Espaço topológico quociente

Seja ${\displaystyle (X,\tau )}$ um espaço topológico e ${\displaystyle ~}$ relação de equivalência em ${\displaystyle X}$. O conjunto quociente ${\displaystyle X/\sim }$ é o conjunto das classes de equivalência de elementos de X. Para cada ${\displaystyle x\in X}$ denotamos por ${\displaystyle [x]}$ a classe de equivalência de ${\displaystyle x}$.

Dada ${\displaystyle \pi :X\to X/\sim }$ com ${\displaystyle x\mapsto [x]}$, que pela construção de ${\displaystyle X/\sim }$, temos que ${\displaystyle \pi }$ é uma aplicação sobrejetiva. Então definimos o conjunto$${\displaystyle \tau _{\sim }=\{U\in X/\sim :\pi ^{-1}(U)\in \tau \}}$$ chamada de topologia quociente.

O espaço quociente é o par ${\displaystyle (X/\sim ,\tau _{\sim })}$.

• O quociente de ${\displaystyle [0,1]\!}$ pela relação ${\displaystyle x\sim y}$ se ${\displaystyle |x-y|\in \{0,1\}}$ é homeomorfo a ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$.
• O quociente de ${\displaystyle [0,1]\times [0,1]\!}$ pela relação de equivalência gerada por ${\displaystyle (x,0)\sim (x,1)\,\!}$ e ${\displaystyle (0,y)\sim (1,y)\,\!}$, para ${\displaystyle x,y\in [0,1]}$ é homeomorfo ao toro ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$ que por sua vez é homeomorfo à ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}}$.
• O processo acima, que cola as bordas do quadrado de forma direta, pode ser feito de modo a torcer o quadrado. Assim, a relação de equivalência gerada por ${\displaystyle (x,0)\sim (1-x,1)\,\!}$ e ${\displaystyle (0,y)\sim (1,1-y)\,\!}$, para ${\displaystyle x,y\in [0,1]}$ gera o plano projectivo, enquanto que a relação de equivalência gerada por ${\displaystyle (x,0)\sim (1-x,1)\,\!}$ e ${\displaystyle (0,y)\sim (1,y)\,\!}$, para ${\displaystyle x,y\in [0,1]}$ gera a garrafa de Klein.

Referências

• Munkres, James R. (2000), Topology, ISBN 9780131816299, Prentice Hall, Incorporated .