Distribuição Kumaraswamy

Distribuição Kumaraswamy

Função densidade de probabilidade Função densidade de probabilidade Gráfico da função de densidade de probabilidade da distribuição Kumaraswamy, variando ${\displaystyle a}$, e ${\displaystyle b}$
Função de distribuição cumulativa Função de distribuição acumulada Gráfico da acumulada da distribuição Kumaraswamy, variando ${\displaystyle a}$, e ${\displaystyle b}$
Parâmetros	${\displaystyle a>0\,}$, Número real; ${\displaystyle b>0\,}$, Número real
Suporte	${\displaystyle x\in (0,1)\,}$
FDP	${\displaystyle abx^{a-1}(1-x^{a})^{b-1}}$
FDA	${\displaystyle 1-(1-x^{a})^{b}}$
Média	${\displaystyle {\frac {b\Gamma (1+{\tfrac {1}{a}})\Gamma (b)}{\Gamma (1+{\tfrac {1}{a}}+b)}}\,}$
Mediana	${\displaystyle \left(1-2^{-1/b}\right)^{1/a}}$
Moda	${\displaystyle \left({\frac {a-1}{ab-1}}\right)^{1/a}}$ para ${\displaystyle a\geq 1,b\geq 1,(a,b)\neq (1,1)}$
Variância	${\displaystyle b\cdot B\left(1+{\frac {2}{a}},\,b\right)-\left[b\cdot B\left(1+{\frac {1}{a}},\,b\right)\right]^{2}}$, ver função geradora de momentos.
Obliquidade	Obtida a partir da função geradora de momentos.
Curtose	Obtida a partir da função geradora de momentos.
Entropia	${\displaystyle \left(1\!-\!{\tfrac {1}{b}}\right)+\left(1\!-\!{\tfrac {1}{a}}\right)H_{b}-\ln(ab)}$
Função Geradora de Momentos	${\displaystyle {\frac {b\Gamma (1+n/a)\Gamma (b)}{\Gamma (1+b+n/a)}}=bB(1+n/a,b)\,}$
Função Característica	Indefinida

Em probabilidade e estatística, a distribuição Kumaraswamy é uma família de distribuições de probabilidade contínuas definidas no intervalo (0,1). Ela uma alternativa à Distribuição beta, porém possui uma forma mais simples para a função densidade de probabilidade, função de distribuição acumulada e função quantílica, as quais podem ser expressas em forma fechada. Essa distribuição foi originalmente proposta por Poondi Kumaraswamy^[1] para variáveis que possuem limites inferior e superior, com inflação em zero. No primeiro artigo sobre a distribuição, o limite inferior natural de zero para a precipitação foi modelado usando uma probabilidade discreta, já que a precipitação em muitos lugares, especialmente nos trópicos, tem uma probabilidade significativamente diferente de zero. Essa probabilidade discreta é agora chamada de inflação em zero. Isso foi posteriormente estendido para inflações em ambos os extremos [0,1] no trabalho de Fletcher e Ponnambalam.^[2] Um bom exemplo de inflações nos extremos são as probabilidades de reservatórios estarem completamente cheios ou completamente vazios, o que é importante para o projeto de reservatórios.

A função densidade de probabilidade da distribuição Kumaraswamy desconsiderando inflação é:

${\displaystyle f(x;a,b)=abx^{a-1}{(1-x^{a})}^{b-1},\ \ {\mbox{onde}}\ \ x\in (0,1),}$

Em que ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ são parâmetros de forma positivos.

A função distribuição acumulada da Kumaraswamy é dada por:

${\displaystyle F(x;a,b)=\int _{0}^{x}f(\xi ;a,b)d\xi =1-(1-x^{a})^{b}.\ }$

Essa forma fechada possue vantagem computacional em relação à distribuição Beta, cuja função distribuição acumulada envolve funções especiais para poderem ser calculadas.

A função distribuição acumulada inversa (função quantílica) da distribuição é dada por:

${\displaystyle F^{-1}(y;a,b)=(1-(1-y)^{\frac {1}{b}})^{\frac {1}{a}}.\ }$

Na sua forma mais simples, a distribuição tem suporte em (0,1). Em uma forma mais geral, a variável normalizada x é substituída pela variável z não deslocada nem redimensionada, onde:

${\displaystyle x={\frac {z-z_{\text{min}}}{z_{\text{max}}-z_{\text{min}}}},\qquad z_{\text{min}}\leq z\leq z_{\text{max}}.\,\!}$

O m-ésimo momento bruto de X é dado por:^[3][4]

${\displaystyle m_{n}={\frac {b\Gamma (1+n/a)\Gamma (b)}{\Gamma (1+b+n/a)}}=bB(1+n/a,b)\,,}$

em que B é a função beta e Γ(.) denota função Gama. A média, variância, assimetria e curtose podem ser calculadas por esses momentos brutos. Por exemplo, a média de X é dada por

${\displaystyle m_{1}=bB(1+1/a,b)}$,

e a variância de X é dada por

${\displaystyle \sigma ^{2}=m_{2}-m_{1}^{2}.}$

A entropia da distribuição é^[5]:

${\displaystyle H=\left(1\!-\!{\tfrac {1}{a}}\right)+\left(1\!-\!{\tfrac {1}{b}}\right)H_{i}-\log(ab)}$

Onde ${\displaystyle H_{i}}$ é o número harmônico.

Para a estimação dos parâmetros da distribuição Kumaraswamy. O método de máxima verossimilhança é o mais utilizado. A função de log-verossimilhança da distribuição Kumaraswamy, dada uma amostra ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$, é:

${\displaystyle \ell (a,b)=n\cdot \log(a)+n\cdot \log(b)+(a-1)\sum _{i=1}^{n}\log(x_{i})+(b-1)\sum _{i=1}^{n}\log \left(1-x_{i}^{a}\right)}$

As expressões explícitas da função escore, que são derivadas a partir da log-verossimilhança em relação aos parâmetros do modelo, ela serão expressas como:

${\displaystyle U_{a}=\sum _{i=1}^{n}\left[{\frac {1}{a}}+\log(x_{i})-{\frac {(b-1)\cdot x_{i}^{a}\cdot \log(x_{i})}{1-x_{i}^{a}}}\right]}$

e

${\displaystyle U_{b}=\sum _{i=1}^{n}\left[{\frac {1}{b}}+\log(1-x_{i}^{a})\right]}$

Os componentes para a matriz de informação de Fisher, baseada na expectativa da segunda derivada da log-verossimilhança, serão:

${\displaystyle {\mathcal {I}}_{F}(a)=-\mathbb {E} \left[{\frac {\partial ^{2}\ell (a,b)}{\partial a^{2}}}\right],\quad {\mathcal {I}}_{F}(b)=-\mathbb {E} \left[{\frac {\partial ^{2}\ell (a,b)}{\partial b^{2}}}\right],\quad {\mathcal {I}}_{F}(a,b)=-\mathbb {E} \left[{\frac {\partial ^{2}\ell (a,b)}{\partial a\,\partial b}}\right]}$

A matriz de informação de Fisher é então:

${\displaystyle {\mathcal {I}}_{F}={\begin{bmatrix}{\mathcal {I}}_{F}(a)&{\mathcal {I}}_{F}(a,b)\\{\mathcal {I}}_{F}(a,b)&{\mathcal {I}}_{F}(b)\end{bmatrix}}}$

Utilizada para obter os erros-padrão dos estimadores e construir intervalos de confiança assintóticos.

A distribuição Kumaraswamy possue uma relação forte com a Distribuição beta.^[6] Elas compartilha características com a distribuição Beta: ambas são definidas no intervalo aberto "(0,1)" e tem dois parâmetros de forma positivos. Porém há aspectos que os diferenciam, com a distribuição Beta não tendo uma forma fechada simples. A distribuição Beta tem uma função de distribuição acumulada expressa pela função Beta incompleta regularizada.

${\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )=I_{x}(\alpha ,\beta ),}$

em que ${\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )}$ é a função Beta incompleta regularizada, cuja inversa não possui forma fechada analítica, dificultando o cálculo de quantis e simulações. Enquanto a função de distribuição acumulada da Kumaraswamy é:

${\displaystyle F(x;a,b)=\int _{0}^{x}f(\xi ;a,b)d\xi =1-(1-x^{a})^{b}.\ }$

Tendo uma função quantílica definida por:

${\displaystyle F^{-1}(y;a,b)=(1-(1-y)^{\frac {1}{b}})^{\frac {1}{a}}.\ }$

Isso faz com que a distribuição Kumaraswamy tenha vantagem em contextos que exigem eficiência computacional, como geração de variáveis aleatórias, simulações estatísticas e algoritmos de aprendizado de máquina. Mais especificamente, assuma que X_a,b é uma variável aleatória com distribuição Kumaraswamy com parâmetros a e b. Então X_a,b é a raiz a-ésima de uma variável aleatória adequadamente definida com distribuição Beta. Formalmente, com Y_1,b denotando uma variável aleatória com distribuição Beta com parâmetros ${\displaystyle \alpha =1}$ and ${\displaystyle \beta =b}$. Então existirá a relação entre X_a,b e Y_1,b.

${\displaystyle X_{a,b}=Y_{1,b}^{1/a},}$

com igualdade em distribuição.

${\displaystyle \operatorname {P} \{X_{a,b}\leq x\}=\int _{0}^{x}abt^{a-1}(1-t^{a})^{b-1}dt=\int _{0}^{x^{a}}b(1-t)^{b-1}dt=\operatorname {P} \{Y_{1,b}\leq x^{a}\}=\operatorname {P} \{Y_{1,b}^{1/a}\leq x\}.}$

Se pode introduzir distribuições Kumaraswamy generalizadas considerando variáveis aleatórias na forma ${\displaystyle Y_{\alpha ,\beta }^{1/\gamma }}$, com ${\displaystyle \gamma >0}$, onde ${\displaystyle Y_{\alpha ,\beta }}$ é uma variável aleatória com distribuição Beta e parâmetros ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$. Os momentos brutos dessa distribuição Kumaraswamy generalizada é dado por:

${\displaystyle m_{n}={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )\Gamma (\alpha +n/\gamma )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\alpha +\beta +n/\gamma )}}.}$

Note que se pode reobter os momentos originais usando ${\displaystyle \alpha =1}$, ${\displaystyle \beta =b}$ e ${\displaystyle \gamma =a}$.

• Se ${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,1)\,}$ então ${\displaystyle X\sim U(0,1)\,}$ (Distribuição uniforme)
• Se ${\displaystyle X\sim U(0,1)\,}$ então ${\displaystyle {\left(1-X^{\tfrac {1}{b}}\right)}^{\tfrac {1}{a}}\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,b)\,}$ ^[6]
• Se ${\displaystyle X\sim {\textrm {Beta}}(1,b)\,}$ (Distribuição beta) então ${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,b)\,}$
• Se ${\displaystyle X\sim {\textrm {Beta}}(a,1)\,}$ (Distribuição beta) então ${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,1)\,}$
• Se ${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,1)\,}$ então ${\displaystyle (1-X)\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,a)\,}$
• Se ${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,a)\,}$ então ${\displaystyle (1-X)\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,1)\,}$
• Se ${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,1)\,}$ então ${\displaystyle -\log(X)\sim {\textrm {Exponencial}}(a)\,}$
• Se ${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,b)\,}$ então ${\displaystyle -\log(1-X)\sim {\textrm {Exponencial}}(b)\,}$
• Se ${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,b)\,}$ então ${\displaystyle X\sim {\textrm {GB1}}(a,1,1,b)\,}$, a distribuição beta generalizada de primeiro tipo.
• Se  ${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(\alpha ,\beta )}$ então  ${\displaystyle \left\{{\frac {1}{1-X}}\right\}\sim {\textrm {MK}}(\alpha ,\beta )}$ (Distribuição Kumaraswamy modificada).

Um exemplo de uso para distribuição Kumaraswamy é o volume de armazenamento de um reservatório com capacidade z em que o limite superior é z_max e o limite inferior é 0. Que é um exemplo natural para duas inflações, já que vários reservatórios tem probabilidades não negativas para situações onde os reservatórios estão vazios ou cheios.^[2]

• Distribuição Kumaraswamy modificada

Referências