Análise rn/Espaços vetoriais

• Definição:

O espaço euclidiano n-dimensional é o produto cartesiano de n fatores iguais a ${\displaystyle \mathbb {R} }$, cujo ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$:

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \cdots \times \mathbb {R} }$

Quando n = 1 (reta); n = 2 (plano); n = 3 (espaço euclidiano tridimensional); n = 0 (espaço nulo)

• Os pontos ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}$:

são todos os pontos a = ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})}$, onde ${\displaystyle a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}\in \mathbb {R} }$

• Unicidade de pontos:

Dados a = ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})}$ e b = ${\displaystyle (b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n})}$. Temos que ${\displaystyle a=b\Leftrightarrow a_{i}=b_{i},\forall i\in I_{n}}$

Relembrando da análise real que ${\displaystyle I_{n}=\{i\in \mathbb {N} ;1\leq i\leq n\}}$

• Soma e produto no ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Dados ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ^{n},\alpha \in \mathbb {R} }$

${\displaystyle a+b=(a_{1}+b_{1},\cdots ,a_{n}+b_{n})}$

${\displaystyle \alpha \cdot a=(\alpha a_{1},\cdots ,\alpha a_{n})}$

• Estas operações fazem de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ um espaço vetorial de dimensão n sobre o corpo dos ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

O elemento neutro para adição é ${\displaystyle {\vec {0}}=(0,0,...,0)}$

O simétrico de ${\displaystyle a\;}$ é ${\displaystyle -a\;}$ assim ${\displaystyle -a=(-a_{1},-a_{2},\cdots ,-a_{n})}$

• Os elementos ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}$ serão chamados pontos ou vetores
• Chamaremos aplicação linear ao invés de transformação linear.
• A base canônica de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ é formada pelos vetores:

${\displaystyle e_{1}=(1,0,0,0,\cdots ,0,0,0);e_{2}=(0,1,0,0,\cdots ,0,0,0);\cdots ;e_{n}=(0,0,0,0,\cdots ,0,0,1)}$

• Dado ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}$ temos que ${\displaystyle a=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\cdot e_{i}}$

• Podemos estabelecer uma bijeção natural entre o conjunto ${\displaystyle {\mathfrak {L}}(\mathbb {R} ^{m};\mathbb {R} ^{n})}$ das aplicações lineares ${\displaystyle A:\mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ e o conjunto ${\displaystyle M(n\times m)}$ das matrizes reais ${\displaystyle (m_{ij})\;}$ com n linhas e m colunas.
  • A matriz ${\displaystyle (M_{ij})}$ correspondente à aplicação linear A é definida pelas igualdades:

(*) ${\displaystyle A\cdot e_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}e_{j};j\in I_{m}}$

• • Assim a matriz ${\displaystyle (a_{ij})}$ da aplicação linear ${\displaystyle A:\mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ tem como colunas os m vetores ${\displaystyle A\cdot e_{j}=(a_{1j},\cdots ,a_{nj})\in \mathbb {R} ^{n}}$, transformados por A dos vetores da base canônica de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
  • Reciprocamente dada uma matriz ${\displaystyle (a_{ij})}$ com n linhas e m colunas, a igualdade (*) define os valores de uma aplicação linear ${\displaystyle A:\mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ nos m vetores da base canônica. Isto é suficiente para definir o valor de A em qualquer vetor ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{m}}$ tendo-se ${\displaystyle A\cdot x=\sum _{j=1}^{m}xj\cdot Ae_{j}}$
  • Cada matriz real ${\displaystyle n\times m}$ pode ser considerada como um ponto do espaço euclidiano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{nm}}$, basta escrever suas colunas uma após a outra numa linha. Assim sempre que for conveniente, podemos substituir o conjunto ${\displaystyle {\mathfrak {L}}(\mathbb {R} ^{m};\mathbb {R} ^{n})}$ das aplicações lineares de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$; ora pelo conjunto ${\displaystyle M(n\times m)}$ das matrizes reais com n linhas e m colunas; ora pelo espaço euclidiano nm-dimensional${\displaystyle \mathbb {R} ^{nm}}$.
  • ${\displaystyle M(nxm)\approx {\mathfrak {L}}(\mathbb {R} ^{m};\mathbb {R} ^{n})\approx \mathbb {R} ^{nm}}$ são isomorfos.
• Os funcionais lineares ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$são um tipo especial de aplicação linear.
  • Sejam ${\displaystyle y_{j}=f(e_{j});j\in I_{m}}$ os valores que o funcional assume nos vetores da base canônica. Para qualquer ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{m}}$, temos ${\displaystyle a=\sum _{i=1}^{m}a_{i}e_{i}}$, logo ${\displaystyle f(a)=\sum _{i=1}^{m}a_{i}f(e_{i})}$, ou seja, ${\displaystyle f(a)=\sum _{i=1}^{m}y_{i}a_{i}}$
  • Note que ${\displaystyle (y_{1},\cdots ,y_{n})}$ é a matriz ${\displaystyle 1\times m}$ da aplicação linear ${\displaystyle f}$
• Seja ${\displaystyle \pi _{i}:\mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ;i\in I_{m}}$ o funcional que se anula em todos os vetores da base canônica exceto um, o vetor ${\displaystyle e_{i}}$:

onde se tem ${\displaystyle \pi _{i}(e_{i})=1}$. Então ${\displaystyle \pi _{i}(a)=a_{i}=}$ i-ésima coordenada de ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{m}}$. Assim, ${\displaystyle \pi _{i}}$ é a i-ésima projeção do produto cartesiano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}{\mbox{ em }}\mathbb {R} }$. Os funcionais lineares ${\displaystyle \pi _{i};i\in I_{m}}$ constituem uma base do espaço vetorial ${\displaystyle {\mathfrak {L}}(\mathbb {R} ^{m};\mathbb {R} ^{n})=(\mathbb {R} )^{*}}$ chamada a base dual da base canônica de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$

• Uma aplicação ${\displaystyle \varphi :\mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{p}}$ chama-se bilinear quando é linear separadamente em relação a cada uma das suas variáveis. Então é verdade que:

${\displaystyle \varphi (a+a',b)=\varphi (a,b)+\varphi (a',b)}$

${\displaystyle \varphi (a,b+b')=\varphi (a,b)+\varphi (a,b')}$

${\displaystyle \varphi (\alpha a,b)=\alpha \cdot \varphi (a,b)}$

${\displaystyle \varphi (a,\alpha b)=\alpha \cdot \varphi (a,b)}$

quaisquer que sejam ${\displaystyle a,a'\in \mathbb {R} ^{m};b,b'\in \mathbb {R} ^{n}e\alpha \in \mathbb {R} }$.

• • Se ${\displaystyle \varphi }$ é bilinear então, para ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{m}{\mbox{ e }}b\in \mathbb {R} ^{n}}$ arbitrários vale:

${\displaystyle \varphi (a,b)=\varphi (\sum a_{i}e_{i},\sum b_{j}e_{j})=\sum a_{i}b_{i}\varphi (e_{i},e_{j})}$:

de modo que ${\displaystyle \varphi }$ fica inteiramente determinado pelos mn valores ${\displaystyle \varphi (e_{i},e_{j})\in \mathbb {R} ^{p}}$ que assume ns pares ordenados de vetores básicos${\displaystyle (e_{i},e_{j})}$. Note que ${\displaystyle \varphi (a,0)=\varphi (0,b)=0}$ quaisquer que sejam ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{m}{\mbox{ e }}b\in \mathbb {R} ^{n}}$.

O produto interno é a função ${\displaystyle <,>:(E\times E\rightarrow \mathbb {R} )}$.

• simetria: ${\displaystyle <a,b>\;=\;<b,a>,\forall a,b\in E}$
• bilinear
  • soma: ${\displaystyle <a+a',b>\;=\;<a,b>+<a',b>,\forall a,a',b\in E}$
  • produto: ${\displaystyle <\alpha a,b>\;=\;\alpha <b,a>,\forall a,b\in E\alpha \in \mathbb {R} }$
• positivo: ${\displaystyle <a,a>\;>0,{\mbox{ com }}a\neq 0}$

Lema 1 (Produto interno canônico)

${\displaystyle Seja\;f:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\mapsto \mathbb {R} ,f(x,y)=<x,y>}$

tome ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ^{n},<a,b>\;=\;a_{1}b_{1}+...+a_{n}b_{n}\;=\;\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}}$

Dado ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,<x,x>\;=\;|x|^{2}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}$ é a norma do vetor x (norma euclidiana)

• De maneira geral, ${\displaystyle n:\mathbb {R} ^{n}\mapsto \mathbb {R} }$ é uma norma então
  • ${\displaystyle n(a+b)\leq n(a)+n(b)}$
  • ${\displaystyle n(\alpha a)\;=\;\alpha n(a)}$
  • ${\displaystyle n(a)\geq 0\;e\;n(a)=0<=>a=0}$

${\displaystyle |<a,b>|\leq |a||b|,\forall a,b\in \mathbb {R} ^{n}}$