Distribuição Kumaraswamy modificada

Modified Kumaraswamy

Função densidade de probabilidade Função densidade de probabilidade Gráfico da função de densidade de probabilidade da distribuição Kumaraswamy Modificada, variando ${\displaystyle \alpha }$, e com ${\displaystyle \beta =0.6}$
Função de distribuição cumulativa Função de distribuição acumulada Gráfico da acumulada da distribuição Kumaraswamy Modificada, variando ${\displaystyle \alpha }$, e com ${\displaystyle \beta =0.6}$
Parâmetros	${\displaystyle \alpha >0\,}$, Número real; ${\displaystyle \beta >0\,}$, Número real
Suporte	${\displaystyle x\in (0,1)\,}$
FDP	${\displaystyle {\frac {\alpha \beta \mathrm {e} ^{\alpha -\alpha /x}(1-\mathrm {e} ^{\alpha -\alpha /x})^{\beta -1}}{x^{2}}}}$
FDA	${\displaystyle 1-(1-\mathrm {e} ^{\alpha -\alpha /x})^{\beta }}$
Média	${\displaystyle \alpha \beta \mathrm {e} ^{\alpha }\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}{\begin{pmatrix}\beta -1\\i\end{pmatrix}}\mathrm {e} ^{\alpha i}\Gamma \left[0,\left(i+1\right)\alpha \right]}$
Mediana	${\displaystyle Q_{X}\left(u;{\boldsymbol {\theta }}\right)={\frac {\alpha }{\alpha -\log(1-(1-1/2)^{1/\beta })}}}$
Moda	Indefinida
Variância	${\displaystyle \alpha ^{2}\beta e^{\alpha }\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}{\begin{pmatrix}\beta -1\\i\end{pmatrix}}\mathrm {e} ^{\alpha i}(i+1)\Gamma \left[-1,\left(i+1\right)\alpha \right]-\mu ^{2}}$
Obliquidade	Indefinida
Curtose	Indefinida
Entropia	${\displaystyle \ln \left(\sigma {\sqrt {2\,\pi \,{\rm {e}}}}\right)\!~}$
Função Geradora de Momentos	${\displaystyle \alpha \beta e^{\alpha }\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}{\begin{pmatrix}\beta -1\\i\end{pmatrix}}\mathrm {e} ^{\alpha i}(\alpha +\alpha i)^{h-1}\Gamma \left[1-h,\left(i+1\right)\alpha \right]}$
Função Característica	Indefinida

Em probabilidade, a distribuição Kumaraswamy Modificada (MK) é uma distribuição de probabilidade contínua de dois parâmetros definida no intervalo (0,1). Ela serve como uma alternativa às distribuições Beta e Kumaraswamy para modelar variáveis aleatórias duplamente limitadas. A distribuição MK foi originalmente proposta por Sagrillo, Guerra e Bayer ^[1] por meio de uma transformação da distribuição Kumaraswamy. Sua densidade apresenta um formato crescente-decrescente-crescente, o que não é característico das distribuições Beta ou Kumaraswamy. A motivação para essa proposta surgiu a partir de aplicações em problemas hidroambientais.

A função densidade de probabilidade da distribuição Modified Kumaraswamy é:

${\displaystyle f_{X}\left(x;{\boldsymbol {\theta }}\right)={\frac {\alpha \beta x^{\alpha -\alpha /x}(1-\mathrm {e} ^{\alpha -\alpha /x})^{\beta -1}}{x^{2}}}}$

onde ${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}=(\alpha ,\beta )^{\top }}$ , ${\displaystyle \alpha >0}$ e ${\displaystyle \beta >0}$ são parâmetros de forma.

A função distribuição acumulada da Kumaraswamy Modificada é dada por:

${\displaystyle F_{X}\left(x;{\boldsymbol {\theta }}\right)=1-(1-\mathrm {e} ^{\alpha -\alpha /x})^{\beta }}$

onde ${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}=(\alpha ,\beta )^{\top }}$ , ${\displaystyle \alpha >0}$ e ${\displaystyle \beta >0}$ são parâmetros de forma.

A função distribuição acumulada inversa (função quantílica) da distribuição MK é dada por

${\displaystyle Q_{X}\left(u;{\boldsymbol {\theta }}\right)={\frac {\alpha }{\alpha -\log(1-(1-u)^{1/\beta })}}}$

O h-ésimo momento de X é dado por:

${\displaystyle {\textrm {E}}\left(X^{h}\right)=\alpha \beta \mathrm {e} ^{\alpha }\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}{\begin{pmatrix}\beta -1\\i\end{pmatrix}}\mathrm {e} ^{\alpha i}(\alpha +\alpha i)^{h-1}\Gamma \left[1-h,\left(i+1\right)\alpha \right]}$

Medida de tendência central, a média ${\displaystyle (\mu )}$ de X é:

${\displaystyle \mu ={\text{E}}(X)=\alpha \beta \mathrm {e} ^{\alpha }\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}{\begin{pmatrix}\beta -1\\i\end{pmatrix}}\mathrm {e} ^{\alpha i}\Gamma \left[0,\left(i+1\right)\alpha \right]}$

E sua Variância ${\displaystyle (\sigma ^{2})}$:

${\displaystyle \sigma ^{2}={\text{E}}(X^{2})=\alpha ^{2}\beta \mathrm {e} ^{\alpha }\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}{\begin{pmatrix}\beta -1\\i\end{pmatrix}}\mathrm {e} ^{\alpha i}(i+1)\Gamma \left[-1,\left(i+1\right)\alpha \right]-\mu ^{2}}$

Sagrillo, Guerra e Bayer ^[1] sugeriram o uso do método de máxima verossimilhança para a estimação dos parâmetros da distribuição MK. A função de log-verossimilhança da distribuição MK, dada uma amostra ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$, é:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ell ({\boldsymbol {\theta }})=&\,n\alpha +n\log \left(\alpha \right)+n\log \left(\beta \right)-\alpha \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}-2\sum _{i=1}^{n}\log(x_{i})\\&+(\beta -1)\sum _{i=1}^{n}\log(1-\mathrm {e} ^{\alpha -\alpha /x_{i}}).\end{aligned}}}$

Os componentes do vetor escore ${\displaystyle U\left({\boldsymbol {\theta }}\right)=\left[{\frac {\partial \ell ({\boldsymbol {\theta }})}{\partial \alpha }},{\frac {\partial \ell ({\boldsymbol {\theta }})}{\partial \beta }}\right]}$ são

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \ell ({\boldsymbol {\theta }})}{\partial \alpha }}=n+{\frac {n}{\alpha }}+(\beta -1)\mathrm {e} ^{\alpha }\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}-1}{x_{i}(\mathrm {e} ^{\alpha }-\mathrm {e} ^{\alpha /x_{i}})}}-\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}\end{aligned}}}$

e

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \ell ({\boldsymbol {\theta }})}{\partial \beta }}={\frac {n}{\beta }}+\sum _{i=1}^{n}\log(1-\mathrm {e} ^{\alpha -\alpha /x_{i}})\end{aligned}}}$

Os estimadores de máxima verossimilhança (EMVs) de ${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}$, denotadas por ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}=\left({\hat {\alpha }},{\hat {\beta }}\right)^{\top }}$, são obtidos como solução simultânea de ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}({\boldsymbol {\theta }})={\boldsymbol {0}}}$, onde ${\displaystyle {\boldsymbol {0}}}$ é um vetor bidimensional nulo. Os EMVs da distribuição MK não possuem forma fechada, porém a função de log-verossimilhança pode ser maximizada numericamente.

• Se ${\displaystyle X\sim {\textrm {MK}}(\alpha ,\beta )}$, então ${\displaystyle \left\{1-{\frac {1}{X}}\right\}\sim {\textrm {K}}(\alpha ,\beta )}$ (distribuição Kumaraswamy)
• Se ${\displaystyle X\sim {\textrm {MK}}(\alpha ,\beta )}$, então ${\displaystyle {\frac {1}{X}}-1\sim }$ distribuição Exponencial exponencializada (EE) ^[2]
• Se ${\displaystyle X\sim {\textrm {MK}}(1,\beta )}$, então ${\displaystyle \exp \left\{1-{\frac {1}{X}}\right\}\sim {\textrm {Beta}}(1,\beta )}$. (Distribuição beta)
• Se ${\displaystyle X\sim {\textrm {MK}}(\alpha ,1)}$, então ${\displaystyle \exp \left\{1-{\frac {1}{X}}\right\}\sim {\textrm {Beta}}(\alpha ,1)}$.
• Se ${\displaystyle X\sim {\textrm {MK}}(\alpha ,\beta )}$, então ${\displaystyle {\frac {1}{X}}-1\sim {\textrm {Exp}}(\alpha )}$ (Distribuição exponencial).

A distribuição Kumaraswamy Modificada foi introduzida para modelagem de dados hidroambientais. Foi demonstrado que ela supera as distribuições Beta e Kumaraswamy na modelagem do volume útil de reservatórios de água no Brasil.^[1] Ela também foi utilizada na estimativa estatística da confiabilidade tensão-resistência de sistemas.^[3]

• Distribuição Kumaraswamy

Referências

• Github com as funções de distribuição em R