Soma de Cesàro

Em análise matemática, a soma de Cesàro é um meio alternativo de descrever a soma de uma série infinita. Se a série converge, no senso usual, para uma soma α, então a série é também somável por Cesàro e possui valor α. A importância da soma de Cesàro é que uma série divergente pode ter uma soma de Cesàro bem definida.

O método recebe esse nome em homenagem ao matemático italiano Ernesto Cesàro (1859-1906).

Seja ${\displaystyle (a_{n})}$ uma seqüência, e seja

${\displaystyle s_{k}=a_{1}+\cdots +a_{k}}$

onde ${\displaystyle s_{k}}$ é a k-ésima soma parcial da série

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$.

A seqüência ${\displaystyle (a_{n})}$ é dita somável no sentido de Cesàro, com soma de Cesàro igual a ${\displaystyle \alpha }$, se

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {s_{1}+\cdots +s_{n}}{n}}=\alpha }$.

Seja ${\displaystyle a_{n}=(-1)^{(n+1)}}$ para ${\displaystyle n\geq 1}$. Isto é, ${\displaystyle (a_{n})}$ é a seqüência

${\displaystyle 1,-1,1,-1,\ldots }$.

Então a seqüência das somas parciais ${\displaystyle (s_{n})}$ é

${\displaystyle 1,0,1,0,\ldots }$,

então esta série, conhecida como série de Grandi, claramente não converge. Por outro lado, os temos da sequência ${\displaystyle ({\dfrac {s_{1}+...+s_{n}}{n}})}$ são

${\displaystyle {\frac {1}{1}},\,{\frac {1}{2}},\,{\frac {2}{3}},\,{\frac {2}{4}},\,{\frac {3}{5}},\,{\frac {3}{6}},\,{\frac {4}{7}},\,{\frac {4}{8}},\,\ldots }$,

e daí

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {s_{1}+\cdots +s_{n}}{n}}=1/2}$.

Conseqüentemente a soma de Cesàro da seqüencia ${\displaystyle (a_{n})}$ é ${\displaystyle {\dfrac {1}{2}}}$.

Em 1890, Ernesto Cesàro determinou uma extensa família de métodos de soma que haviam sido chamadas ${\displaystyle (C,n)}$ para inteiros não negativos ${\displaystyle n}$. O método ${\displaystyle (C,0)}$ é apenas uma somatória ordinária, e ${\displaystyle (C,1)}$ é a somatória de Cesàro como descrita acima.

Os métodos de alta ordem podem ser descritos como segue: dada uma série ${\displaystyle \sum a_{n}}$, definem-se as quantidades

${\displaystyle A_{n}^{-1}=a_{n};A_{n}^{\alpha }=\sum _{k=0}^{n}A_{k}^{\alpha -1}}$

e define-se E_n^α como sendo A_n^α para a série 1 + 0 + 0 + 0 + · · ·. Então a soma ${\displaystyle (C,\alpha )}$ de ${\displaystyle \sum a_{n}}$ é

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {A_{n}^{\alpha }}{E_{n}^{\alpha }}}}$

se ela existir.^[1]

Notas

Shawyer, Bruce and Bruce Watson (1994). Borel's Methods of Summability: Theory and Applications. [S.l.]: Oscford UP. ISBN 0-19-853585-6