Análise rn/Sequências no espaço euclidiano

Seja ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ uma sequência onde ${\displaystyle \{x_{1},x_{2},...,x_{i},...\}}$ é dito conjunto dos termos da sequência ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ .

• Se ${\displaystyle x_{k}\in \mathbb {R} ^{n}}$, ou seja, todos os termos da sequência pertencem ao ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, então é dita sequência no espaço euclidiano.
• Uma sequência ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ é limitada quando todos os seus termos o são, ou seja, ${\displaystyle |x_{k}|\leq A,\forall k\in \mathbb {N} ,aqui\;A=sup|x_{k}|}$.

Logo se tomarmos normas de todos os termos da sequência, A é o maior deles.

• Seja uma sequência no espaço euclidiano. Como seus termos ${\displaystyle x_{k}\in \mathbb {R} ^{n}}$ são vetores, então cada coordenada de cada termo ${\displaystyle x_{k}=(x_{k1},x_{k2},...,x_{ki},...)}$, ou seja, cada i-ésima coordenada de um termo da sequência faz parte de uma sequência. Se projetarmos a i-ésima coordenada do termo geral, ${\displaystyle \pi _{i}(x_{k})=x_{ki}}$, estaremos obtendo n sequências ${\displaystyle \pi _{i}(x_{k}):\mathbb {N} \mapsto \mathbb {R} }$
• Para uma sequência ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ser limitada é necessário, e suficiente, que cada i-ésima coordenada o seja.

${\displaystyle |x_{k}|\leq A\Rightarrow |x_{ki}|\leq A_{i},assim\;A_{i}=sup|x_{ki}|}$