História da lógica

Este artigo é uma tradução para o português brasileiro do artigo history of logic [1] da Wikipedia inglês

A história da lógica documenta o desenvolvimento da lógica em várias culturas e tradições. Apesar de muitas culturas terem usado complicados sistemas de raciocínio, somente na China, Índia e Grécia os métodos de raciocínio tiveram um desenvolvimento sustentável. Embora as datas sejam incertas, especialmente no caso da Índia, é possível que a lógica tenha emergido nos três países por volta do século IV a.C. A lógica moderna descende da tradição grega, mas também há influências de filósofos islâmicos e de lógicos europeus da era medieval que tiveram contato com a lógica aristotélica.

Mozi, “Máster Mo”, um contemporâneo de Confúcio, é creditado como o fundador da escola Mohista, cujos ensinamentos lidavam com os problemas relacionados com a inferência e com as condições das conclusões corretas. Em particular, uma das escolas que cresceu além do Mohismo, os “the Logicians?”, são creditados por alguns estudiosos como sendo umas das primeiras escolas a investigar a lógica formal. Infelizmente, por causa da violência e das leis da dinastia Qin, essa linha de investigação desapareceu da China até a introdução da filosofia indiana pelos Budistas

Os Nyaya Sutras do Akasapada Gautama são os centros da escola da Nyaya, uma das seis escolas ortodoxas da filosofia Hindu. Esta escola criou um rígido esquema de cinco membros de inferência envolvendo uma premissa inicial: uma razão, um exemplo, uma aplicação e uma conclusão. A filosofia idealista Budista foi a maior oponente dos Nayaykas. Nagarjuna, o fundador da Madhyamika “caminho do meio” desenvolveu uma análise conhecida como “catuskoti” ou tetralema. Mas foi com Dgnaga e o seu sucessor Dharmakirti que a lógica budista atingiu seu ápice. A base da analise deles é a definição da necessidade de uma dedução lógica, “vyapti”, também conhecida como concomitância ou “pervasion?”. Para esse fim uma doutrina chamada “apoha” ou diferenciação foi desenvolvido. As dificuldades envolvidas neste sistema, em parte, estimularam a escola dos neo-escolásticos de Navya-Nyaya, que introduziu a análise formal da inferência no século XVI.

Na Grécia, duas importantes tradições emergiram. A Lógica estoica com as suas raízes em Euclides de Mégara, um pupilo de Sócrates, e é baseada na lógica proposicional que talvez foi a mais próxima da lógica moderna. Entretanto, a tradição que sobreviveu para mais tarde influenciar outras culturas foi a lógica aristotélica, o primeiro tratado grego sobre a sistematização da lógica. Na inspeção de Aristóteles sobre os silogismo há quem diga que existe uma interessante comparação com o esquema de inferência dos indianos e com a menos rígida discussão chinesa.

Através do latim na Europa, e outras línguas mais ao oeste, como árabe e armênio, a tradição aristotélica era considerada uma codificação superior das leis do raciocínio. Somente no século XIX, com o maior familiaridade com a cultura clássica indiana e um conhecimento mais profundo da China é que essa percepção mudou.

Após a morte de Muhamed, a lei islâmica desempenhou uma forte influência na formação dos padrões dos argumentos, o que permitiu uma argumentação romanceada no Kalan, mas essa influência foi amenizada por algumas ideias da filosofia grega que surgiram com o crescimento dos filósofos Mu’tazilah que tentaram combinar a lógica e o racionalismo da filosofia grega com a doutrina islâmica e mostrar que as duas estão inerentemente interligadas. A influência dos tratados gregos sobre os filósofos islâmicos foi crucial na aceitação da lógica grega pela Europa medieval, e os comentários de Averróis sobre o Órganon teve um papel importante no subseqüente desenvolvimento da lógica medieval européia.

Apesar da sofisticação lógica de Al-Ghazali, o crescimento da escola Asharite lentamente sufocou os tratados em lógica do mundo islâmico.

“Lógica medieval” (também conhecida como lógica escolástica) é a lógica aristotélica desenvolvida na era medieval no período de 1200-1600 d.C. Esta tradição foi fundamentada através de textos como o Tractatus do Pedro da Espanha (século XIII), cuja verdadeira identidade é desconhecida. Tomás de Aquino foi o filósofo que ousou mudar a antiga concepção tradicional, baseada em Platão e Agostinho, concebendo uma visão aristotélica, e desenvolvendo a escolástica tomista.

Essa antiga tradição também recebeu diversas considerações diferentes no século XIV com as obras de William de Ockham (1287-1347) e Jean Buridan.

As últimas obras dessa tradição são “Lógica” de John Poinsot (1589-1644, também conhecido como John de St Thomas), e o “Discussões Metafísicas” de Francisco Suarez (1548-1617).

Esta tradição começou com o livro Lógica, ou a arte do pensamento ou Lógica de Port-Royal de Antoine Arnauld e Pierre Nicole. Publicado em 1662, esse livro foi a mais influente introdução em lógica até o início do século XX. Port-Royal Logic apresenta ao leitor uma doutrina cartesiana (onde uma proposta é uma combinação de ideias ao invés de termos) com uma estrutura que deriva da lógica aristotélica e medieval. O livro teve oito edições entre 1664 e 1700. Ele foi reimpresso em inglês ate o fim do século XIX.

A descrição das proposições que Locke faz em Uma Tese a Respeito do Entendimento Humano é a mesma do Port-Royal. “Proposições verbais, que são palavras, são signos que representam nossas idéias, juntando-as ou separando-as em sentenças verdadeiras ou falsas. Então estas proposições consistem em juntar ou separar esse signos de acordo com as coisas que eles representam para concordar ou discordar.” (Locke, Uma Tese a Respeito do Entendimento Humano, IV. 5 6)

Obras que se enquadram nessa tradição incluem Isaac Watts Lógica: Ou, o Correto Uso da Razão (1725), Lógica de Richard Wately (1826), e uma das últimas grande obras dessa tradição Um Sistema Lógico de John Stuart Mill (1843), que foi a que mais viajou nisso tudo.

Historicamente, René Descartes, deve ter sido o primeiro filósofo a utilizar as técnicas algébricas como meio de exploração científica. A ideia de um “cálculo do raciocínio” também foi cultivada por Gottfried Wilhelm Leibniz.

Gottlob Frege no (Begriffschrift, ou ideografia) criou um sistema de representação simbólica para representar formalmente a estrutura dos enunciados lógicos e suas relações, e a invenção do cálculo dos predicados. Esta parte da decomposição funcional da estrutura interna das frases (substituindo a velha dicotomia analítica sujeito-predicado, herdada da tradição lógica aristotélica, pela oposição matemática função-argumento) e da articulação do conceito de quantificação (implícito na lógica clássica da generalidade), tornando assim possível a sua manipulação em regras de dedução formal. (os enunciados "para todo o x", "existe um x" que denotam operações de quantificação sobre variáveis lógicas têm a sua origem no seu trabalho fundador, ex: "Todos os humanos são mortais" se torna "Todos os X são tais que, se x é um humano então x é mortal.").

Ao contrário de Aristóteles, e mesmo de Boole, que procuravam identificar as formas válidas de argumento, a preocupação básica de Frege era a sistematização do raciocínio matemático, ou dito de outra maneira, encontrar uma caracterização precisa do que é uma “demonstração matemática”. Frege havia notado que os matemáticos da época freqüentemente cometiam erros em suas demonstrações, supondo assim que certos teoremas estavam demonstrados, quando na verdade não estavam. Para corrigir isso, Frege procurou formalizar as regras de demonstração, iniciando com regras elementares, bem simples, sobre cuja aplicação não houvesse dúvidas. O resultado que revolucionou a lógica, foi a criação do cálculo de predicados (ou lógica de predicados).

Em 1889 Giuseppe Peano publicou seus nove axiomas, que mas tarde cinco destes vieram a ser conhecido com axiomas de Peano e, destes cinco, um veio a ser a formalização do princípio da indução matemática

Os nomes de Gödel e Tarski dominam a década de 1930,^[1] um período crucial no desenvolvimento da metamatemática — o estudo da matemática utilizando métodos matemáticos para produzir metateorias, ou seja, teorias matemáticas sobre outras teorias matemáticas. As primeiras investigações em metamatemática foram impulsionadas pelo programa de Hilbert. O trabalho em metamatemática culminou na obra de Gödel, que em 1929 demonstrou que uma sentença de primeira ordem é dedutível se, e somente se, for logicamente válida — isto é, se for verdadeira em toda estrutura para a sua linguagem. Esse resultado ficou conhecido como o Teorema da Completude de Gödel.

Um ano depois, ele provou dois teoremas importantes, que mostraram que o programa de Hilbert era inalcançável em sua forma original. O primeiro estabelece que nenhum sistema consistente de axiomas, cujos teoremas possam ser enumerados por um procedimento efetivo como um algoritmo ou programa de computador, é capaz de provar todos os fatos sobre os números naturais. Para qualquer desses sistemas, sempre haverá enunciados sobre os números naturais que são verdadeiros, mas não demonstráveis dentro do sistema. O segundo afirma que, se tal sistema também for capaz de provar certos fatos básicos sobre os números naturais, então ele não pode provar a consistência de si próprio. Esses dois resultados são conhecidos como os Teoremas da Incompletude de Gödel, ou simplesmente o Teorema de Gödel.

Mais tarde, ainda nessa década, Gödel desenvolveu o conceito de construtibilidade em teoria dos conjuntos, como parte de sua demonstração de que o axioma da escolha e a hipótese do contínuo são consistentes com a teoria dos conjuntos de Zermelo–Fraenkel.

Na teoria da demonstração, Gerhard Gentzen desenvolveu a dedução natural e o cálculo de sequentes. A primeira procura modelar o raciocínio lógico tal como ele ocorre “naturalmente” na prática, sendo mais facilmente aplicável à lógica intuicionista, enquanto o segundo foi concebido para esclarecer a derivação de provas lógicas em qualquer sistema formal. Desde o trabalho de Gentzen, a dedução natural e os cálculos de sequentes foram amplamente aplicados nos campos da teoria da demonstração, lógica matemática e ciência da computação. Gentzen também provou os teoremas de normalização e de eliminação do corte para a lógica intuicionista e clássica, que podem ser usados para reduzir provas lógicas a uma forma normal.^[2]

Alfred Tarski, aluno de Łukasiewicz, é mais conhecido por sua definição de verdade e consequência lógica, bem como pelo conceito semântico de satisfação lógica. Em 1933, publicou (em polonês) O conceito de verdade em linguagens formalizadas, no qual propôs sua teoria semântica da verdade: uma sentença como “a neve é branca” é verdadeira se, e somente se, a neve for branca. A teoria de Tarski separava a metalinguagem, que formula a afirmação sobre a verdade, da linguagem-objeto, que contém a sentença cuja verdade está sendo afirmada, e estabelecia uma correspondência (o esquema-T) entre expressões da linguagem-objeto e elementos de uma interpretação. A abordagem de Tarski para o difícil problema de explicar a verdade foi de influência duradoura na lógica e na filosofia, especialmente no desenvolvimento da teoria dos modelos.^[3] Tarski também produziu trabalhos importantes sobre a metodologia de sistemas dedutivos e sobre princípios fundamentais como completude, decidibilidade, consistência e definibilidade. Segundo Anita Feferman, Tarski “mudou a face da lógica no século XX”.^[4]

Alonzo Church e Alan Turing propuseram modelos formais de computabilidade, oferecendo soluções negativas independentes para o Entscheidungsproblem de Hilbert, em 1936 e 1937, respectivamente. O Entscheidungsproblem perguntava por um procedimento que, dado qualquer enunciado matemático formal, determinasse algoritmicamente se ele é verdadeiro. Church e Turing demonstraram que não existe tal procedimento; o artigo de Turing introduziu o problema da parada como exemplo-chave de um problema matemático sem solução algorítmica.

O sistema de computação de Church evoluiu para o moderno λ-cálculo, enquanto a máquina de Turing se tornou um modelo padrão para dispositivos de computação de uso geral. Logo se mostrou que muitos outros modelos de computação propostos eram equivalentes em poder aos de Church e Turing. Esses resultados levaram à Tese de Church–Turing, segundo a qual qualquer algoritmo determinístico que possa ser executado por um humano pode ser executado por uma máquina de Turing. Church provou ainda outros resultados de indecidibilidade, mostrando que tanto a aritmética de Peano quanto a lógica de primeira ordem são indecidíveis. Trabalhos posteriores de Emil Post e Stephen Cole Kleene, na década de 1940, ampliaram o escopo da teoria da computabilidade e introduziram o conceito de graus de insolubilidade.

Os resultados das primeiras décadas do século XX também tiveram impacto na filosofia analítica e na lógica filosófica, particularmente a partir da década de 1950, em áreas como lógica modal, lógica temporal, lógica deôntica e lógica da relevância.

Após a Segunda Guerra Mundial, a lógica matemática se ramificou em quatro áreas de pesquisa inter-relacionadas, mas distintas: teoria dos modelos, teoria da demonstração, teoria da computabilidade e teoria dos conjuntos.^[5]

Na teoria dos conjuntos, o método do forcing revolucionou o campo ao fornecer um recurso robusto para construir modelos e obter resultados de independência. Paul Cohen introduziu esse método em 1963 para provar a independência da hipótese do contínuo e do axioma da escolha em relação à teoria dos conjuntos de Zermelo–Fraenkel.^[6] Sua técnica, logo simplificada e estendida, passou a ser aplicada a muitos outros problemas em todas as áreas da lógica matemática.

A teoria da computabilidade tem raízes nos trabalhos de Turing, Church, Kleene e Post nas décadas de 1930 e 40. Ela se desenvolveu em um estudo da computabilidade abstrata, que ficou conhecida como teoria da recursão. O método da prioridade, descoberto de forma independente por Albert Muchnik e Richard Friedberg nos anos 1950, trouxe avanços significativos na compreensão dos graus de insolubilidade e de estruturas relacionadas. Pesquisas em teoria da computabilidade de ordem superior demonstraram suas conexões com a teoria dos conjuntos. Os campos da análise construtiva e da análise computável foram desenvolvidos para estudar o conteúdo efetivo de teoremas matemáticos clássicos; por sua vez, inspiraram o programa da matemática reversa. Uma ramificação separada da teoria da computabilidade, a teoria da complexidade computacional, também foi caracterizada em termos lógicos como resultado de investigações sobre a complexidade descritiva.

A teoria dos modelos aplica os métodos da lógica matemática para estudar modelos de teorias matemáticas específicas. Alfred Tarski publicou muitos trabalhos pioneiros nesse campo, que recebeu o nome a partir de uma série de artigos sob o título Contribuições para a teoria dos modelos. Nos anos 1960, Abraham Robinson usou técnicas da teoria dos modelos para desenvolver cálculo e análise baseados em infinitésimos, um problema já proposto por Leibniz.

Na teoria da demonstração, a relação entre a matemática clássica e a matemática intuicionista foi esclarecida por ferramentas como o método da realizabilidade, inventado por Georg Kreisel, e a interpretação Dialética de Gödel. Esse trabalho inspirou a área contemporânea da mineração de provas (proof mining). A correspondência Curry–Howard surgiu como uma analogia profunda entre lógica e computação, incluindo uma correspondência entre sistemas de dedução natural e λ-cálculos tipados usados em ciência da computação. Como resultado, a pesquisa nessa classe de sistemas formais passou a abordar aspectos tanto lógicos quanto computacionais; essa área veio a ser conhecida como teoria moderna dos tipos. Também foram feitos avanços na análise ordinal e no estudo de resultados de independência em aritmética, como o teorema de Paris–Harrington.

Esse também foi um período, particularmente a partir dos anos 1950, em que as ideias da lógica matemática começaram a influenciar o pensamento filosófico. Por exemplo, a lógica temporal é um sistema formalizado para representar e raciocinar sobre proposições qualificadas em termos de tempo. O filósofo Arthur Prior desempenhou um papel fundamental em seu desenvolvimento na década de 1960. As lógicas modais ampliam o escopo da lógica formal para incluir elementos de modalidade (por exemplo, possibilidade e necessidade). As ideias de Saul Kripke, em especial sobre mundos possíveis, e o sistema formal hoje chamado semântica de Kripke, tiveram impacto profundo na filosofia analítica. Sua obra mais conhecida e influente é Nomeação e Necessidade (1980).

As lógicas deônticas estão intimamente ligadas às modais: elas tentam capturar as características lógicas da obrigação, permissão e conceitos relacionados. Embora algumas novidades básicas de síntese entre lógica matemática e filosófica já tivessem sido apresentadas por Bolzano no início do século XIX, foi Ernst Mally, aluno de Alexius Meinong, quem propôs o primeiro sistema deôntico formal em sua obra Grundgesetze des Sollens, baseado na sintaxe do cálculo proposicional de Whitehead e Russell.

Outro sistema lógico fundado após a Segunda Guerra Mundial foi a lógica difusa (fuzzy logic), criada pelo matemático azeri Lotfi Asker Zadeh em 1965.

• BLANCHE, Robert; DUBUCS, Jacques-Paul. História da Lógica. Edições 70 (Portugal), 1a edição 2001 400p. ISBN 9724411028
• BLANCHE, Robert. História da Lógica de Aristóteles a Bertrand Russell. Lisboa: Edições 70, 1985. ISBN 9724403548
• KNEALE, William & Marta Kneale. O desenvolvimento da Lógica. Trad. M. S. Lourenço. Lisboa: Fundação Calouste Gulbenkian, 1968.

• The History of Logic from Aristotle to Gödel and Its Relationship with Ontology
• Sobre a história da lógica, a lógica clássica e o surgimento das lógicas não-clássicas