Estrutura matemática
Na matemática, uma estrutura em um conjunto (ou em alguns conjuntos) refere-se a dotá-lo (ou a eles) de certas características adicionais (por exemplo, uma operação, relação, métrica ou topologia). Essas características adicionais são anexadas ou relacionadas ao conjunto (ou aos conjuntos), de modo a conferir-lhe (ou a eles) um significado ou importância adicional.
Uma lista parcial de estruturas possíveis inclui medidas, estruturas algébricas (grupos, corpos, etc.), topologias, estruturas métricas (geometrias), ordens, grafos, eventos, estruturas diferenciais, categorias, setoides e relações de equivalência.
Às vezes, um conjunto é dotado de mais de uma propriedade simultaneamente, o que permite aos matemáticos estudar a interação entre as diferentes estruturas de forma mais aprofundada. Por exemplo, uma ordenação impõe uma forma, estrutura ou topologia rígida ao conjunto, e se um conjunto possui tanto uma propriedade topológica quanto uma propriedade de grupo, de tal forma que essas duas propriedades estejam relacionadas de certa maneira, então a estrutura se torna um grupo topológico.[1]
Um mapeamento entre dois conjuntos com estruturas semelhantes que preserva essas estruturas é conhecido como morfismo, e tais mapeamentos são de especial interesse em muitos campos da matemática. Exemplos incluem homomorfismos, que preservam estruturas algébricas; funções contínuas, que preservam estruturas topológicas; e funções diferenciáveis, que preservam estruturas diferenciais.
História
Em 1939, o grupo francês que usava o pseudônimo "Nicolas Bourbaki" considerava as estruturas como a base da matemática. Eles as mencionaram pela primeira vez em seu "Fascículo" sobre Theory of Sets e aprofundaram o tema no Capítulo IV da edição de 1957.[2] Identificaram três estruturas fundamentais: algébrica, topológica e de ordem.[2][3]
Exemplo: os números reais
O conjunto dos números reais possui diversas estruturas padrão:
- Uma ordem: cada número é menor ou maior do que qualquer outro número.
- Estrutura algébrica: existem operações de adição e multiplicação, sendo que a primeira a transforma em um grupo e o conjunto das duas operações a transforma em um corpo.
- Uma medida: os intervalos da reta real têm um comprimento específico, que pode ser estendido à medida de Lebesgue em muitos de seus subconjuntos.
- Uma métrica: existe uma noção de distância entre os pontos.
- Uma geometria: é equipada com uma métrica e é plana.
- Uma topologia: existe uma noção de conjuntos abertos.
Existem interfaces entre eles:
- Sua ordem e, independentemente, sua estrutura métrica induzem sua topologia.
- Sua ordem e estrutura algébrica fazem dele um corpo ordenado.
- Sua estrutura algébrica e topologia a transformam em um grupo de Lie, um tipo de grupo topológico.
Ver também
- Estrutura abstrata
- Estrutura algébrica
- Categoria (matemática)
- Definições equivalentes de estruturas matemáticas
- Functor de esquecimento
- Teoria dos tipos intuicionista
- Isomorfismo
- Objeto matemático
- Espaço (matemática)
Referências
- ↑ Mac Lane, Saunders (maio de 1996). «Structure in Mathematics» (PDF). Philosophia Mathematica. 4 (2): 176. doi:10.1093/PHILMAT/4.2.174 [ligação inativa]
- ↑ a b Corry, Leo (setembro de 1992). «Nicolas Bourbaki and the concept of mathematical structure». Synthese. 92 (3): 315–348. JSTOR 20117057. doi:10.1007/bf00414286
- ↑ Wells, Richard B. (2010). Biological signal processing and computational neuroscience (PDF). [S.l.: s.n.] pp. 296–335. Consultado em 7 de abril de 2016 [ligação inativa]
Leitura adicional
- Bourbaki, Nikolas (1968). "Elements of Mathematics: Theory of Sets". Hermann, Addison-Wesley. pp. 259–346, 383–385.
- Foldes, Stephan (1994). Fundamental Structures of Algebra and Discrete Mathematics
. Hoboken: John Wiley & Sons. ISBN 9781118031438 - Hegedus, Stephen John; Moreno-Armella, Luis (2011). «The emergence of mathematical structures». Educational Studies in Mathematics. 77 (2): 369–388. doi:10.1007/s10649-010-9297-7
- Kolman, Bernard; Busby, Robert C.; Ross, Sharon Cutler (2000). Discrete mathematical structures 4th ed. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-083143-9
- Malik, D.S.; Sen, M.K. (2004). Discrete mathematical structures : theory and applications. Australia: Thomson/Course Technology. ISBN 978-0-619-21558-3
- Pudlák, Pavel (2013). «Mathematical structures». Logical foundations of mathematics and computational complexity a gentle introduction. Cham: Springer. pp. 2–24. ISBN 9783319001197
- Senechal, M. (21 de maio de 1993). «Mathematical Structures». Science. 260 (5111): 1170–1173. PMID 17806355. doi:10.1126/science.260.5111.1170
Ligações externas
- Structure, PlanetMath.org. (provides a model theoretic definition.)
- Mathematical structures in computer science (journal)
Predefinição:Lógica matemática
