de Lie. Dada uma função suave (escalar) ${\displaystyle f}$ sobre ${\displaystyle M}$ e um campo vetorial ${\displaystyle Y}$ sobre ${\displaystyle M}$, obtemos um novo campo vetorial ${\displaystyle fY}$ multiplicando o vetor ${\displaystyle Y_{x}}$ pelo escalar ${\displaystyle f(x)}$ em cada ponto ${\displaystyle x\in M}$ . Então:

${\displaystyle [X,fY]\ =\ X\!(f)\,Y\,+\,f\,[X,Y],}$

em que multiplicamos uma função escalar ${\displaystyle X(f)}$ por um campo vetorial ${\displaystyle Y}$, e a função escalar ${\displaystyle f}$ com o campo vetorial ${\displaystyle [X,Y]}$ . Isso transforma os campos vetoriais com o colchete de Lie em um algebroide de Lie .

Percorrer o colchete de Lie de ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ significa que seguir os fluxos nessas direções define uma superfície mergulhada em ${\displaystyle M}$, com ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ como campos vetoriais de coordenadas:

Teorema: ${\displaystyle [X,Y]=0\,}$ se os fluxos de ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ comutam localmente, o que significa ${\displaystyle (\Phi _{t}^{Y}\Phi _{s}^{X})(x)=(\Phi _{s}^{X}\,\Phi _{t}^{Y})(x)}$ para todos ${\displaystyle x\in M}$ e suficientemente pequeno ${\displaystyle s}$, ${\displaystyle t}$ .

Este é um caso especial do teorema de integrabilidade de Frobenius .

Para um Grupo de Lie ${\displaystyle G}$, sua correspondente álgebra de Lie, denotada por ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ é o espaço tangente na identidade ${\displaystyle T_{e}G}$, que pode ser identificado com o espaço vetorial de campos vetoriais invariantes à esquerda em ${\displaystyle G}$ . O colchete de Lie de dois campos vetoriais invariantes à esquerda também é invariante à esquerda, o que define a operação de colchete de Jacobi-Lie ${\displaystyle [\,\cdot \,,\,\cdot \,]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$ .

Para um grupo de Lie matricial, cujos elementos são matrizes ${\displaystyle g\in G\subset M_{n\times n}(\mathbb {R} )}$, cada espaço tangente pode ser representado como matrizes: ${\displaystyle T_{g}G=g\cdot T_{I}G\subset M_{n\times n}(\mathbb {R} )}$, onde ${\displaystyle \cdot }$ significa o produto de matrizes e ${\displaystyle I}$ é a matriz identidade. O campo vetorial invariante correspondente a ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}=T_{I}G}$ é dado por ${\displaystyle X_{g}=g\cdot X\in T_{g}G}$, e um cálculo mostra o colchete de Lie em ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ corresponde ao comutador usual de matrizes:

${\displaystyle [X,Y]\ =\ X\cdot Y-Y\cdot X.}$

Como mencionado acima, a derivada de Lie pode ser vista como uma generalização do colchete de Lie. Outra generalização do colchete de Lie (para formas diferenciais com valor vetorial ) é o colchete de Frölicher–Nijenhuis .

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Lie bracket», Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer 
• Isaiah, Pantelis (2009), «Controlled parking [Ask the experts]», IEEE Control Systems Magazine, 29 (3): 17–21, 132, doi:10.1109/MCS.2009.932394 
• Khalil, H.K. (2002), Nonlinear Systems, ISBN 0-13-067389-7 3rd ed. , Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall 
• Kolář, I., Michor, P., and Slovák, J. (1993), Natural operations in differential geometry, ISBN 3-540-56235-4, Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag  !CS1 manut: Nomes múltiplos: lista de autores (link) Extensive discussion of Lie brackets, and the general theory of Lie derivatives.
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• Warner, Frank (1983) [1971], Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, ISBN 0-387-90894-3, New York-Berlin: Springer-Verlag