Topologia/Espaços métricos

Seja M um conjunto não-vazio e ${\displaystyle d\colon M\times M\to \mathbb {R} }$ uma função. Dizemos que ${\displaystyle (M,d)}$ é um espaço métrico se, para todo ${\displaystyle x,y,z\in M}$, a função d satisfizer as seguintes propriedades:

• M1: ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$;
• M2: ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$, simetria;
• M3: ${\displaystyle d(x,y)=0\iff x=y}$;
• M4: ${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$, desigualdade trigonométrica.

Define-se, num espaço métrico M, a bola aberta de centro em x e raio ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle B_{r}(x)=\{y\in M:d(y,x)<r\}}$.

Pode-se provar que o conjunto ${\displaystyle T=\{U\subset M:\forall x\in U,\exists \epsilon >0\mid B_{\epsilon }(x)\subset U\}}$ é uma topologia sobre M. De fato, temos, por vacuidade, ${\displaystyle \varnothing \in T}$ e, para quaisquer ${\displaystyle x\in M,\epsilon >0}$, ${\displaystyle B_{\epsilon }(x)\subset M}$, donde ${\displaystyle M\in T}$. Sejam ${\displaystyle A,B\in T}$ e ${\displaystyle x\in A\cap B}$. Então existem ${\displaystyle \epsilon _{1},\epsilon _{2}>0}$ tais que ${\displaystyle B_{\epsilon _{1}}(x)\subset A}$ e ${\displaystyle B_{\epsilon _{2}}(x)\subset B}$. Escolhemos ${\displaystyle \epsilon =\min\{\epsilon _{1},\epsilon _{2}\}}$. Vemos que ${\displaystyle B_{\epsilon }(x)\subset B_{\epsilon _{1}}(x)\subset A}$ e ${\displaystyle B_{\epsilon }(x)\subset B_{\epsilon _{2}}(x)\subset B}$, logo ${\displaystyle B_{\epsilon }(x)\subset A\cap B}$ e ${\displaystyle A\cap B\in T}$. Seja ${\displaystyle (A_{\lambda })_{\lambda }}$ uma família em T. Se ${\displaystyle x\in {\bigcup }_{\lambda }A_{\lambda }}$, então, para algum μ, ${\displaystyle x\in A_{\mu }}$, donde existe um ${\displaystyle \epsilon >0}$ tal que ${\displaystyle B_{\epsilon }(x)\subset A_{\mu }\subset {\bigcup }_{\lambda }A_{\lambda }}$. Logo ${\displaystyle {\bigcup }_{\lambda }A_{\lambda }\in T}$. Isto completa a demonstração de que T é uma topologia sobre M.