Distância euclidiana

Em matemática, distância euclidiana é a distância entre dois pontos, que pode ser provada pela aplicação repetida do teorema de Pitágoras e, por isso, pode ser chamada de distância pitagórica. Aplicando essa fórmula como distância, o espaço euclidiano torna-se um espaço métrico.

O nome "distância euclidiana" vem do matemático grego Euclides. Em seus livros de Os Elementos, a distância não era representada por números, apenas por segmentos de mesmo comprimento. A conexão com o conceito de distância com o teorema de Pitágoras só foi realizada no século XVIII.

A distância euclidiana entre os pontos ${\displaystyle P=(p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})}$ e ${\displaystyle Q=(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n}),}$ em um espaço euclidiano n-dimensional, é definida como: $${\displaystyle {\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(p_{i}-q_{i})^{2}}}.}$$

Para pontos unidimensionais, ${\displaystyle P=(p_{x})}$ e ${\displaystyle Q=(q_{x}),}$ na reta real, a distância entre os dois é o módulo da diferença numérica entre suas coordenadas, isto é, a diferença absoluta. Assim, a distância é dada por:^[1]$${\displaystyle d(p,q)=|p-q|.}$$De outra forma, podemos obter o mesmo valor com:^[1]$${\displaystyle d(p,q)={\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}}}.}$$Nessa fórmula, elevar ao quadrado e tirar a raiz quadrada não altera os números positivos, mas substitui os negativos pelo valor absoluto.^[1]

No plano cartesiano, para pontos bidimensionais, ${\displaystyle P=(p_{x},p_{y})}$ e ${\displaystyle Q=(q_{x},q_{y}),}$ a distância é computada como:^[2]$${\displaystyle d(p,q)={\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}+(p_{y}-q_{y})^{2}}}.}$$Isso pode ser demonstrado aplicando-se o Teorema de Pitágoras em um triângulo retângulo com a horizontal e a vertical como catetos e o segmento de ${\displaystyle P}$ a ${\displaystyle Q}$ como a hipotenusa. Tanto ${\displaystyle (p_{x}-q_{x})}$ quanto ${\displaystyle (p_{y}-q_{y})}$, ao serem elevadas ao quadrado, fornecem as áreas dos quadrados do cateto horizontal e do vertical. A raiz quadrada sobre os dois converte, então, a área do quadrado da hipotenusa para o comprimento da hipotenusa.^[3]

Alternativamente, expressando-se em coordenadas polares, usando ${\displaystyle P=(r_{1},\theta _{1})}$ e ${\displaystyle Q=(r_{2},\theta _{2}),}$ a distância é computada utilizando a lei dos cossenos:^[2]$${\displaystyle {\sqrt {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})}}.}$$Quando ${\displaystyle P}$ e ${\displaystyle Q}$ são expressos como número complexos no plano complexo, a distância pode ser calculada a partir da norma da diferença entre os dois pontos.^[4]

Para pontos tridimensionais, ${\displaystyle P=(p_{x},p_{y},p_{z})}$ e ${\displaystyle Q=(q_{x},q_{y},q_{z}),}$ a distância é computada como:$${\displaystyle {\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}+(p_{y}-q_{y})^{2}+(p_{z}-q_{z})^{2}}}.}$$

De forma geral, para pontos n-dimensionais, ${\displaystyle P=(p_{1},p_{2},...,p_{n})}$ e ${\displaystyle Q=(q_{1},q_{2},...,q_{n}),}$ a distância é computada como:^[5]

$${\displaystyle {\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+...+(p_{n}-q_{n})^{2}}}.}$$ A distância euclidiana também pode ser expressada de forma mais compacta em termos da norma euclidiana da diferença dos vetores euclidianos:^[6] $${\displaystyle d(p,q)=\|p-q\|.}$$

O espaço euclidiano é o exemplo inicial da distância em um espaço métrico^[7] e obedece todas as propriedades de tal espaço:^[8]

• É simétrico, para quaisquer ${\displaystyle P}$ e ${\displaystyle Q}$, ${\displaystyle d(p,q)=d(q,p)}$, ou seja, a distância entre dois pontos independe de qual ponto é o de partida e qual é o de chegada.^[8]
• É positivo, a distância sempre será um número positivo. A distância de um ponto para ele mesmo é zero.^[8]
• Obedece à desigualdade triangular: para cada três pontos ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle Q}$ e ${\displaystyle R}$, têm-se que ${\displaystyle d(p,q)+d(q,r)\geq d(p,r)}$. De maneira intuitiva, ir de ${\displaystyle P}$ a ${\displaystyle R}$ passando por ${\displaystyle Q}$ não pode ser menor do que passar diretamente de ${\displaystyle P}$ a ${\displaystyle R}$.^[8]
• Obedece à desigualdade de Ptolomeu: dados quatro pontos ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle Q}$, ${\displaystyle R}$ e ${\displaystyle S}$, temos que ${\displaystyle d(p,q)\cdot d(r,s)+d(q,r)\cdot d(p,s)\geq d(p,r)\cdot d(q,s).}$^[9][10]
• É invariante à rotação.^[11]

A distância euclidiana é a distância em um espaço euclidiano. Ambos conceitos foram nomeados em homenagem ao matemático da Grécia Antiga Euclides, que escreveu os livros de Os Elementos, que se tornou o tratado da geometria por muitos séculos.^[12] Os conceitos de comprimento e distância foram disseminados por diversas culturas e podem ser datados, através de alguns documentos que sobreviveram até os dias de hoje, do quarto milénio a.C. na Suméria, muito antes de Euclides.^[13] Há ainda uma hipótese em que os conceitos de tempo e velocidade são introduzidos nas crianças após os conceitos de distância e espaço.^[14] Além disso, diversos conceitos geométricos foram caracterizados em termos de distâncias.^[15]

Contudo, a noção de distância como um número ou uma medida definida entre dois pontos não aparece de fato no tratado de Os Elementos, Euclides aborda o conteúdo implicitamente, através da congruência de segmentos, da comparação entre comprimentos e da proporcionalidade.^[16]

O Teorema de Pitágoras é antigo, mas obteve o papel central no problema de medidas de distâncias após a invenção das coordenadas cartesianas de René Descartes em 1637. A fórmula da distância foi publicada pela primeira vez em 1731 por Alexis Claude de Clairaut.^[17] Por causa dessa fórmula, a distância euclidiana é, às vezes, chamada de distância pitagórica.^[18] Apesar de que medidas precisas de longas distâncias na superfície terrestre, que não é um espaço euclidiano, foram estudadas por muitas culturas desde os tempos antigos, foi apenas no século XIX que se desenvolveu uma Geometria não euclidiana.^[19] A definição da norma e distância euclidianas para geometria em dimensões maiores que três também surgiram no mesmo século, com o trabalho de Augustin-Louis Cauchy.^[20]

• Distância de Mahalanobis
• Geometria do táxi
• Métrica (matemática)
• Erro percentual absoluto médio

Referências