Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/E2

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Um cilindro de 12 cm de raio gira no interior de outro, que está fixo, e cujo raio mede 12.6 cm. Os eixos dos cilindros são concêntricos e ambos têm 30 cm de comprimento. É necessário aplicar um torque de 9.0 kg.cm para manter a velocidade de rotação em 60 rpm. Determinar a viscosidade do fluido que preenche o espaço entre os cilindros.

Esse problema já foi resolvido anteriormente, considerando-se valores médios para todas as variáveis, tendo-se obtido o valor de 0.025 kg.s/m². Com a equação obtida para o fluxo entre dois cilindros para a tensão cisalhante τ_rΘ e a velocidade v_Θ:

${\displaystyle \tau _{r\theta }\;=\;{\frac {2\mu _{0}\omega _{0}R^{2}}{1\;-\;\left({\frac {R}{R\;+\;h_{0}}}\right)^{2}}}\;{\frac {1}{r^{2}}}}$

${\displaystyle v_{\theta }\;=\;{\frac {\omega _{0}}{1\;-\;\left({\frac {R}{R\;+\;h_{0}}}\right)^{2}}}\left(r\;-\;{\frac {R^{2}}{r}}\right)}$

podemos escrever que a potência mecânica requerida para girar o cilindro será dada por

${\displaystyle P\;=\;\int dP\;=\;\int v_{\theta }\;dF_{r\theta }\;=\;\int v_{\theta }\;\tau _{r\theta }\;dA_{r\theta }}$

${\displaystyle P\;=\;\int \left[{\frac {\omega _{0}}{1\;-\;\left({\frac {R}{R\;+\;h_{0}}}\right)^{2}}}\left(r\;-\;{\frac {R^{2}}{r}}\right)\right]\;\left[{\frac {2\mu _{0}\omega _{0}R^{2}}{1\;-\;\left({\frac {R}{R\;+\;h_{0}}}\right)^{2}}}\;{\frac {1}{r^{2}}}\right]\;\left[ldr\right]}$

${\displaystyle P\;=\;{\frac {2l\mu _{0}\omega _{0}^{2}r_{1}^{2}}{\left(1\;-\;\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}\right)^{2}}}\;\int _{r1}^{r2}\left({\frac {1}{r}}\;-\;{\frac {r_{1}^{2}}{r^{3}}}\right)\;dr}$

${\displaystyle P\;=\;{\frac {2l\mu _{0}\omega _{0}^{2}r_{1}^{2}}{\left(1\;-\;\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}\right)^{2}}}\left.\left[\ln r\;+\;{\frac {r_{1}^{2}}{2r^{2}}}\right]\right|_{r1}^{r2}}$

${\displaystyle P\;=\;{\frac {2l\mu _{0}\omega _{0}^{2}r_{1}^{2}}{\left(1\;-\;\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}\right)^{2}}}\left[\ln \left({\frac {r_{2}}{r_{1}}}\right)\;+\;{\frac {1}{2}}\;\left(\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}\;-\;1\right)\right]}$

Assim, como P = Ωω₀,

${\displaystyle \mu _{0}\;=\;{\frac {\Omega \left(1\;-\;\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}\right)^{2}}{2\omega _{0}lr_{1}^{2}\left[\ln \left({\frac {r_{2}}{r_{1}}}\right)\;+\;{\frac {1}{2}}\;\left(\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}\;-\;1\right)\right]}}}$

${\displaystyle \;=\;{\frac {9.0\;kg\cdot cm\cdot \left(1\;-\;\left({\frac {12.0\;cm}{12.6\;cm}}\right)^{2}\right)^{2}}{2\cdot 60\;rpm\cdot 30\;cm\cdot (12.0\;cm)^{2}\cdot \left[\ln \left({\frac {12.6\;cm}{12.0\;cm}}\right)\;+\;{\frac {1}{2}}\left(\left({\frac {12.0\;cm}{12.6\;cm}}\right)^{2}\;-\;1\right)\right]}}}$

${\displaystyle \;=\;{\frac {0.090\;kg\cdot m\cdot \left(1\;-\;\left({\frac {12.0\;cm}{12.6\;cm}}\right)^{2}\right)^{2}}{2\cdot 60\cdot {\frac {2\cdot 3.1}{60}}\;rd/s\cdot 0.30\;m\cdot (0.12\;m)^{2}\cdot \left[\ln \left({\frac {12.6\;cm}{12.0\;cm}}\right)\;+\;{\frac {1}{2}}\left(\left({\frac {12.0\;cm}{12.6\;cm}}\right)^{2}\;-\;1\right)\right]}}}$

${\displaystyle \;=\;6.3\;kg\cdot s/m^{2}}$