Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/A1

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Um cilindro de 12 cm de raio gira no interior de outro, que está fixo, e cujo raio mede 12.6 cm. Os eixos dos cilindros são concêntricos e ambos têm 30 cm de comprimento. É necessário aplicar um torque de 9.0 kg.cm para manter a velocidade de rotação em 60 rpm. Determinar a viscosidade do fluido que preenche o espaço entre os cilindros.

Como o espaço entre os cilindros é pequeno perante as demais dimensões do problema, vamos considerar valores médios para todas as variáveis. Além disso, aproximaremos dv/dy nesse espaço por Δv/Δy.

O torque aplicado gera uma tensão na superfície do fluido que está em contato com o cilindro móvel. O torque é dado pelo produto da força aplicada aos cilindros pelo raio vetor; a força, por sua vez, é o produto da tensão pela área de aplicação:

${\displaystyle \Omega \;=\;\tau \cdot {\bar {A}}\cdot {\bar {r}}\Rightarrow \;\;\;\tau \;=\;{\frac {\Omega }{{\bar {A}}\cdot {\bar {r}}}}\;=\;{\frac {\Omega }{2\pi {\bar {r}}l\cdot {\bar {r}}}}}$

A velocidade tangencial do cilindro móvel é

${\displaystyle v_{1}\;=\;\omega _{1}r_{1}}$

Essa é a velocidade do fluido que está em contato com a superfície do cilindro, onde a tensão τ é aplicada. A velocidade na outra superfície é nula. Essas superfícies distam Δr = r₂ - r₁ uma da outra. A viscosidade do fluido será então dada por

${\displaystyle \mu \;=\;{\frac {\tau }{\frac {v_{1}}{\Delta r}}}\;=\;{\frac {\Omega }{2\pi {\bar {r}}l\cdot {\bar {r}}\cdot {\frac {\omega _{1}r_{1}}{r_{2}\;-\;r_{1}}}}}\;=\;{\frac {\Omega (r_{2}\;-\;r_{1})}{2\pi r_{1}l\omega _{1}{\bar {r}}^{2}}}\;=\;{\frac {\Omega (r_{2}\;-\;r_{1})}{2\pi r_{1}l\omega _{1}({\frac {r_{2}\;+\;r_{1}}{2}})^{2}}}}$

${\displaystyle \mu \;=\;{\frac {2\Omega (r_{2}\;-\;r_{1})}{\pi r_{1}l\omega _{1}(r_{1}\;+\;r_{2})^{2}}}}$

${\displaystyle \;=\;{\frac {2\cdot 9.0\;kg\cdot cm\cdot (12.6\;cm\;-\;12\;cm)}{\pi \cdot 12\;cm\cdot 30\;cm\cdot 60\;rpm\cdot (12\;cm\;+\;12.6\;cm)^{2}}}}$

${\displaystyle \;=\;{\frac {2\cdot 0.09\;kg\cdot m\cdot (0.126\;m\;-\;0.12\;m)}{\pi \cdot 0.12\;m\cdot 0.3\;m\cdot {\frac {60\cdot 2\pi \;rad}{60\;s}}\cdot (0.12\;m\;+\;0.126\;m)^{2}}}}$

${\displaystyle \;=\;0.025\;kg\cdot s/m^{2}}$

Para um valor mais preciso, vamos considerar a tensão τ e a velocidade v como funções da posição r:

${\displaystyle \Omega \;=\;\tau \cdot A\cdot r\Rightarrow \;\;\;\tau \;=\;{\frac {\Omega }{A\cdot r}}\;=\;{\frac {\Omega }{2\pi r^{2}l}}}$

Mas

${\displaystyle \tau \;=\;\mu {\frac {dv}{dr}}\Rightarrow \;\;\;dv\;=\;{\frac {1}{\mu }}\tau dr\;=\;{\frac {1}{\mu }}\cdot {\frac {\Omega }{2\pi r^{2}l}}\;dr}$

Logo

${\displaystyle v_{1}\;-\;v_{2}\;=\;\int _{v_{2}}^{v_{1}}dv\;=\;{\frac {\Omega }{2\pi l\mu }}\int _{r_{2}}^{r_{1}}{\frac {1}{r^{2}}}dr}$

${\displaystyle v_{1}\;-\;0\;=\;{\frac {\Omega }{2\pi l\mu }}\left.\cdot {\frac {1}{r}}\right|_{r_{2}}^{r_{1}}\;=\;{\frac {\Omega }{2\pi l\mu }}\left({\frac {1}{r_{1}}}\;-\;{\frac {1}{r_{2}}}\right)}$

Assim

${\displaystyle \mu \;=\;{\frac {\Omega }{2\pi lv_{1}}}\left({\frac {1}{r_{1}}}\;-\;{\frac {1}{r_{2}}}\right)\;=\;{\frac {\Omega }{2\pi l\omega _{1}r_{1}}}\left({\frac {1}{r_{1}}}\;-\;{\frac {1}{r_{2}}}\right)}$

${\displaystyle \;=\;{\frac {0.09\;kg\cdot m}{2\pi \cdot 0.3\;m\cdot 2\pi \;rad\cdot s^{-1}\cdot 0.12\;m}}\left({\frac {1}{0.12\;m}}\;-\;{\frac {1}{0.126\;m}}\right)}$

${\displaystyle \;=\;0.025\;kg\cdot s/m^{2}}$

O valor indica que a simplificação considerada na Solução 1 era razoável.