Distribuição Unit Weibull

Distribuição unit-Weibull

Função densidade de probabilidade Função densidade de probabilidade Gráfico da função de densidade de probabilidade da distribuição unit-Weibull, variando ${\displaystyle \alpha }$, e ${\displaystyle \beta }$
Função de distribuição cumulativa Função de distribuição acumulada Gráfico da acumulada da distribuição unit-Weibull, variando ${\displaystyle \alpha }$, e ${\displaystyle \beta }$
Parâmetros	${\displaystyle \alpha >0\,}$, Número real; ${\displaystyle \beta >0\,}$, Número real
Suporte	${\displaystyle x\in (0,1)\,}$
FDP	${\displaystyle {\frac {1}{x}}\,\alpha \,\beta \,(-\log x)^{\beta -1}\exp \left[-\alpha \,(-\log x)^{\beta }\right]}$
FDA	${\displaystyle \exp \left[-\alpha \,(-\log x)^{\beta }\right]}$
Média	Indefinida
Mediana	Indefinida
Moda	Indefinida
Variância	Indefinida
Obliquidade	Obtida a partir dos momentos brutos.
Curtose	Obtida a partir dos momentos brutos.
Entropia	Indefinida
Função Geradora de Momentos	${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!\,\alpha ^{n/\beta }}}\,\Gamma \left({\frac {n}{\beta }}+1\right)}$
Função Característica	Indefinida

A distribuição unit-Weibull (UW) é uma distribuição de probabilidade contínua com suporte no domínio ${\displaystyle (0,1)}$. É útil para índices e taxas, ou com variáveis no intervalo ${\displaystyle (0,1)}$. Foi originalmente proposta por Mazucheli et al^[1] usando uma transformação da distribuição Weibull.

A função de densidade de probabilidade é definida como:

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {1}{x}}\,\alpha \,\beta \,(-\log x)^{\beta -1}\exp \left[-\alpha \,(-\log x)^{\beta }\right]}$

A função de distribuição acumulada é:

${\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )=\exp \left[-\alpha \,(-\log x)^{\beta }\right]}$

A função quantílica da distribuição UW é dada por:

${\displaystyle Q(p)=\exp \left[-\left({\frac {-\log p}{\alpha }}\right)^{\frac {1}{\beta }}\right],\quad 0<p<1.}$

Ter uma expressão fechada para a função quantílica, pode facilitar a criação de uma alternativa mais flexível para um modelo de regressão quantílica, quando comparado a um modelo de regressão Beta.

O ${\displaystyle r}$ésimo momento bruto da distribuição UW pode ser obtida através de:

${\displaystyle \mu '_{r}=\mathbb {E} (X^{r})=\mathbb {E} (e^{-rY})=M_{Y}(-r)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!\,\alpha ^{n/\beta }}}\,\Gamma \left({\frac {n}{\beta }}+1\right).}$

As medidas obliquidade e curtose podem ser obtidas substituindo os momentos brutos das expressões:

${\displaystyle {\mathit {skewness}}={\frac {\mu '_{3}-3\mu '_{2}\mu +\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}},}$

${\displaystyle {\mathit {kurtosis}}={\frac {\mu '_{4}-4\mu '_{3}\mu +6\mu '_{2}\mu ^{2}-3\mu ^{4}}{\sigma ^{4}}}}$

A função de risco da distribuição UW é dada por:

${\displaystyle h(x;\alpha ,\beta )={\frac {f(x;\alpha ,\beta )}{1-F(x;\alpha ,\beta )}}={\frac {\alpha \beta \,(-\log x)^{\beta -1}\exp \left[-\alpha (-\log x)^{\beta }\right]}{x\left(1-\exp \left[-\alpha (-\log x)^{\beta }\right]\right)}},\quad 0<x<1.}$

Seja ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ uma [[ Amostra (estatística)|amostra]] aleatória de tamanho ${\displaystyle n}$ da distribuição UW com função densidade de probabilidade definida antes. Então, a função log-verossimilhança de ${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}=(\alpha ,\beta )}$ é:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ell ({\boldsymbol {\theta }};\mathbf {x} )&=n(\log \alpha +\log \beta )-\sum _{i=1}^{n}\log x_{i}+(\beta -1)\sum _{i=1}^{n}\log(-\log x_{i})-\alpha \sum _{i=1}^{n}(-\log x_{i})^{\beta }\end{aligned}}}$

A verossimilhança estimada ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$ de ${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}$ é obtida ao resolver as equações não-lineares:

${\displaystyle {\frac {\partial \ell }{\partial \alpha }}={\frac {n}{\alpha }}-\sum _{i=1}^{n}(-\log x_{i})^{\beta }=0,}$

e

${\displaystyle {\frac {\partial \ell }{\partial \beta }}={\frac {n}{\beta }}+\sum _{i=1}^{n}\log(-\log x_{i})-\alpha \sum _{i=1}^{n}(-\log x_{i})^{\beta }\log(-\log x_{i})=0.}$

A matriz de informação de Fisher esperada de ${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}=(\alpha ,\beta )}$, com base em uma única observação é dada por:

${\displaystyle \mathbf {I} ({\boldsymbol {\theta }})=[I_{ij}]={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\alpha }}&{\frac {1}{\alpha \beta }}(1-\gamma -\log \alpha )\\{\frac {1}{\alpha \beta }}(1-\gamma -\log \alpha )&{\frac {1}{\beta ^{2}}}\left[{\frac {\pi ^{2}}{6}}+(1-\gamma -\log \alpha )^{2}\right]\end{pmatrix}},}$

Em que ${\displaystyle \pi \simeq 3.141593}$ e ${\displaystyle \gamma \simeq 0.577216}$ é a constante de Euler.

Quando ${\displaystyle \beta =1}$, ${\displaystyle x}$ seguirá a distribuição de função potência, e o ${\displaystyle r}$ésimo momento bruto da distribuição UW, será:

${\displaystyle \mu '_{r}=\mathbb {E} (X^{r})={\frac {\alpha }{r+\alpha }},\quad r=1,2,\ldots .}$

Nesse caso, a média, variância, obliquidade e curtose, serão:

${\displaystyle \mu ={\frac {\alpha }{1+\alpha }},\qquad \sigma ^{2}={\frac {\alpha }{(1+\alpha )^{2}(2+\alpha )}},{\textit {skewness}}={\frac {2(1-\alpha )}{(2+\alpha )}}{\sqrt {1+{\frac {2}{\alpha }}}},\qquad {\textit {kurtosis}}={\frac {3(2+\alpha )(2-\alpha +3\alpha ^{2})}{\alpha (3+\alpha )(4+\alpha )}}.}$

A obliquidade pode ser negativa, zero, ou positiva quando ${\displaystyle \alpha <1,\alpha =1,\alpha >1}$. E se ${\displaystyle \alpha =1}$, com ${\displaystyle \beta =1}$, ${\displaystyle x}$ irá seguir a distribuição uniforme padronizada, e as medidas serão:

${\displaystyle \mu ={\frac {1}{2}},\qquad \sigma ^{2}={\frac {1}{12}},\qquad {\textit {skewness}}=0,\quad {\textit {kurtosis}}={\frac {9}{5}}.}$

No caso que ${\displaystyle \beta =2}$, ${\displaystyle x}$ irá seguir a distribuição unit-Rayleigh, e:

${\displaystyle \mu '_{r}=\mathbb {E} (X^{r})=1-{\frac {\sqrt {\pi }}{2{\sqrt {\alpha }}}}\,r\,e^{r^{2}/(4\alpha )}\,\mathrm {erfc} \left({\frac {r}{2{\sqrt {\alpha }}}}\right),\qquad r=1,2,\ldots ,}$

onde

${\displaystyle \mathrm {erfc} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{z}^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx,\qquad z>0,}$

É a função erro complementar. Nesse caso, as medidas da distribuição são:

${\displaystyle \mu =1-{\frac {\sqrt {\pi }}{2{\sqrt {\alpha }}}}\,e^{1/\alpha }\,\mathrm {erfc} \left({\frac {1}{2{\sqrt {\alpha }}}}\right),\sigma ^{2}=1-{\frac {\sqrt {\pi }}{\sqrt {\alpha }}}\,e^{1/\alpha }\,\mathrm {erfc} \left({\frac {1}{\sqrt {\alpha }}}\right)-\left[1-{\frac {\sqrt {\pi }}{2{\sqrt {\alpha }}}}\,e^{1/\alpha }\,\mathrm {erfc} \left({\frac {1}{2{\sqrt {\alpha }}}}\right)\right]^{2}.}$

Foi mostrada a ser superior, contra outras distribuições, como a distribuição Beta e Kumaraswamy, com dados das seguintes aplicações: nível máximo de enchente, reservatórios de petróleo, efetividade de custo na gestão de riscos^[2] e taxa de recuperação de células CD34+.

• Distribuição de Weibull

Referências