Projeção estereográfica

Em geometria , com aplicações em cartografia, a projeção estereográfica é um tipo de projeção em que a superfície de uma esfera é representada sobre um plano tangente a ela, utilizando-se como origem um ponto diametralmente oposto ao ponto de tangência daquele plano com a esfera.

Em cartografia, a projeção estereográfica resulta da projeção geométrica de pontos da superfície da Terra sobre um plano tangente a ela, a partir de um ponto de origem situado na posição diametralmente oposta ao ponto de tangência. Esta projeção é também chamada de azimutal ortomorfa.

A escala em uma projeção estereográfica aumenta com a distância do ponto de tangência, porém, mais lentamente que em uma projeção gnomônica. Um hemisfério completo pode ser representado em uma projeção estereográfica, sem distorções excessivas. Tal como em outras projeções azimutais, os círculos máximos que passam pelo ponto de tangência aparecem como linhas retas. Todos os demais círculos, incluindo meridianos e paralelos, são representados como círculos ou arcos de círculos.

Em Cartografia Náutica, o principal uso da projeção estereográfica é para a construção de cartas das regiões polares.

Pode-se demonstrar matematicamente que a esfera ${\displaystyle S^{2}}$ menos um ponto é homeomorfa ao plano, o que nos permite fazer sua projeção estereográfica no plano.

Por definição, ${\displaystyle S^{2}=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}/x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\}.}$

Assim, considere ${\displaystyle p=(a,b,c)\in S^{2}}$ e defina a reta:

${\displaystyle r:\{(0,0,1)+t\cdot (a,b,c-1)/t\in \mathbb {R} \}=\{(ta,tb,1+t(c-1))/t\in \mathbb {R} \}}$

e o plano:

${\displaystyle \pi$ :\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}/z=0\}}

Assim: ${\displaystyle r\cap \pi$ :\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}/(x,y,z)=(ta,tb,0)\}}

${\displaystyle {\begin{aligned}1+t(c-1)&=0\\t(c-1)&=-1\\t&={\frac {-1}{c-1}}\\t&={\frac {1}{1-c}}\end{aligned}}}$

Assim

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi :S^{2}-\{N\}&\mapsto \mathbb {R} ^{2}\\(a,b,c)&\mapsto ({\frac {a}{1-c}},{\frac {b}{1-c}})\end{aligned}}}$

Bem definida

Observemos que ${\displaystyle \varphi }$ está bem definida pois o ponto ${\displaystyle (0,0,1)\in S^{2}}$ que é o único ponto no qual ela não está definida não pertence ao domínio da ${\displaystyle \varphi .}$ Portanto esta função está definida em todo o seu domínio.

Injetora

Sejam ${\displaystyle p_{1}=(a_{1},b_{1},c_{1})}$ e ${\displaystyle p_{2}=(a_{2},b_{2},c_{2})}$ com ${\displaystyle p_{1}\neq p_{2}}$ e ${\displaystyle p_{1},p_{2}\in S^{2}\setminus \{N\}}$ assim:

${\displaystyle \varphi (p_{1})=\varphi ((a_{1},b_{1},c_{1}))=({\frac {a_{1}}{1-c_{1}}},{\frac {b_{1}}{1-c_{1}}}).}$

${\displaystyle \varphi (p_{2})=\varphi ((a_{2},b_{2},c_{2}))=({\frac {a_{2}}{1-c_{2}}},{\frac {b_{2}}{1-c_{2}}}).}$

Portanto, ${\displaystyle \varphi (p_{1})\neq \varphi (p_{2}).}$ Logo ${\displaystyle \varphi }$ é injetora.

Sobrejetora

Tome ${\displaystyle (x,y,0)\in \mathbb {R} ^{2}}$ e ${\displaystyle N=(0,0,1)\in S^{2}.}$ Considere a reta:

${\displaystyle r:\{(0,0,1)+t(x,y,-1)/t\in \mathbb {R} \}=\{(tx,ty,1-t)/t\in \mathbb {R} \}}$

${\displaystyle \exists$ !} ponto ${\displaystyle p}$ tal que ${\displaystyle r\cap S^{2}=\{p\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}t^{2}x^{2}+t^{2}y^{2}+(1-t)^{2}&=1\\t^{2}x^{2}+t^{2}y^{2}+t^{2}-2t&=0\\t^{2}\cdot (x^{2}+y^{2}+1)-2t&=0\\t&=0\\t\cdot (x^{2}+y^{2}+1)-2&=0\\t&={\frac {2}{x^{2}+y^{2}+1}}\end{aligned}}}$

Logo o ponto ${\displaystyle p}$ que existe é da forma:

${\displaystyle p=({\frac {2x}{x^{2}+y^{2}+1}},{\frac {2y}{x^{2}+y^{2}+1}},{\frac {x^{2}+y^{2}-1}{x^{2}+y^{2}+1}})}$

É facilmente verificável que ${\displaystyle p\in S^{2},}$ ou seja, ${\displaystyle |p|=1.}$

Assim concluímos que ${\displaystyle \varphi }$ é sobrejetora e podemos definir:

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{-1}:\mathbb {R} ^{2}&\mapsto S^{2}\setminus \{N\}\\(x,y)&\mapsto ({\frac {2x}{x^{2}+y^{2}+1}},{\frac {2y}{x^{2}+y^{2}+1}},{\frac {x^{2}+y^{2}-1}{x^{2}+y^{2}+1}})\end{aligned}}}$

Observe que ${\displaystyle \varphi ^{-1}(x,y)\neq (0,0,1);\forall x,y\in \mathbb {R} ^{2}.}$

Mostrar que, ${\displaystyle (\varphi \circ \varphi ^{-1})(p)=(\varphi ^{-1}\circ \varphi )(p)=p.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{-1}(p)&=({\frac {2x}{x^{2}+y^{2}+1}},{\frac {2y}{x^{2}+y^{2}+1}},{\frac {x^{2}+y^{2}-1}{x^{2}+y^{2}+1}})\\\varphi (\varphi ^{-1}(p))&=({\frac {2x}{x^{2}+y^{2}+1}}\cdot {\frac {x^{2}+y^{2}+1}{2}},{\frac {2y}{x^{2}+y^{2}+1}}\cdot {\frac {x^{2}+y^{2}+1}{2}})\\&=(x,y)\end{aligned}}}$

Analogamente, mostra-se que ${\displaystyle (\varphi ^{-1}\circ \varphi )(p)=p.}$

Portanto ${\displaystyle \varphi ^{-1}}$ é a inversa de ${\displaystyle \varphi .}$

Continuidade

Como ${\displaystyle \varphi }$ e ${\displaystyle \varphi ^{-1}}$ possuem todas as funções coordenadas contínuas, já que são compostas de funções polinomiais, conclui-se que ambas são contínuas, e portanto ${\displaystyle \varphi }$ é um homeomorfismo.

• Weisstein, Eric W. "Stereographic Projection." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.