Estrutura de evento

Na matemática e ciência da computação, uma estrutura de evento descreve sequências de eventos que podem ser acionados por combinações de outros eventos, com certas combinações de eventos proibidas. Diferentes fontes fornecem formalizações matemáticas mais ou menos flexíveis sobre como os eventos podem ser acionados e quais combinações são proibidas.

Glynn Winskel apresentou a formalização mais geral dessas estruturas. Winskel formaliza uma estrutura de eventos como uma tripla ${\displaystyle (E,{\mathcal {C}},\vdash )}$, na qual:

• ${\displaystyle E}$ trata-se de um conjunto de eventos, não necessariamente finito.
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ é uma família de subconjuntos finitos de ${\displaystyle E}$, os subconjuntos que são considerados consistentes (não proibidos). Se ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}$ é um desses conjuntos consistentes, então todo subconjunto de ${\displaystyle C}$ também deve ser consistente. Ou seja, ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ deve ser fechado sob a operação de formação de subconjuntos.
• ${\displaystyle \vdash }$ é uma relação binária de conjuntos consistentes para elementos de ${\displaystyle E}$. A relação ${\displaystyle C\vdash e}$, para ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}$ e ${\displaystyle e\in E}$, é interpretada como significando que, quando os eventos até o momento formam o conjunto ${\displaystyle C}$, isso "permite" que ${\displaystyle e}$ seja o próximo evento. Quando ${\displaystyle C\vdash e}$, é exigido que ${\displaystyle C'\vdash e}$ para todo superconjunto consistente ${\displaystyle C'}$ (com ${\displaystyle C\subset C'}$ e ${\displaystyle C'\in {\mathcal {C}}}$).

De acordo com as definições de Winskel, uma configuração de uma estrutura de eventos é um subconjunto de ${\displaystyle E}$ cujos subconjuntos finitos são todos consistentes e cujos eventos são todos garantidos. Aqui, um evento é garantido quando pertence a uma sequência finita de eventos da configuração, cada um dos quais é habilitado pelo subconjunto de eventos anteriores da mesma sequência.^[1]

O nlab simplifica essas definições de duas maneiras:

• Ela substitui a família de eventos consistentes por uma relação simétrica irreflexiva ${\displaystyle \#}$ chamada incompatibilidade (ou conflito), de tal forma que um conjunto finito de eventos é consistente se e somente se não contiver nenhum par incompatível.
• E (seja separadamente ou com ambas as simplificações em conjunto) substitui a relação de habilitação por uma relação de ordem parcial em ${\displaystyle E}$ chamada dependência causal, de tal forma que cada evento tenha um número finito de predecessores, todos os quais devem ter ocorrido anteriormente para possibilitar a ocorrência do evento.

Para as estruturas de eventos com ambas as simplificações, que o nLab denomina estruturas de eventos principais, as configurações são os subconjuntos fechados inferiormente da ordem parcial que não incluem pares incompatíveis.^[2]

• Antimatróide, um sistema de eventos ordenados por subconjuntos habilitadores, mas sem um requisito de consistência.

Referências