Ação de grupo contínua

Uma ação contínua (AO 1945: acção), em topologia, de um grupo G num espaço topológico X é um homomorfismo de G no grupo dos homeomorfismos de X tal que a correspondente função ${\displaystyle G\times X\to X}$ é contínua.

Se G é um grupo topológico, uma acção de G sobre um espaço topológico X é uma aplicação contínua ${\displaystyle \phi :G\times X\to X}$ tal que:

i)${\displaystyle \phi (e,x)=x,\forall x\in X}$

ii)${\displaystyle \phi (g,\phi (h,x))=\phi (gh,x),\forall g,h\in G,\forall x\in X}$

Algumas notações são empregadas para representar a acção de G sobre X.

• g . x, sendo g elemento de G e x elemento de X
• ${\displaystyle \phi (g)\,}$ como sendo a função ${\displaystyle \phi (g):X\to X\,}$, definida por ${\displaystyle \phi (g)(x)=\phi (g,x)\,}$ (este tipo de transformação de uma função binária em uma função unária cujo resultado é outra função unária se chama currying).

A órbita de um elemento ${\displaystyle x\,\!}$ de ${\displaystyle X\,\!}$ é a classe de equivalência de ${\displaystyle x\,\!}$, com respeito à relação de equivalência ${\displaystyle \sim }$ determinada por ${\displaystyle x\sim y}$ se existir ${\displaystyle g\in G}$ tal que ${\displaystyle y=g(x)\,\!}$, onde ${\displaystyle g(x)\,\!}$ representa a imagem de ${\displaystyle x\,\!}$ pelo homeomorfismo de ${\displaystyle X\,\!}$ associado a ${\displaystyle g\,\!}$.

O quociente de um espaço topológico X por um grupo G, que se representa por X/G, é o conjunto das órbitas, com a topologia quociente.

• A acção ${\displaystyle \phi \,\!}$ de ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ sobre ${\displaystyle \mathbb {R} }$ definida por ${\displaystyle \phi (n)(x)=x+n\,\!}$ tem por quociente o círculo ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$.
• A acção ${\displaystyle \phi \,\!}$ de ${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$ sobre ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ definida por ${\displaystyle \phi (m,n)(x)=(x+m,y+n)\,\!}$ tem por quociente um toro.