Processo de Gauss–Markov

Um processo de Gauss–Markov, que recebe este nome em homenagem ao matemático alemão Carl Friedrich Gauss e ao matemático russo Andrei Markov, é um processo estocástico que satisfaz os requisitos tanto dos processos de Gauss, como dos processos de Markov.^[1] O processo de Gauss–Markov estacionário é também conhecido como processo de Ornstein–Uhlenbeck.

Todo processo de Gauss–Markov ${\displaystyle X(t)}$ possui as três seguintes propriedades:

1. Se ${\displaystyle h(t)}$ for uma função escalar não nula de ${\displaystyle t}$, então, ${\displaystyle Z(t)=h(t)X(t)}$ é também um processo de Gauss–Markov;
2. Se ${\displaystyle h(t)}$ for uma função escalar não decrescente de ${\displaystyle t}$, então, ${\displaystyle Z(t)=X(f(t))}$ é também um processo de Gauss–Markov;
3. Há uma função escalar não nula ${\displaystyle h(t)}$ e uma função escalar não decrescente ${\displaystyle f(t)}$, tal que ${\displaystyle X(t)=h(t)W(f(t))}$, em que ${\displaystyle W(t)}$ é um processo de Wiener padrão.

A terceira propriedade significa que todo processo de Gauss–Markov pode ser sintetizado a partir do processo de Wiener padrão.^[2]

Um processo de Gauss–Markov com variância ${\displaystyle {\textbf {E}}(X^{2}(t))=\sigma ^{2}}$ e constante de tempo ${\displaystyle \beta ^{-1}}$ tem:

• Autocorrelação exponencial: ${\displaystyle {\textbf {R}}_{x}(\tau )=\sigma ^{2}e^{-\beta |\tau |}}$.
• Uma função de densidade espectral de potência que tem a mesma forma da distribuição de Cauchy: ${\displaystyle {\textbf {S}}_{x}(j\omega )={\frac {2\sigma ^{2}\beta }{\omega ^{2}+\beta ^{2}}}.}$

Note que a distribuição de Cauchy e este espectro diferem entre si por fatores de escala.

O que foi exposto acima produz a seguinte fatoração espectral:

${\displaystyle {\textbf {S}}_{x}(s)={\frac {2\sigma ^{2}\beta }{-s^{2}+\beta ^{2}}}={\frac {{\sqrt {2\beta }}\sigma }{(s+\beta )}}\cdot {\frac {{\sqrt {2\beta }}\sigma }{(-s+\beta )}},}$

que é importante na filtração de Wiener e outras áreas.

Há também algumas exceções triviais ao que foi descrito acima.^[2]

• Processo Ornstein–Uhlenbeck