Filtro de Wiener

Em processamento de sinais, o filtro de Wiener é um filtro usado para para produzir uma estimativa de um processo aleatório desejado por meio da filtragem linear e invariante no tempo (LIT) de um processo observado com ruído aditivo, assumindo-se conhecidos os espectros do sinal e do ruído. O filtro de Wiener minimiza o erro quadrático médio entre o processo aleatório estimado e o processo desejado.^[1][2][3]

O objetivo do filtro de Wiener é calcular uma estimativa estatística de um sinal desconhecido usando um sinal relacionado como entrada e filtrando-o para produzir essa estimativa. Por exemplo, o sinal conhecido pode consistir em um sinal de interesse desconhecido que foi corrompido por ruído aditivo. O filtro de Wiener pode ser usado para atenuar o ruído do sinal corrompido, fornecendo uma estimativa do sinal subjacente de interesse. O filtro de Wiener baseia-se em uma abordagem estatística, e uma descrição mais detalhada dessa teoria é apresentada, por exemplo, no verbete estimador de erro quadrático médio mínimo (MMSE).

Filtros determinísticos típicos são projetados para se obter uma resposta em frequência desejada. No entanto, o projeto do filtro de Wiener adota uma abordagem diferente. Assume-se que se tenha conhecimento das propriedades espectrais do sinal original e do ruído, e busca-se o filtro linear invariante no tempo cuja saída se aproxime o máximo possível do sinal original. Os filtros de Wiener são caracterizados pelo seguinte:^[3][4]

1. Hipótese: o sinal e o ruído aditivo são processos estocásticos estacionários, com características espectrais conhecidas ou com autocorrelação e correlação cruzada conhecidas
2. Requisito: o filtro deve ser fisicamente realizável/causal (esse requisito pode ser dispensado, resultando em uma solução não causal)
3. Critério de desempenho: erro quadrático médio mínimo (MMSE)

Este filtro é frequentemente usado no processo de deconvolução; para esta aplicação, veja Deconvolução de Wiener.

Seja ${\displaystyle s(t+\alpha )}$ um sinal desconhecido que deve ser estimado a partir de um sinal de medição ${\displaystyle x(t)}$, em que ${\displaystyle \alpha }$ é um parâmetro ajustável. O caso ${\displaystyle \alpha >0}$ corresponde à predição, ${\displaystyle \alpha =0}$ corresponde à filtragem e ${\displaystyle \alpha <0}$ corresponde à suavização (veja o capítulo sobre filtragem de Wiener em ^[4] para mais detalhes).

O filtro de Wiener possui soluções para três casos possíveis: (i) quando um filtro não causal é aceitável (o que exige uma quantidade infinita de dados tanto do passado quanto do futuro), (ii) quando se deseja um filtro causal (utilizando uma quantidade infinita de dados passados) e (iii) o caso de resposta ao impulso finita (FIR, do inglês Finite Impulse Response), em que apenas um trecho finito dos dados de entrada são usados (ou seja, o resultado ou a saída não é realimentada no filtro como no caso da IIR). O primeiro caso é simples de resolver, mas não é adequado para aplicações em tempo real. A principal realização de Wiener foi resolver o caso em que o requisito de causalidade é aplicado; Norman Levinson forneceu a solução da FIR em um apêndice do livro de Wiener^[5].

Neste caso, a solução é dada por

${\displaystyle G(s)={\frac {S_{x,s}(s)}{S_{x}(s)}}e^{\alpha s},}$

onde ${\displaystyle S}$ são densidades espectrais. Desde que ${\displaystyle g(t)}$ é ótimo, então a equação do erro quadrático médio mínimo se reduz a

${\displaystyle E(e^{2})=R_{s}(0)-\int _{-\infty }^{\infty }g(\tau )R_{x,s}(\tau +\alpha )\,d\tau ,}$

e a solução ${\displaystyle g(t)}$ é a transformada de Laplace bilateral inversa de ${\displaystyle G(s)}$.

${\displaystyle G(s)={\frac {H(s)}{S_{x}^{+}(s)}},}$

Onde:

• ${\displaystyle H(s)}$ consiste na parte causal de ${\displaystyle {\frac {S_{x,s}(s)}{S_{x}^{-}(s)}}e^{\alpha s}}$ (ou seja, aquela parte desta fração que tem uma solução no tempo positiva sob a transformada inversa de Laplace)
• ${\displaystyle S_{x}^{+}(s)}$ é o componente causal de ${\displaystyle S_{x}(s)}$ (isto é, a transformada inversa de Laplace de ${\displaystyle S_{x}^{+}(s)}$ é não nula apenas para ${\displaystyle t\geq 0}$)
• ${\displaystyle S_{x}^{-}(s)}$ é o componente anti-causal de ${\displaystyle S_{x}(s)}$ (isto é, a transformada inversa de Laplace de ${\displaystyle S_{x}^{-}(s)}$ é não nula apenas para ${\displaystyle t<0}$)

Esta fórmula geral é complicada e merece uma explicação mais detalhada. Para escrever a solução ${\displaystyle G(s)}$ em um caso específico, deve-se seguir estes passos:^[6]

1. Comece com o espectro ${\displaystyle S_{x}(s)}$ na forma racional e fatorize-o em componentes causais e anti-causais: ${\displaystyle S_{x}(s)=S_{x}^{+}(s)S_{x}^{-}(s)}$ onde ${\displaystyle S_{x}^{+}}$ contém todos os zeros e pólos no semiplano esquerdo (LHP) e ${\displaystyle S_{x}^{-}}$ contém os zeros e polos no semiplano direito (RHP). Isso é chamado de fatoração de Wiener-Hopf.
2. Dividir ${\displaystyle S_{x,s}(s)e^{\alpha s}}$ por ${\displaystyle S_{x}^{-}(s)}$ e escrever o resultado como uma expansão de fração parcial.
3. Selecione apenas os termos desta expansão que possuem polos no lado esquerdo da equação. Chame esses termos de ${\displaystyle H(s)}$.
4. Dividir ${\displaystyle H(s)}$ por ${\displaystyle S_{x}^{+}(s)}$. O resultado é a função de transferência de filtro desejada ${\displaystyle G(s)}$.

O filtro de Wiener de resposta ao impulso finito (FIR) causal, em vez de usar uma matriz de dados X e um vetor de saída Y fornecidos, encontra os coeficientes ótimos (pesos dos "taps") utilizando as estatísticas dos sinais de entrada e saída. Ele preenche a matriz de entrada X com estimativas da autocorrelação do sinal de entrada (T) e preenche o vetor de saída Y com estimativas da correlação cruzada entre os sinais de saída e entrada (V).

Para derivar os coeficientes do filtro de Wiener, considere o sinal w[n] sendo alimentado a um filtro de Wiener de ordem N (número de "taps" anteriores) e com coeficientes ${\displaystyle \{a_{0},\cdots ,a_{N}\}}$. A saída do filtro é denotada por x[n] que é dada pela expressão:

${\displaystyle x[n]=\sum _{i=0}^{N}a_{i}w[n-i].}$

O erro residual é denotado por e [n] e é definido como e[n] = x[n] − s[n] (veja o diagrama de blocos correspondente). O filtro de Wiener é projetado para minimizar o erro quadrático médio (critérios MMSE), o qual pode ser expresso de forma concisa da seguinte maneira:

${\displaystyle a_{i}=\arg \min E\left[e^{2}[n]\right],}$

onde ${\displaystyle E[\cdot ]}$ denota o operador de expectativa. No caso geral, os coeficientes ${\displaystyle a_{i}}$ podem ser complexos e podem ser derivados para o caso em que w[n] e s[n] também são complexos. Com um sinal complexo, a matriz a ser resolvida é uma matriz de Toeplitz Hermitiana, em vez de uma matriz de Toeplitz simétrica. Para simplificar, a expressão seguinte considera apenas o caso em que todas essas quantidades são reais. O erro quadrático médio (MSE) pode ser reescrito como:

${\displaystyle {\begin{aligned}E\left[e^{2}[n]\right]&=E\left[(x[n]-s[n])^{2}\right]\\&=E\left[x^{2}[n]\right]+E\left[s^{2}[n]\right]-2E[x[n]s[n]]\\&=E\left[\left(\sum _{i=0}^{N}a_{i}w[n-i]\right)^{2}\right]+E\left[s^{2}[n]\right]-2E\left[\sum _{i=0}^{N}a_{i}w[n-i]s[n]\right]\end{aligned}}}$

Para encontrar o vetor ${\displaystyle [a_{0},\,\ldots ,\,a_{N}]}$ que minimiza a expressão acima, calcule sua derivada em relação a cada ${\displaystyle a_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial a_{i}}}E\left[e^{2}[n]\right]&={\frac {\partial }{\partial a_{i}}}\left\{E\left[\left(\sum _{j=0}^{N}a_{j}w[n-j]\right)^{2}\right]+E\left[s^{2}[n]\right]-2E\left[\sum _{j=0}^{N}a_{j}w[n-j]s[n]\right]\right\}\\&=2E\left[\left(\sum _{j=0}^{N}a_{j}w[n-j]\right)w[n-i]\right]-2E[w[n-i]s[n]]\\&=2\left(\sum _{j=0}^{N}E[w[n-j]w[n-i]]a_{j}\right)-2E[w[n-i]s[n]]\end{aligned}}}$

Assumindo que w[n] e s [n] são cada um estacionário e conjuntamente estacionário, as sequências ${\displaystyle R_{w}[m]}$ e ${\displaystyle R_{ws}[m]}$ conhecida respectivamente como a autocorrelação de w[n] e a correlação cruzada entre w[n] e s[n] pode ser definida como segue:

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{w}[m]&=E\{w[n]w[n+m]\}\\R_{ws}[m]&=E\{w[n]s[n+m]\}\end{aligned}}}$

A derivada do MSE pode, portanto, ser reescrita como:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial a_{i}}}E\left[e^{2}[n]\right]=2\left(\sum _{j=0}^{N}R_{w}[j-i]a_{j}\right)-2R_{ws}[i]\qquad i=0,\cdots ,N.}$

Note que para o real ${\displaystyle w[n]}$, a autocorrelação é simétrica: $${\displaystyle R_{w}[j-i]=R_{w}[i-j]}$$ Igualar a derivada a zero resulta em:

${\displaystyle \sum _{j=0}^{N}R_{w}[j-i]a_{j}=R_{ws}[i]\qquad i=0,\cdots ,N.}$

que pode ser reescrito (usando a propriedade simétrica acima) em forma de matriz:

${\displaystyle \underbrace {\begin{bmatrix}R_{w}[0]&R_{w}[1]&\cdots &R_{w}[N]\\R_{w}[1]&R_{w}[0]&\cdots &R_{w}[N-1]\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\R_{w}[N]&R_{w}[N-1]&\cdots &R_{w}[0]\end{bmatrix}} _{\mathbf {T} }\underbrace {\begin{bmatrix}a_{0}\\a_{1}\\\vdots \\a_{N}\end{bmatrix}} _{\mathbf {a} }=\underbrace {\begin{bmatrix}R_{ws}[0]\\R_{ws}[1]\\\vdots \\R_{ws}[N]\end{bmatrix}} _{\mathbf {v} }}$

Essas equações são conhecidas como equações de Wiener-Hopf. A matriz T que aparece na equação é uma matriz de Toeplitz simétrica. Sob condições adequadas em ${\displaystyle R}$, essas matrizes são conhecidas por serem definidas positivas e, portanto, não singulares, produzindo uma solução única para a determinação do vetor de coeficientes do filtro de Wiener, ${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {T} ^{-1}\mathbf {v} }$. Além disso, existe um algoritmo eficiente para resolver tais equações de Wiener–Hopf conhecido como algoritmo de Levinson-Durbin, portanto uma inversão explícita de T não é necessária.

Em alguns artigos, a função de correlação cruzada é definida de maneira oposta: $${\displaystyle R_{sw}[m]=E\{w[n]s[n+m]\}}$$ Então, a matriz ${\displaystyle \mathbf {v} }$ conterá ${\displaystyle R_{sw}[0]\ldots R_{sw}[N]}$; isso é apenas uma diferença na notação.

Qualquer que seja a notação usada, observe que para valores reais ${\displaystyle w[n],s[n]}$: $${\displaystyle R_{sw}[k]=R_{ws}[-k]}$$

A realização do filtro de Wiener causal se assemelha muito à solução para a estimativa de mínimos quadrados, exceto no domínio do processamento de sinais. A solução de mínimos quadrados, para a matriz de entrada ${\displaystyle \mathbf {X} }$ e vetor de saída ${\displaystyle \mathbf {y} }$ é:

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\beta }}}=(\mathbf {X} ^{\mathbf {T} }\mathbf {X} )^{-1}\mathbf {X} ^{\mathbf {T} }{\boldsymbol {y}}.}$

O filtro de Wiener FIR está relacionado ao filtro dos mínimos quadrados médios, mas a minimização do critério de erro deste último não depende de correlações cruzadas ou autocorrelações. Sua solução converge para a solução do filtro de Wiener.

Para sinais complexos, a derivação do filtro Wiener complexo é realizada minimizando ${\displaystyle E\left[|e[n]|^{2}\right]}$ = ${\displaystyle E\left[e[n]e^{*}[n]\right]}$. Isso envolve o cálculo de derivadas parciais em relação às partes reais e imaginárias de ${\displaystyle a_{i}}$, e exigindo que ambos sejam zero.

As equações de Wiener-Hopf resultantes são:

${\displaystyle \sum _{j=0}^{N}R_{w}[j-i]a_{j}^{*}=R_{ws}[i]\qquad i=0,\cdots ,N.}$

que pode ser reescrito em forma de matriz:

${\displaystyle \underbrace {\begin{bmatrix}R_{w}[0]&R_{w}^{*}[1]&\cdots &R_{w}^{*}[N-1]&R_{w}^{*}[N]\\R_{w}[1]&R_{w}[0]&\cdots &R_{w}^{*}[N-2]&R_{w}^{*}[N-1]\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\R_{w}[N-1]&R_{w}[N-2]&\cdots &R_{w}[0]&R_{w}^{*}[1]\\R_{w}[N]&R_{w}[N-1]&\cdots &R_{w}[1]&R_{w}[0]\end{bmatrix}} _{\mathbf {T} }\underbrace {\begin{bmatrix}a_{0}^{*}\\a_{1}^{*}\\\vdots \\a_{N-1}^{*}\\a_{N}^{*}\end{bmatrix}} _{\mathbf {a^{*}} }=\underbrace {\begin{bmatrix}R_{ws}[0]\\R_{ws}[1]\\\vdots \\R_{ws}[N-1]\\R_{ws}[N]\end{bmatrix}} _{\mathbf {v} }}$

Observe aqui que: $${\displaystyle {\begin{aligned}R_{w}[-k]&=R_{w}^{*}[k]\\R_{sw}[k]&=R_{ws}^{*}[-k]\end{aligned}}}$$

O vetor de coeficiente de Wiener é então calculado como: $${\displaystyle \mathbf {a} ={(\mathbf {T} ^{-1}\mathbf {v} )}^{*}}$$

O filtro de Wiener tem uma variedade de aplicações em processamento de sinais, processamento de imagens,^[7] sistemas de controle e comunicações digitais. Essas aplicações geralmente se enquadram em uma das quatro categorias principais:

• Identificação de sistemas
• Desconvolução
• Redução de ruído
• Detecção de sinal

Imagem com ruído de um astronauta

A imagem após a aplicação de um filtro de Wiener (visualização completa recomendada)

O filtro de Wiener pode ser usado no processamento de imagens para remover ruído de uma imagem. Por exemplo, usar a função matemática: WienerFilter[image,2] na primeira imagem à direita produz a imagem filtrada abaixo dela.

É comumente usado para reduzir ruído em sinais de áudio, especialmente fala, como um pré-processador antes do reconhecimento de fala.

É usado pelo SVT-AV1, que é um formato de codificação de vídeo para redução de granularidade.^[8]

O filtro foi proposto por Norbert Wiener durante a década de 1940 e publicado em 1949.^[9][5] A versão em tempo discreto do trabalho de Wiener foi derivada de forma independente por Andrey Kolmogorov e publicada em 1941.^[10] Portanto, a teoria é frequentemente chamada de teoria de filtragem de Wiener-Kolmogorov (cf. Krigagem). O filtro de Wiener foi o primeiro filtro projetado estatisticamente a ser proposto e, posteriormente, deu origem a muitos outros, incluindo o filtro de Kalman.

• Thomas Kailath, Ali H. Sayed e Babak Hassibi, Estimativa Linear, Prentice-Hall, NJ, 2000, ISBN 978-0-13-022464-4.

• Função matemática do Filtro de Wiener