Espaço lp

Em matemática, os espaços ${\displaystyle \ell ^{p}}$, são espaços vetoriais normados cujos vetores são sequências de números pertencentes a um corpo ${\displaystyle \mathbb {K} }$ onde ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }$ ou ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Espaços ${\displaystyle \ell ^{p}}$ são exemplos de espaços vetoriais de dimensão infinita.

• Uma sequência ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }\,}$ é dita pertencer ao espaço ${\displaystyle \ell ^{p}\ ,\;1\leq p<\infty ,}$ se for p-somável, ou seja:

${\displaystyle \|a_{n}\|_{p}:=\left(\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}<\infty }$.

• Uma sequência ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }\,}$ é dita pertencer ao espaço ${\displaystyle \ell ^{\infty }\,}$ se for limitada, ou seja:

${\displaystyle \|a_{n}\|_{\infty }:=\sup _{n}|a_{n}|<\infty }$.

A desigualdade de Minkowski garante que estes espaços são lineares e que a norma está bem definida, satisfazendo seus axiomas.

A estrutura de espaço vetorial é gerada definindo a soma de elementos e a multiplicação por escalar da seguinte maneira:

${\displaystyle (a_{1},a_{2},...,a_{n},a_{n+1},\dots )+(b_{1},b_{2},...,b_{n},b_{n+1},\dots )=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},...,a_{n}+b_{n},a_{n+1}+b_{n+1},\dots )}$

${\displaystyle \lambda \cdot (a_{1},a_{2},...,a_{n},a_{n+1},\dots )=(\lambda a_{1},\lambda a_{2},...,\lambda a_{n},\lambda a_{n+1},\dots )}$.

Todas as sequências ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }\,}$ pertencentes a ${\textstyle \ell ^{p},1\leq p<\infty }$, convergem a zero, o que não é necessariamente verdade para sequências em ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$, por exemplo, a sequência constante ${\displaystyle a=(1,1,1,1,\dots )}$ é limitada mas ${\displaystyle \|(1,1,1,1,\dots )\|_{p}=\infty ,\;1\leq p<\infty }$, logo ${\displaystyle a\notin \ell ^{p}}$.

Espaços ${\displaystyle \ell ^{p}}$ são espaços de Banach para qualquer ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ e o único espaço ${\textstyle \ell ^{p}}$ que é um espaço de Hilbert é ${\textstyle \ell ^{2}}$, que é dotado do produto interno

${\displaystyle \langle \{a_{n}\}|\{b_{n}\}\rangle =\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}{\overline {b_{n}}}}$.

Para ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$, os espaços ${\displaystyle \ell ^{p}}$ são separáveis, mas ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ não é separável.

Os espaços ${\displaystyle \ell ^{p}}$ crescem à medida que ${\displaystyle p}$ cresce, isto é, se ${\textstyle 1\leq p<q\leq \infty }$, então ${\displaystyle \ell ^{p}\subset \ell ^{q}}$.

O espaço das sequências convergentes é denotado por ${\displaystyle c}$, e, como toda sequência convergente é limitada, ${\displaystyle c}$ é um subespaço linear de ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ e além disso temos que ${\displaystyle c}$ é um subespaço fechado de ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ e portanto um espaço de Banach.

O espaço ${\displaystyle c_{0}}$ é o espaço das sequências convergentes a zero, é facil notar que ${\displaystyle c_{0}}$ é um subespaço de ${\displaystyle c}$ e portanto também é um subespaço linear de ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$. Também é um subespaço fechado e portanto de Banach

${\displaystyle c_{00}}$ é o subespaço linear de ${\displaystyle c_{0}}$ formado pelas sequências eventualmente nulas, ou seja, para ${\displaystyle \{a_{n}\}\in c_{00}}$, existe ${\displaystyle n\in N}$ tal que se ${\displaystyle m\geq n,\,a_{m}=0}$. ${\displaystyle c_{00}}$ não é um subespaço fechado com relação a norma ${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$, pois para a sequência ${\displaystyle x_{n}=\left(1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\dots ,{\frac {1}{n}},0,\dots \right),\;\{x_{n}\}}$ é de Cauchy mas ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}}$ converge para ${\displaystyle x=\left(1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},\dots ,{\frac {1}{n}},{\frac {1}{n+1}},\dots \right)}$ que não pertence à ${\displaystyle c_{00}}$.

Se ${\displaystyle 1<p<\infty }$, então o espaço dual topológico de ${\displaystyle \ell ^{p}}$ é isometricamente isomorfo a ${\displaystyle \ell ^{q}}$ onde ${\displaystyle q}$ é o conjugado de Lebesgue de ${\displaystyle p}$, ou seja ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$. O isomorfismo ${\displaystyle \Psi }$ definido por

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\Psi :\ell ^{q}&\to (\ell ^{p})'\\x&\mapsto L_{x}:\ell ^{p}\to \mathbb {K} &&\\&\qquad \qquad y\mapsto \sum _{n}x_{n}y_{n}&&\\\end{alignedat}}}$.

Pela desigualdade de Hölder temos que ${\displaystyle |L_{x}(y)|\leq \|x\|_{q}\|y\|_{p}}$, e definido a norma em ${\displaystyle (\ell ^{p})'}$ por

${\displaystyle \|\Psi (x)\|_{(\ell ^{p})'}=\sup _{y\neq 0}{\frac {|L_{x}(y)|}{\|y\|_{p}}}}$.

Temos que ${\displaystyle \|\Psi (x)\|_{(\ell ^{p})'}\leq \|x\|_{q}}$,e portanto, ${\displaystyle \Psi }$ é um operador limitado e

${\displaystyle \Psi (\lambda x^{1}+x^{2})=L_{(\lambda x^{1}+x^{2})}(y)=\sum _{n}(\lambda x_{n}^{1}+x_{n}^{2})y_{n}=\lambda \sum _{n}x_{n}^{1}y_{n}+\sum _{n}x_{n}^{2}y_{n}}$

logo ${\displaystyle \Psi }$ é linear.

Seja ${\textstyle 1\leq p<\infty }$, então os funcionais pertencentes ao espaço dual ${\displaystyle \left(\ell ^{p}\right)^{*}\,}$ são da forma:

${\displaystyle l\left(\{a_{n}\}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}$, para algum ${\displaystyle \{b_{n}\}\,}$ associado a ${\displaystyle l\,}$.

• Espaço Lp

• Kreyzig, Erwin (1978), Introductory Functional Analysis with Applications, ISBN 0-471-50731-8, John Wiley & Sons, Inc. 
• Dieudonné, Jean Alexandre (1983), History of Functional Analysis, ISBN 0-444-86148-3, North-Holland Publishing Company